Matematikk S2 Eksamen høsten 2019 – løsningsforslag

ifingo - Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen H19 - løsningsforslag

Komplett bokmålsversjon med Del 1 og Del 2. Hver deloppgave har transkribert oppgavetekst, trinnvis løsning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll, Python-kontroll og fasit.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=\dfrac{1}{2}\ln x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Identifiser funksjonstypen

\[f(x)=\dfrac{1}{2}\ln x\]

Dette er en konstant multiplisert med en logaritme.

Steg 2 - Bruk logaritmeregelen

\[\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}\]

Regelen gjelder for positive x-verdier.

Steg 3 - Ta med konstantfaktoren

\[f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x}\]

Konstanten blir stående ved derivasjon.

Steg 4 - Forenkle

\[f'(x)=\dfrac{1}{2x}\]

Dette er enkleste form.

Steg 5 - Oppgi definisjonsmengde

\[x>0\]

Logaritmen krever positivt argument.

Steg 6 - Kontroller et punkt

\[f'(2)=\dfrac{1}{4}\]

Et innsettingspunkt gir en rask kontroll.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Derivert[1/2 ln(x)] → \(\dfrac{1}{2x}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, diff, simplify x = symbols('x', positive=True) f = log(x)/2 f_derivert = simplify(diff(f, x)) print("Oppgave 1a") print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_derivert) print("Kontroll f'(2) =", f_derivert.subs(x, 2)) 

Fasit: \(f'(x)=\dfrac{1}{2x}, \text{for }x>0\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Produktregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=3x e^{2x}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Se produktet

\[g(x)=3x e^{2x}\]

Funksjonen er et produkt av 3x og en eksponentialfunksjon.

Steg 2 - Deriver første faktor

\[(3x)'=3\]

Den deriverte av 3x er 3.

Steg 3 - Deriver andre faktor

\[\left(e^{2x}\right)'=2e^{2x}\]

Kjerneregelen gir faktor 2.

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[g'(x)=3e^{2x}+3x\cdot2e^{2x}\]

Vi bruker produktregelen på de to faktorene.

Steg 5 - Faktoriser

\[g'(x)=3e^{2x}\left(1+2x\right)\]

Faktorisert form er ryddigst.

Steg 6 - Kontroller ved x lik null

\[g'(0)=3\]

Dette er en enkel rimelighetskontroll.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Derivert[3x exp(2x)] → \(3e^{2x}\left(1+2x\right)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, factor x = symbols('x') g = 3*x*exp(2*x) g_derivert = factor(diff(g, x)) print("Oppgave 1b") print("g(x) =", g) print("g'(x) faktorisert =", g_derivert) print("Kontroll g'(0) =", g_derivert.subs(x, 0)) 

Fasit: \(g'(x)=3e^{2x}\left(1+2x\right)\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Kvotientregel

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=\dfrac{x^2+1}{x-3}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Sett teller og nevner

\[u=x^2+1,\qquad v=x-3\]

Vi bruker kvotientregelen.

Steg 2 - Deriver teller og nevner

\[u'=2x,\qquad v'=1\]

Disse uttrykkene trengs i regelen.

Steg 3 - Bruk kvotientregelen

\[h'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\]

Nevneren skal kvadreres.

Steg 4 - Sett inn

\[h'(x)=\dfrac{2x\left(x-3\right)-\left(x^2+1\right)}{\left(x-3\right)^2}\]

Parenteser er viktige i telleren.

Steg 5 - Forenkle telleren

\[2x^2-6x-x^2-1=x^2-6x-1\]

Da får vi en samlet teller.

Steg 6 - Oppgi begrensning

\[x e 3\]

Nevneren i den opprinnelige funksjonen kan ikke være null.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Derivert[(x^2+1)/(x-3)] → \(\dfrac{x^2-6x-1}{\left(x-3\right)^2}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, simplify x = symbols('x') h = (x**2 + 1)/(x - 3) h_derivert = simplify(diff(h, x)) print("Oppgave 1c") print("h(x) =", h) print("h'(x) =", h_derivert) print("Definisjonsmengde: x != 3") 

Fasit: \(h'(x)=\dfrac{x^2-6x-1}{\left(x-3\right)^2},\quad x e 3\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Aritmetisk rekke

Oppgave 2a

Oppgave:

I en aritmetisk rekke er \(a_1=-8\) og \(a_4=7\). Bestem en formel for \(a_n\) uttrykt ved \(n\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Bruk leddformelen

\[a_n=a_1+\left(n-1\right)d\]

Dette er formelen for aritmetiske rekker.

Steg 2 - Sett inn fjerde ledd

\[a_4=-8+3d=7\]

Fra første til fjerde ledd er det tre differanser.

Steg 3 - Løs for differansen

\[3d=15\quad \Rightarrow\quad d=5\]

Differansen er fast.

Steg 4 - Sett inn i formelen

\[a_n=-8+5\left(n-1\right)\]

Dette gir leddformelen.

Steg 5 - Forenkle

\[a_n=5n-13\]

Dette er en enkel eksplisitt formel.

Steg 6 - Kontroller

\[a_4=5\cdot4-13=7\]

Formelen gir riktig fjerde ledd.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Løs[-8+3d=7,d] → \(d=5\) 2 a(n):=-8+5(n-1) → \(a_n=5n-13\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify n, d = symbols('n d') a1 = -8 likning = Eq(a1 + 3*d, 7) d_verdi = solve(likning, d)[0] an = simplify(a1 + (n - 1)*d_verdi) print("Oppgave 2a") print("d =", d_verdi) print("a_n =", an) print("Kontroll a_4 =", an.subs(n, 4)) 

Fasit: \(a_n=5n-13\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Aritmetisk sum

Oppgave 2b

Oppgave:

Vis at \(a_{40}=187\), og bestem summen av de 40 første leddene i rekken.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Bruk formelen

\[a_n=5n-13\]

Vi setter inn n lik 40.

Steg 2 - Finn ledd nummer 40

\[a_{40}=5\cdot40-13=187\]

Dette viser påstanden.

Steg 3 - Velg sumformel

\[S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}\]

Summen er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Steg 4 - Sett inn

\[S_{40}=\dfrac{40\left(-8+187\right)}{2}\]

Første og siste ledd er kjent.

Steg 5 - Regn ut

\[S_{40}=20\cdot179=3580\]

Dette er summen av 40 ledd.

Steg 6 - Kontroller med sigma

\[\sum_{n=1}^{40}\left(5n-13\right)=3580\]

Summasjonskontrollen gir samme tall.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Sum[5n-13,n,1,40] → \(3580\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation n = symbols('n', integer=True, positive=True) an = 5*n - 13 a40 = an.subs(n, 40) S40 = summation(an, (n, 1, 40)) print("Oppgave 2b") print("a_40 =", a40) print("S_40 =", S40) print("Kontroll med sumformel =", 40*(-8 + a40)/2) 

Fasit: \(a_{40}=187\quad \text{og}\quad S_{40}=3580\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a Uendelig geometrisk rekke

Oppgave 3a

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved \(6-3+\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{8}+\cdots\). Begrunn at rekken konvergerer, og bestem summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Finn første ledd

\[a_1=6\]

Dette er første ledd i rekken.

Steg 2 - Finn kvotienten

\[k=\dfrac{-3}{6}=-\dfrac{1}{2}\]

Hvert ledd fås ved å multiplisere med samme tall.

Steg 3 - Sjekk konvergens

\[|k|=\dfrac{1}{2}<1\]

Da konvergerer den uendelige geometriske rekken. …