Matematikk S2 Eksamen våren 2010 – løsningsforslag

Merk: I oppgave 6 er både alternativ I og alternativ II løst, selv om kandidaten på eksamen skulle velge ett av alternativene.

Del 1

Oppgave 1a1 Derivasjon av logaritmeprodukt

Oppgave: Deriver \(f(x)=x^{2}\ln x\). Vis løsning

Vi bruker produktregelen. Faktoren \(x^{2}\) har derivert \(2x\), og \(\ln x\) har derivert \(\dfrac{1}{x}\).

\[f'(x)=2x\ln x+x^{2}\cdot \dfrac{1}{x}=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)\] Fasit: \(f'(x)=2x\ln x+x\) Python-kontroll

from sympy import symbols, log, diff, simplify x = symbols('x', positive=True) f = x**2 * log(x) derivert = simplify(diff(f, x)) print("f(x) =", f) print("f'(x) =", derivert) print("Faktorisert:", simplify(derivert.factor())) # Utskrift: # f(x) = x**2*log(x) # f'(x) = x*(2*log(x) + 1) # Faktorisert: x*(2*log(x) + 1)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

1. f(x):=x^2 ln(x)
2. Derivert(f)
3. Faktoriser(%)

Få mer forklaring

Oppgave 1a2 Derivasjon med kjerneregel

Oppgave: Deriver \(g(x)=(3+e^{x})^{2}\). Vis løsning

Ytre funksjon er andre potens, og indre funksjon er \(3+e^{x}\). Kjerneregelen gir

\[g'(x)=2(3+e^{x})\cdot e^{x}=2e^{x}(3+e^{x})\] Fasit: \(g'(x)=2e^{x}(3+e^{x})\) Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, simplify x = symbols('x') g = (3 + exp(x))**2 derivert = simplify(diff(g, x)) print("g(x) =", g) print("g'(x) =", derivert) # Utskrift: # g(x) = (exp(x) + 3)**2 # g'(x) = 2*(exp(x) + 3)*exp(x)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

1. g(x):=(3+exp(x))^2
2. Derivert(g)
3. Faktoriser(%)

Få mer forklaring

Oppgave 1b Uendelig geometrisk rekke

Oppgave: Avgjør om \(1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots\) konvergerer, og finn summen. Vis løsning

Dette er en geometrisk rekke med første ledd \(a_1=1\) og kvotient \(k=\dfrac12\). Siden \(|k|<1\) konvergerer rekken.

\[S=\dfrac{a_1}{1-k}=\dfrac{1}{1-\frac12}=2\] Fasit: Rekken konvergerer, og summen er \(2\). Python-kontroll

from fractions import Fraction a1 = Fraction(1, 1) k = Fraction(1, 2) sum_uendelig = a1 / (1 - k) print("a1 =", a1) print("k =", k) print("|k| < 1:", abs(k) < 1) print("Sum =", sum_uendelig) # Utskrift: # a1 = 1 # k = 1/2 # |k| < 1: True # Sum = 2

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

1. SumUendeligGeometrisk(1, 1/2)
2. 1/(1-1/2)

Få mer forklaring

Oppgave 1c1 Sannsynlighetsfordeling

Oppgave: Finn \(A\) og \(P(X\le 1)\) når \(P(X=-3)=0,2\), \(P(X=0)=0,1\), \(P(X=1)=A\) og \(P(X=B)=0,3\). Vis løsning

Summen av sannsynlighetene må være 1.

\[0,2+0,1+A+0,3=1\] \[A=1-0,6=0,4\]

Siden \(B>1\), er hendelsen \(X\le 1\) verdiene \(-3,0,1\).

\[P(X\le 1)=0,2+0,1+0,4=0,7\] Fasit: \(A=0,4\) og \(P(X\le 1)=0,7\). Python-kontroll

verdier = [-3, 0, 1, "B"] sannsynligheter_kjente = [0.2, 0.1, None, 0.3] A = 1 - (0.2 + 0.1 + 0.3) P_X_mindre_lik_1 = 0.2 + 0.1 + A print("A =", A) print("P(X <= 1) =", P_X_mindre_lik_1) # Utskrift: # A = 0.4 # P(X <= 1) = 0.7

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

1. 0.2+0.1+A+0.3=1
2. Løs(A)
3. 0.2+0.1+0.4

Få mer forklaring

Oppgave 1c2 Forventningsverdi

Oppgave: Bestem \(B\) når \(E(X)=1,0\). Vis løsning

Vi bruker definisjonen av forventningsverdi.

\[E(X)=(-3)\cdot 0,2+0\cdot 0,1+1\cdot 0,4+B\cdot 0,3\] \[1=-0,6+0,4+0,3B=-0,2+0,3B\] \[0,3B=1,2\quad\Rightarrow\quad B=4\] Fasit: \(B=4\). Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve B = symbols('B') forventning = (-3)*0.2 + 0*0.1 + 1*0.4 + B*0.3 losning = solve(Eq(forventning, 1.0), B)[0] print("E(X) =", forventning) print("B =", losning) # Utskrift: # E(X) = 0.3*B - 0.2 # B = 4.00000000000000

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

1. (-3)*0.2+0*0.1+1*0.4+B*0.3=1
2. Løs(B)

Få mer forklaring

Oppgave 1c3 Varians

Oppgave: Vis at \(\operatorname{Var}(X)=6,0\). Vis løsning

Nå er fordelingen

\[X\in\{-3,0,1,4\},\quad P=(0,2,0,1,0,4,0,3)\]

Vi regner først ut \(E(X^{2})\).

\[E(X^{2})=9\cdot 0,2+0\cdot 0,1+1\cdot 0,4+16\cdot 0,3=7\]

Siden \(E(X)=1\), får vi

\[\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-(E(X))^{2}=7-1^{2}=6\] Fasit: \(\operatorname{Var}(X)=6,0\). Python-kontroll

verdier = [-3, 0, 1, 4] sannsynligheter = [0.2, 0.1, 0.4, 0.3] EX = sum(x*p for x, p in zip(verdier, sannsynligheter)) EX2 = sum(x**2*p for x, p in zip(verdier, sannsynligheter)) varians = EX2 - EX**2 print("E(X) =", EX) print("E(X^2) =", EX2) print("Var(X) =", varians) # Utskrift: # E(X) = 1.0 # E(X^2) = 7.0 # Var(X) = 6.0

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

1. Liste1={-3,0,1,4}
2. Liste2={0.2,0.1,0.4,0.3}
3. Sum(Liste1*Liste2)
4. Sum(Liste1^2*Liste2)-1^2

Få mer forklaring

Oppgave 1d1 Polynomfaktor

Oppgave: Vis at \(f(x)=3x^{3}+6x^{2}-3x-6\) er delelig med \(x+1\). Vis løsning

For å vise at \(x+1\) er faktor, kan vi kontrollere at \(f(-1)=0\).

\[f(-1)=3(-1)^{3}+6(-1)^{2}-3(-1)-6=-3+6+3-6=0\]

Dermed er \(x+1\) en faktor i polynomet.

Fasit: \(f(-1)=0\), derfor er \(x+1\) faktor. Python-kontroll

from sympy import symbols, factor x = symbols('x') f = 3*x**3 + 6*x**2 - 3*x - 6 verdi = f.subs(x, -1) faktorisert = factor(f) print("f(-1) =", verdi) print("Faktorisering =", faktorisert) # Utskrift: # f(-1) = 0 # Faktorisering = 3*(x - 1)*(x + 1)**2

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

1. f(x):=3x^3+6x^2-3x-6
2. f(-1)
3. Faktoriser(f)

Få mer forklaring

Oppgave 1d2 Løs tredjegradslikning

Oppgave: Løs \(f(x)=0\). Vis løsning

Fra faktoriseringen får vi

\[3x^{3}+6x^{2}-3x-6=3(x-1)(x+1)^{2}\]

Nullpunktene finnes ved å sette hver faktor lik null.

\[x-1=0\Rightarrow x=1\] \[(x+1)^{2}=0\Rightarrow x=-1\]

Legg merke til at \(x=-1\) er et dobbelt nullpunkt. …