Matematikk S2 Eksamen våren 2023 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen Vår 2023 – løsningsforslag

Komplett løsningsforslag på bokmål. Alle deloppgaver er transkribert fra Udir-settet, løst trinnvis og kontrollert med GeoGebra CAS eller Python der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Integrasjon

Oppgave 1

Oppgave:

Regn ut integralet

\[\int_0^1 (e^x+3x^2 ight)\,dx\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne et bestemt integral. Integranden er en sum, så vi kan integrere ledd for ledd.

Steg 1 — Del opp integralet

\[\int_0^1 (e^x+3x^2 ight)\,dx=\int_0^1 e^x\,dx+\int_0^1 3x^2\,dx\]

Steg 2 — Finn antiderivert til første ledd

\[\int e^x\,dx=e^x\]

Steg 3 — Finn antiderivert til andre ledd

\[\int 3x^2\,dx=x^3\]

Steg 4 — Samle antiderivert

\[F(x)=e^x+x^3\]

Steg 5 — Bruk grensene

\[F(1)-F(0)=(e^1+1^3 ight)-(e^0+0^3 ight)\]

Steg 6 — Regn ferdig

\[e+1-1=e\]

Tolkning

Arealet under grafen til funksjonen fra 0 til 1 er nøyaktig \(e\).

Vanlig feil: Å glemme å trekke fra verdien i nedre grense, eller å skrive \(\int 3x^2\,dx=3x^3\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Integral(e^x + 3*x^2, 0, 1) → \(e\)

💻 Python

from sympy import symbols, exp, integrate x = symbols('x') print(integrate(exp(x) + 3*x**2, (x, 0, 1)))

Fasit: \(e\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Grensekostnad

Oppgave 2a

Oppgave:

Figuren nedenfor viser grafen til kostnadsfunksjonen og grafen til inntektsfunksjonen ved produksjon og salg av en vare.

Forklar hvordan du ut fra den grafiske framstillingen kan bestemme en tilnærmet verdi for grensekostnaden når det blir produsert 40 enheter. Omtrent hvor stor er denne grensekostnaden?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare grafisk hvordan vi finner grensekostnaden ved \(40\) produserte enheter.

Steg 1 — Bruk definisjonen

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen:

\[K'(40 ight)\]

Steg 2 — Tolk den deriverte grafisk

Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten i punktet.

Steg 3 — Finn punktet på kostnadsgrafen

Vi markerer omtrent \(x=40\) på den røde kostnadsgrafen.

Steg 4 — Tegn tangent

En tangent i dette punktet ser ut til å øke med omtrent \(700\) til \(800\) kroner når \(x\) øker med \(10\) enheter.

Steg 5 — Regn stigningstall

Da blir grensekostnaden omtrent

\[\dfrac{750}{10}=75\]

Steg 6 — Sett på enhet

Grensekostnaden er omtrent \(75\) kroner per ekstra enhet.

Tolkning

Når produksjonen er rundt 40 enheter, koster det omtrent 75 kroner å produsere én ekstra enhet.

Vanlig feil: Å lese av selve kostnaden ved \(x=40\). Grensekostnaden er stigningstallet, ikke funksjonsverdien.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Tangent(K, 40) → stigningstall omtrent \(75\) 2 Stigningstall(tangent) → \(pprox 75\)

💻 Python

# Grafisk avlesning: eksempel på tangentbrøk delta_y = 750 delta_x = 10 print(delta_y/delta_x)

Fasit: Grensekostnaden ved \(40\) enheter er omtrent \(75\) kroner per enhet. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Overskudd og derivasjon

Oppgave 2b

Oppgave:

Forklar hvordan du, ved å se på stigningstallet i ulike punkt på grafene, kan avgjøre hvor mange enheter som må produseres for at overskuddet skal bli størst mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke stigningstallene til inntekts- og kostnadsgrafene for å bestemme størst mulig overskudd.

Steg 1 — Definer overskudd

Overskuddet er

\[O(x)=I(x)-K(x)\]

Steg 2 — Deriver overskuddet

\[O'(x)=I'(x)-K'(x)\]

Steg 3 — Bruk maksimalpunkt

Overskuddet er størst når \(O'(x)=0\), altså når

\[I'(x)=K'(x)\]

Steg 4 — Tolk grafisk

Vi må finne punktet der grafene har samme stigningstall. Inntektsgrafen er en rett linje, så \(I'(x)\) er konstant.

Steg 5 — Les av kostnadsgrafen

På figuren ser kostnadsgrafen ut til å ha samme stigningstall som inntektsgrafen rundt \(55\) til \(60\) enheter.

Steg 6 — Velg maksimum, ikke skjæringspunkt

Før dette punktet øker overskuddet, etter dette punktet minker overskuddet. Derfor er størst overskudd omtrent ved \(60\) enheter.

Tolkning

Produksjonen bør ligge omtrent der marginalinntekt og grensekostnad er like store.

Vanlig feil: Å tro at overskuddet er størst der grafene skjærer hverandre. Der er overskuddet lik null.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(I'(x)=K'(x), x) → \(xpprox 60\) 2 I(x)-K(x) → størst omtrent ved samme \(x\)

💻 Python

# Prinsippkontroll: maks O når I'(x) - K'(x) = 0 print('Maksimum når marginalinntekt = grensekostnad')

Fasit: Overskuddet blir størst ved omtrent \(60\) produserte enheter. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Sannsynlighetsfordeling

Oppgave 3a

Oppgave:

En sannsynlighetsfordeling er gitt ved tabellen nedenfor.

\(x\)	0	1	2	3
\(P(X=x ight)\)	\(k\)	\(0{,}3\)	\(k-0{,}2\)	\(0{,}1\)

Vis at \(P(X>1 ight)=0{,}3\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først finne \(k\) ved at sannsynlighetene må summere til \(1\), og deretter regne \(P(X>1 ight)\).

Steg 1 — Bruk totalsannsynlighet

Alle sannsynlighetene i tabellen må summere til \(1\):

\[k+0{,}3+(k-0{,}2 ight)+0{,}1=1\]

Steg 2 — Forenkle venstresiden

\[2k+0{,}2=1\]

Steg 3 — Finn \(k\)

\[2k=0{,}8\Rightarrow k=0{,}4\]

Steg 4 — Finn sannsynligheten for \(X=2\)

\[P(X=2 ight)=k-0{,}2=0{,}4-0{,}2=0{,}2\]

Steg 5 — Bruk hendelsen \(X>1\)

\[P(X>1 ight)=P(X=2 ight)+P(X=3 ight)\]

Steg 6 — Regn ut

\[P(X>1 ight)=0{,}2+0{,}1=0{,}3\]

Tolkning

Sannsynligheten for at \(X\) blir større enn 1 er 30 prosent.

Vanlig feil: Å ta med \(X=1\). Hendelsen \(X>1\) betyr bare \(X=2\) eller \(X=3\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(k + 0.3 + (k - 0.2) + 0.1 = 1, k) → \(k=0{,}4\) 2 (k - 0.2) + 0.1 → \(0{,}3\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve k = symbols('k') sol = solve(k + 0.3 + (k - 0.2) + 0.1 - 1, k)[0] print(sol, (sol - 0.2) + 0.1)

Fasit: \(P(X>1 ight)=0{,}3\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Forventningsverdi og varians

Oppgave 3b

Oppgave:

Bestem \(E(X ight)\) og \(\operatorname{Var}(X ight)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sannsynlighetsfordelingen fra forrige deloppgave til å finne forventning og varians.

Steg 1 — Skriv ferdig fordelingen

Når \(k=0{,}4\), får vi

\[P(X=0 ight)=0{,}4,\quad P(X=1 ight)=0{,}3,\quad P(X=2 ight)=0{,}2,\quad P(X=3 ight)=0{,}1\]

Steg 2 — Bruk formelen for forventningsverdi

\[E(X ight)=\sum x\cdot P(X=x ight)\]

Steg 3 — Regn \(E(X ight)\)

\[E(X ight)=0\cdot0{,}4+1\cdot0{,}3+2\cdot0{,}2+3\cdot0{,}1=1\]

Steg 4 — Regn \(E(X^2 ight)\)

\[E(X^2 ight)=0^2\cdot0{,}4+1^2\cdot0{,}3+2^2\cdot0{,}2+3^2\cdot0{,}1=2\]

Steg 5 — Bruk variansformelen

\[\operatorname{Var}(X ight)=E(X^2 ight)-(E(X ight) ight)^2\]

Steg 6 — Regn ferdig

\[\operatorname{Var}(X ight)=2-1^2=1\]

Tolkning

Gjennomsnittsverdien er 1, og variansen viser spredningen rundt denne verdien. …