Matematikk S2 Eksamen våren 2020 – løsningsforslag

Matematikk S2 - Vår 2020

Matematikk S2 eksamen V20 - fullstendig løsningsforslag

Originalt ifingo-løsningsforslag på bokmål. Del 1 og Del 2 er skilt tydelig, og hver deloppgave har trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og realistisk Python-kontroll.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=x^3+3e^x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Deriver potensleddet

\[\dfrac{d}{dx}\left(x^3\right)=3x^2\]

Vi bruker potensregelen.

Steg 2 - Deriver eksponentialleddet

\[\dfrac{d}{dx}\left(3e^x\right)=3e^x\]

Konstantfaktoren 3 beholdes.

Steg 3 - Sett sammen leddene

\[f'(x)=3x^2+3e^x\]

Den deriverte av en sum er summen av de deriverte.

Steg 4 - Kontroller uttrykket

\[f'(0)=3\]

Et raskt innsettingspunkt gir en enkel kontroll.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Derivert[x^3 + 3 exp(x)] → \(3x^2+3e^x\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, simplify x = symbols('x') f = x**3 + 3*exp(x) f_derivert = simplify(diff(f, x)) print("Oppgave 1a") print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_derivert) print("Kontroll f'(0) =", f_derivert.subs(x, 0)) 

Fasit: \(f'(x)=3x^2+3e^x\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Logaritme og kvotient

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=\dfrac{\ln\left(2x\right)}{x^2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Skriv om funksjonen

\[g(x)=\ln\left(2x\right)x^{-2}\]

Produktform gjør derivasjonen ryddig.

Steg 2 - Deriver faktorene

\[\dfrac{d}{dx}\ln\left(2x\right)=\dfrac{1}{x},\qquad \dfrac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3}\]

Logaritmeleddet krever kjerneregel, men faktoren 2 forkortes bort.

Steg 3 - Bruk produktregelen

\[g'(x)=\dfrac{1}{x}x^{-2}+\ln\left(2x\right)\left(-2x^{-3}\right)\] \[g'(x)=\dfrac{1-2\ln\left(2x\right)}{x^3}\]

Vi samler leddene over felles nevner.

Steg 4 - Oppgi definisjonsmengde

\[x>0\]

Uttrykket \(\ln\left(2x\right)\) krever \(2x>0\).

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Derivert[ln(2x)/x^2] → \(\dfrac{1-2\ln\left(2x\right)}{x^3}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, diff, simplify x = symbols('x', positive=True) g = log(2*x)/x**2 g_derivert = simplify(diff(g, x)) print("Oppgave 1b") print("g(x) =", g) print("g'(x) =", g_derivert) print("Definisjonsmengde: x > 0") 

Fasit: \(g'(x)=\dfrac{1-2\ln\left(2x\right)}{x^3},\quad x>0\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 Likningssystem

Oppgave 2

Oppgave:

Løs likningssystemet \(6x-y+3z=12\), \(5x+3y+z=11\) og \(3x+2y+z=10\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Eliminer z mellom de to siste likningene

\[\left(5x+3y+z\right)-\left(3x+2y+z\right)=11-10\] \[2x+y=1\]

Dette gir en enkel likning i \(x\) og \(y\).

Steg 2 - Eliminer z med første og tredje likning

\[6x-y+3z=12,\qquad 3\left(3x+2y+z\right)=30\] \[3x+7y=18\]

Vi trekker første likning fra tre ganger tredje.

Steg 3 - Løs de to nye likningene

\[y=1-2x\] \[3x+7\left(1-2x\right)=18\quad \Rightarrow \quad x=-1\]

Da blir \(y=3\).

Steg 4 - Finn z

\[3\left(-1\right)+2\cdot 3+z=10\quad \Rightarrow \quad z=7\]

Vi setter inn i en av de opprinnelige likningene.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Løs[{6x - y + 3z = 12, 5x + 3y + z = 11, 3x + 2y + z = 10}, {x, y, z}] → \(x=-1,\ y=3,\ z=7\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve x, y, z = symbols('x y z') likninger = [ Eq(6*x - y + 3*z, 12), Eq(5*x + 3*y + z, 11), Eq(3*x + 2*y + z, 10), ] losning = solve(likninger, (x, y, z), dict=True)[0] print("Oppgave 2") print("Løsning:", losning) for nr, likning in enumerate(likninger, start=1): print(f"Kontroll likning {nr}:", likning.subs(losning)) 

Fasit: \(x=-1,\quad y=3,\quad z=7\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a Aritmetisk rekke

Oppgave 3a

Oppgave:

Bestem summen av den aritmetiske rekken \(-8-3+2+7+\cdots+987\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Finn første ledd og differanse

\[a_1=-8,\qquad d=5\]

Rekken øker med 5 hver gang.

Steg 2 - Finn antall ledd

\[-8+\left(n-1\right)5=987\] \[5\left(n-1\right)=995\quad \Rightarrow \quad n=200\]

Vi trenger antall ledd før vi summerer.

Steg 3 - Bruk sumformelen

\[S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}\]

Dette er sumformelen for en endelig aritmetisk rekke.

Steg 4 - Regn ut summen

\[S_{200}=\dfrac{200\left(-8+987\right)}{2}=97900\]

Summen blir positiv fordi de positive leddene dominerer.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Sum[Følge[-8 + 5(n - 1), n, 1, 200]] → \(97900\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation n = symbols('n', integer=True, positive=True) a_n = -8 + 5*(n - 1) antall_ledd = 200 sum_rekke = summation(a_n, (n, 1, antall_ledd)) print("Oppgave 3a") print("Leddformel:", a_n) print("Antall ledd:", antall_ledd) print("Sum:", sum_rekke) 

Fasit: \(S_{200}=97900\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3b Uendelig geometrisk rekke

Oppgave 3b

Oppgave:

Begrunn at den uendelige geometriske rekken \(80-20+5-\dfrac{5}{4}+\cdots\) konvergerer, og bestem summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Finn kvotienten

\[k=\dfrac{-20}{80}=-\dfrac{1}{4}\]

Samme kvotient gir en geometrisk rekke.

Steg 2 - Sjekk konvergens

\[\left|k\right|=\dfrac{1}{4}<1\]

Da konvergerer den uendelige geometriske rekken.

Steg 3 - Bruk sumformelen

\[S=\dfrac{a_1}{1-k}\]

Her er \(a_1=80\) og \(k=-\dfrac{1}{4}\).

Steg 4 - Regn ut

\[S=\dfrac{80}{1-\left(-\dfrac{1}{4}\right)}=\dfrac{80}{\dfrac{5}{4}}=64\]

Summen er mindre enn første ledd fordi annethvert ledd er negativt.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 80/(1 - (-1/4)) → \(64\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import Rational, simplify forste_ledd = Rational(80, 1) kvotient = Rational(-1, 4) konvergerer = abs(kvotient) < 1 sum_rekke = simplify(forste_ledd/(1 - kvotient)) print("Oppgave 3b") print("a1 =", forste_ledd) print("k =", kvotient) print("|k| < 1:", konvergerer) print("Sum =", sum_rekke) 

Fasit: \(S=64\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 4a Faktorteoremet

Oppgave 4a

Oppgave:

Et polynom \(P\) er gitt ved \(P(x)=x^3-9x^2+15x-7\). Begrunn at \(P(x)\) er delelig med \((x-1)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

\[P(a)=0\quad \Leftrightarrow \quad \left(x-a\right)\text{ er faktor}\]

For faktoren \((x-1)\) tester vi \(x=1\).

Steg 2 - Regn ut P(1)

\[P(1)=1^3-9\cdot 1^2+15\cdot 1-7=1-9+15-7=0\]

Resten ved divisjon med \((x-1)\) er null.

Steg 3 - Konkluder

\[P(1)=0\quad \Rightarrow \quad P(x)\text{ er delelig med }(x-1)\]

Dette er en direkte bruk av faktorteoremet.

Steg 4 - Kontroller faktorisering

\[P(x)=\left(x-7\right)\left(x-1\right)^2\]

Faktoriseringen bekrefter deleligheten. …