Matematikk S2 Eksamen høsten 2025 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen Høst 2025 – løsningsforslag

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Oppgavene er transkribert fra Udir-settet, med Del 1 og Del 2 tydelig skilt, trinnvise utledninger, tolkning, vanlig feil og kontroll i GeoGebra CAS / Python.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Integrasjon

Oppgave 1

Oppgave:

Regn ut integralet

\[\int e^x \cdot x\,dx\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et ubestemt integral. Produktet \(x\cdot e^x\) gjør at delvis integrasjon er naturlig.

Steg 1 — Velg metode

Vi bruker delvis integrasjon:

\[\int u\,v'\,dx=u\cdot v-\int u'\cdot v\,dx\]

Steg 2 — Velg \(u\) og \(v'\)

La \(u=x\) og \(v'=e^x\). Da er \(u'=1\) og \(v=e^x\).

Steg 3 — Sett inn i formelen

\[\int x e^x\,dx=x e^x-\int 1\cdot e^x\,dx\]

Steg 4 — Integrer resten

\[x e^x-\int e^x\,dx=x e^x-e^x+C\]

Steg 5 — Faktoriser

\[x e^x-e^x+C=e^x\left(x-1\right)+C\]

Steg 6 — Kontroll ved derivasjon

\[\dfrac{d}{dx}\left(e^x\left(x-1\right)\right)=e^x\left(x-1\right)+e^x=x e^x\]

Tolkning

Den deriverte av svaret gir integranden, derfor er antideriverten riktig.

Vanlig feil: Å glemme konstanten \(C\), eller å velge \(u=e^x\), som ikke forenkler integralet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Integral(x*e^x, x) → \(e^x\left(x-1\right)\) 2 Derivert(e^x*(x-1), x) → \(x e^x\)

💻 Python

from sympy import symbols, exp, integrate, diff x = symbols('x') F = integrate(x*exp(x), x) print(F) print(diff(F, x))

Fasit: \(\int e^x\cdot x\,dx=e^x\left(x-1\right)+C\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Aritmetiske rekker

Oppgave 2a

Oppgave:

Ta utgangspunkt i den aritmetiske rekken

\[-3+0+3+\ldots+69\]

Bestem summen av rekken.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne summen av en endelig aritmetisk rekke.

Steg 1 — Identifiser første ledd og differanse

\[a_1=-3,\qquad d=3\]

Steg 2 — Finn antall ledd

Bruk \(a_n=a_1+\left(n-1\right)d\):

\[-3+3\left(n-1\right)=69\]

Steg 3 — Løs likningen

\[3\left(n-1\right)=72\Rightarrow n-1=24\Rightarrow n=25\]

Steg 4 — Bruk sumformelen

\[S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}\]

Steg 5 — Sett inn verdiene

\[S_{25}=\dfrac{25\left(-3+69\right)}{2}\]

Steg 6 — Regn ut

\[S_{25}=\dfrac{25\cdot66}{2}=825\]

Tolkning

Rekken har 25 ledd, og summen av alle leddene er 825.

Vanlig feil: Å telle 24 ledd fordi \(69-\left(-3\right)=72\) og \(72/3=24\). Dette er antall sprang, ikke antall ledd.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Sum(-3 + 3*(n - 1), n, 1, 25) → \(825\)

💻 Python

from sympy import symbols, summation n = symbols('n', integer=True, positive=True) print(summation(-3 + 3*(n-1), (n, 1, 25)))

Fasit: \(825\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Uendelige geometriske rekker

Oppgave 2b

Oppgave:

Ta utgangspunkt i den uendelige geometriske rekken

\[5+5\cdot\left(\dfrac{1}{2}-x\right)+5\cdot\left(\dfrac{1}{2}-x\right)^2+\ldots\]

Bestem konvergensområdet til rekken.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne for hvilke \(x\)-verdier en uendelig geometrisk rekke konvergerer.

Steg 1 — Finn første ledd

Første ledd er \(a_1=5\).

Steg 2 — Finn kvotienten

Hvert ledd blir multiplisert med

\[k=\dfrac{1}{2}-x\]

Steg 3 — Bruk konvergenskravet

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når

\[|k|<1\]

Steg 4 — Sett inn kvotienten

\[\left|\dfrac{1}{2}-x\right|<1\]

Steg 5 — Skriv som dobbeltulikhet

\[-1<\dfrac{1}{2}-x<1\]

Steg 6 — Løs ulikheten

Venstre del gir \(x<\dfrac{3}{2}\), og høyre del gir \(x>-\dfrac{1}{2}\). Dermed

\[-\dfrac{1}{2}

Tolkning

Innenfor dette intervallet blir leddene mindre i absoluttverdi, slik at rekken får en endelig sum.

Vanlig feil: Å skrive \(\dfrac{1}{2}-x<1\) uten absoluttverdi. Da mister man den ene grensen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(abs(1/2 - x) < 1, x) → \(-\dfrac{1}{2}

💻 Python

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality, Abs x = symbols('x', real=True) print(solve_univariate_inequality(Abs(1/2 - x) < 1, x))

Fasit: Konvergensområdet er \(-\dfrac{1}{2} Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2c Geometriske rekker

Oppgave 2c

Oppgave:

En ball faller fra 2 meters høyde. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den opp til en høyde som er 75 % av høyden den falt fra.

Hvor mange meter vil ballen bevege seg totalt?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal summere hele bevegelsen: første fall, deretter både opp og ned for hvert sprett.

Steg 1 — Første bevegelse

Ballen faller først \(2\) meter.

Steg 2 — Første sprett

Første høyde opp blir

\[2\cdot0{,}75=1{,}5\]

Steg 3 — Gjenkjenn geometrisk rekke

Spretthøydene er

\[1{,}5+1{,}5\cdot0{,}75+1{,}5\cdot0{,}75^2+\ldots\]

Steg 4 — Finn summen av alle oppoverstrekningene

\[S=\dfrac{1{,}5}{1-0{,}75}=6\]

Steg 5 — Ta med både opp og ned etter første fall

Etter første fall går ballen like langt opp som ned i hvert sprett. Derfor er totalen

\[2+2\cdot6\]

Steg 6 — Regn ut total lengde

\[2+12=14\]

Tolkning

Ballen beveger seg totalt 14 meter når vi regner med uendelig mange stadig mindre sprett.

Vanlig feil: Å ta \(2+6=8\) og glemme at alle spretthøydene etterpå skal telles både opp og ned.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 2 + 2*(1.5/(1 - 0.75)) → \(14\)

💻 Python

from sympy import Rational total = 2 + 2*(Rational(3,2)/(1 - Rational(3,4))) print(total)

Fasit: \(14\) meter (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Integrasjon og areal

Oppgave 3a

Oppgave:

Nedenfor ser du grafen til funksjonen \(f\) gitt ved \(f(x)=x^3+x^2-2x\).

Hvilket av uttrykkene nedenfor gir arealet av det markerte området på figuren? Husk å begrunne svaret ditt.

Alternativene er blant annet \(\int_{-2}^{1} f(x)\,dx\), \(\int_{-2}^{1}f(x)\,dx-\int_0^1f(x)\,dx\), \(\int_{-2}^{0}f(x)\,dx+\int_0^1f(x)\,dx\) og \(\int_{-2}^{0}f(x)\,dx-\int_0^1f(x)\,dx\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge uttrykket som gir geometrisk areal, ikke bare fortegnet integral.

Steg 1 — Finn nullpunktene i området

\[f(x)=x^3+x^2-2x=x\left(x+2\right)\left(x-1\right)\]

Steg 2 — Bruk figuren

Grafen ligger over \(x\)-aksen fra \(-2\) til \(0\), og under \(x\)-aksen fra \(0\) til \(1\).

Steg 3 — Areal over aksen

Arealet fra \(-2\) til \(0\) er

\[\int_{-2}^{0} f(x)\,dx\]

Steg 4 — Areal under aksen

Integralverdien fra \(0\) til \(1\) er negativ, så arealet der er

\[-\int_0^1 f(x)\,dx\]

Steg 5 — Sett sammen uttrykket

\[A=\int_{-2}^{0} f(x)\,dx-\int_0^1 f(x)\,dx\]

Steg 6 — Velg riktig alternativ

Dette svarer til alternativ 4 i oppgaveteksten.

Tolkning

Vi trekker fra det negative integralet for å få positivt areal.

Vanlig feil: Å bruke \(\int_{-2}^{1} f(x)\,dx\). Da kansellerer positivt og negativt areal hverandre.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Faktoriser(x^3 + x^2 - 2x) → \(x\left(x+2\right)\left(x-1\right)\) 2 Integral(f, -2, 0) - Integral(f, 0, 1) → positivt areal

💻 Python

from sympy import symbols, factor x = symbols('x') f = x**3 + x**2 - 2*x print(factor(f))

Fasit: Riktig uttrykk er \(\int_{-2}^{0} f(x)\,dx-\int_0^1 f(x)\,dx\), altså alternativ 4. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Bestemt integral

Oppgave 3b

Oppgave:

Regn ut arealet av det markerte området på figuren, der \(f(x)=x^3+x^2-2x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne geometrisk areal fra uttrykket i forrige deloppgave.

Steg 1 — Skriv arealet

\[A=\int_{-2}^{0} f(x)\,dx-\int_0^1 f(x)\,dx\] …