Matematikk S2 Eksamen høsten 2015 – løsningsforslag

ifingo - Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen Høsten 2015 - løsningsforslag

Fullstendig bokmålsversjon med Del 1 og Del 2, trinnvise løsninger, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a - 4 poeng samlet Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=x^3+2x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk potensregelen

\[\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\]

Steg 2 - Deriver første ledd

\[\dfrac{d}{dx}x^3=3x^2\]

Steg 3 - Deriver andre ledd

\[\dfrac{d}{dx}2x=2\]

Steg 4 - Sett sammen leddene

\[f\prime(x)=3x^2+2\]

Steg 5 - Kontroller fortegn og form

Den deriverte skal være et andregradspolynom fordi originalfunksjonen er et tredjegradspolynom.

Steg 6 - Skriv svaret

\[f\prime(x)=3x^2+2\]

Tolkning

Den momentane vekstfarten er alltid positiv fordi \(3x^2+2>0\).

Vanlig feil: Å derivere \(2x\) til \(x\) i stedet for \(2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(x^3+2x) -> \(3x^2+2\)

Python

from sympy import symbols, diff, simplify x = symbols('x') f = x**3 + 2*x f_derivert = diff(f, x) kontroll = simplify(f_derivert - (3*x**2 + 2)) print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_derivert) print("Kontroll, differanse mot forventet svar =", kontroll)

Fasit: \(f\prime(x)=3x^2+2\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b - 4 poeng samlet Kjerneregel og eksponentialfunksjon

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=3e^{2x-1}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Se ytre og indre funksjon

Ytre funksjon er \(e^u\), og kjernen er \(u=2x-1\).

Steg 2 - Bruk kjerneregelen

\[\dfrac{d}{dx}e^{u}=u\prime e^{u}\]

Steg 3 - Deriver kjernen

\[u=2x-1,\qquad u\prime=2\]

Steg 4 - Ta med konstantfaktoren

\[g\prime(x)=3\cdot 2e^{2x-1}\]

Steg 5 - Forenkle

\[g\prime(x)=6e^{2x-1}\]

Steg 6 - Kontroller struktur

Eksponentialuttrykket beholdes, mens faktoren fra kjernen multipliseres inn.

Tolkning

Funksjonen vokser for alle \(x\) fordi den deriverte er positiv.

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(2\) fra kjerneregelen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(3*exp(2*x-1)) -> \(6e^{2x-1}\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, simplify x = symbols('x') g = 3*exp(2*x - 1) g_derivert = diff(g, x) forventet = 6*exp(2*x - 1) print("g(x) =", g) print("g'(x) =", g_derivert) print("Kontroll, differanse =", simplify(g_derivert - forventet))

Fasit: \(g\prime(x)=6e^{2x-1}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c - 4 poeng samlet Produktregel

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=x^2e^x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Gjenkjenn produktet

Funksjonen er produktet av \(x^2\) og \(e^x\).

Steg 2 - Bruk produktregelen

\[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime\]

Steg 3 - Deriver faktorene

\[u=x^2,\ u\prime=2x,\qquad v=e^x,\ v\prime=e^x\]

Steg 4 - Sett inn

\[h\prime(x)=2xe^x+x^2e^x\]

Steg 5 - Faktoriser

\[h\prime(x)=e^x(x^2+2x)\]

Steg 6 - Skriv eventuelt videre

\[h\prime(x)=xe^x(x+2)\]

Tolkning

Faktorisert form viser at nullpunktene til den deriverte er \(x=0\) og \(x=-2\).

Vanlig feil: Å bruke bare potensregelen og glemme at \(e^x\) også er en faktor.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(x^2*exp(x)) -> \(e^x(x^2+2x)\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, factor, expand x = symbols('x') h = x**2*exp(x) h_derivert = diff(h, x) print("h(x) =", h) print("h'(x) utvidet =", expand(h_derivert)) print("h'(x) faktorisert =", factor(h_derivert))

Fasit: \(h\prime(x)=e^x(x^2+2x)\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a - 5 poeng samlet Ekstremalpunkt

Oppgave 2a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=x^3+3x^2-9x\), \(D_f=\mathbb{R}\). Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkt på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Deriver funksjonen

\[f\prime(x)=3x^2+6x-9\]

Steg 2 - Faktoriser den deriverte

\[f\prime(x)=3(x^2+2x-3)=3(x+3)(x-1)\]

Steg 3 - Finn kritiske verdier

\[f\prime(x)=0\Rightarrow x=-3\quad \text{eller}\quad x=1\]

Steg 4 - Bruk andrederivert

\[f\prime\prime(x)=6x+6\]

Steg 5 - Klassifiser punktene

\[f\prime\prime(-3)=-12<0,\qquad f\prime\prime(1)=12>0\]

Steg 6 - Finn y-verdiene

\[f(-3)=27,\qquad f(1)=-5\]

Tolkning

Grafen har toppunkt \((-3,27)\) og bunnpunkt \((1,-5)\).

Vanlig feil: Å bare finne x-verdiene og glemme funksjonsverdiene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Ekstremalpunkt(x^3+3x^2-9x) -> \((-3,27),\ (1,-5)\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve x = symbols('x') f = x**3 + 3*x**2 - 9*x f1 = diff(f, x) f2 = diff(f, x, 2) print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f1) print("f''(x) =", f2) for verdi in solve(f1, x): print("Kritisk x =", verdi, "f(x) =", f.subs(x, verdi), "f''(x) =", f2.subs(x, verdi))

Fasit: \((-3,27)\) er toppunkt, og \((1,-5)\) er bunnpunkt. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b - 5 poeng samlet Vendepunkt

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk andrederivert

\[f\prime\prime(x)=6x+6\]

Steg 2 - Sett lik null

\[6x+6=0\]

Steg 3 - Løs for x

\[x=-1\]

Steg 4 - Kontroller fortegnsskifte

Andrederiverte skifter fra negativ til positiv når \(x\) passerer \(-1\).

Steg 5 - Finn y-verdien

\[f(-1)=(-1)^3+3(-1)^2-9(-1)=11\]

Steg 6 - Skriv vendepunktet

\[(-1,11)\]

Tolkning

Grafen går fra å være konkav ned til konkav opp i dette punktet.

Vanlig feil: Å skrive bare \(x=-1\) i stedet for koordinaten \((-1,11)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Vendepunkt(x^3+3x^2-9x) -> \((-1,11)\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve x = symbols('x') f = x**3 + 3*x**2 - 9*x f2 = diff(f, x, 2) kandidater = solve(f2, x) print("f''(x) =", f2) print("Kandidater:", kandidater) for verdi in kandidater: print("Vendepunkt: x =", verdi, "y =", f.subs(x, verdi))

Fasit: \((-1,11)\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2c - 5 poeng samlet Grafskisse

Oppgave 2c

Oppgave:

Lag en skisse av grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk ekstremalpunktene

\[\text{Toppunkt }(-3,27),\qquad \text{bunnpunkt }(1,-5)\]

Steg 2 - Bruk vendepunktet

\[\text{Vendepunkt }(-1,11)\]

Steg 3 - Finn nullpunkter numerisk for skissen

\[x\approx -4{,}85,\quad x=0,\quad x\approx 1{,}85\]

Steg 4 - Bestem endeoppførsel

Siden ledende ledd er \(x^3\), går grafen ned mot venstre og opp mot høyre.

Steg 5 - Tegn med riktig krumning

Grafen er konkav ned før vendepunktet og konkav opp etter vendepunktet.

Steg 6 - Kontroller sammenheng

Skissen må passere origo fordi \(f(0)=0\).

Tolkning

En god skisse viser toppunkt, bunnpunkt, vendepunkt og nullpunkter i omtrent riktig plassering.

Vanlig feil: Å tegne grafen som en parabel i stedet for en tredjegradsfunksjon.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Nullpunkt(x^3+3x^2-9x) -> \(x\approx -4{,}85,\ 0,\ 1{,}85\) 2 Ekstremalpunkt(f) -> \((-3,27),\ (1,-5)\)

Python

from sympy import symbols, nroots, diff, solve x = symbols('x') f = x**3 + 3*x**2 - 9*x print("Nullpunkter numerisk:", [round(float(r), 4) for r in nroots(f)]) print("Kritiske punkter:") for verdi in solve(diff(f, x), x): print("x =", verdi, "f(x) =", f.subs(x, verdi)) print("Vendepunkt x:", solve(diff(f, x, 2), x))

Fasit: Grafskissen skal ha toppunkt \((-3,27)\), bunnpunkt \((1,-5)\) og vendepunkt \((-1,11)\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a - 3 poeng samlet Faktorteorem

Oppgave 3a

Oppgave:

Forklar at polynomet \(x^3-ax^2+2ax-8\) alltid er delelig med \((x-2)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

Polynomet er delelig med \(x-2\) dersom verdien ved \(x=2\) er lik null. …