Matematikk S2 Eksamen høsten 2011 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen Høst 2011 – løsningsforslag

Bokmål. Komplett løsningsforslag med trinnvis metode, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS og fullere Python-kontroller i nøytral/original kodevisning uten rosa highlight.

Kontrollnotat: Oppgaveteksten er transkribert fra Udir-PDF-en. Løsningene er skrevet originalt for ifingo og kontrollert digitalt.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonene

1) \(f(x)=x^2+\dfrac12x+4\)

2) \(g(x)=3e^{2x}\)

3) \(h(x)=x\cdot e^{2x}\)

4) \(i(x)=\ln\left(x^2+4\right)\)

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk potensregelen på \(f\)

\[ f'(x)=2x+\dfrac12 \]

Steg 2 — Bruk kjerneregelen på \(g\)

\[ g'(x)=3\cdot2e^{2x}=6e^{2x} \]

Steg 3 — Bruk produktregelen på \(h\)

\[ h'(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot2e^{2x}=\left(1+2x\right)e^{2x} \]

Steg 4 — Bruk kjerneregelen på logaritmen

\[ i'(x)=\dfrac{2x}{x^2+4} \]

Tolkning

De deriverte uttrykker momentan vekstfart for hver funksjon.

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(2\) i \(e^{2x}\), eller å derivere \(\ln(u)\) uten \(u'\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Derivert(x^2 + 1/2 x + 4) → \(2x+\dfrac12\) 2 Derivert(3e^(2x)) → \(6e^{2x}\) 3 Derivert(x e^(2x)) → \((1+2x)e^{2x}\) 4 Derivert(ln(x^2+4)) → \(\dfrac{2x}{x^2+4}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, exp, log, simplify x = symbols('x') funksjoner = { 'f': x**2 + x/2 + 4, 'g': 3*exp(2*x), 'h': x*exp(2*x), 'i': log(x**2 + 4) } for navn, uttrykk in funksjoner.items(): derivert = simplify(diff(uttrykk, x)) print(f"{navn}(x) = {uttrykk}") print(f"{navn}'(x) = {derivert}") print()

Fasit: \(f'(x)=2x+\dfrac12\), \(g'(x)=6e^{2x}\), \(h'(x)=\left(1+2x\right)e^{2x}\), \(i'(x)=\dfrac{2x}{x^2+4}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Aritmetisk rekke

Oppgave 1b

Oppgave:

Vi har gitt rekken \(4+7+10+13+\cdots\). Bestem \(a_n\) og \(S_n\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Finn første ledd og differanse

\[ a_1=4,\qquad d=7-4=3 \]

Steg 2 — Finn leddformelen

\[ a_n=a_1+(n-1)d=4+3(n-1)=3n+1 \]

Steg 3 — Bruk sumformelen

\[ S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}2=\dfrac{n(4+3n+1)}2=\dfrac{n(3n+5)}2 \]

Tolkning

Rekken er aritmetisk fordi differansen mellom to naboledd er konstant.

Vanlig feil: Å skrive \(a_n=4+3n\) og dermed forskyve alle ledd med ett hakk.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 a(n):=4+(n-1)*3 → \(a(n)=3n+1\) 2 Sum(4+3(k-1),k,1,n) → \(\dfrac{n(3n+5)}2\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation, simplify n, k = symbols('n k', integer=True, positive=True) a_n = 4 + (n - 1)*3 S_n = summation(4 + (k - 1)*3, (k, 1, n)) print("leddformel a_n =", simplify(a_n)) print("sumformel S_n =", simplify(S_n)) print("kontroll første fire ledd =", [a_n.subs(n, i) for i in range(1, 5)])

Fasit: \(a_n=3n+1\), \(S_n=\dfrac{n(3n+5)}2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Uendelig geometrisk rekke

Oppgave 1c

Oppgave:

Løs likningen \(x+x^2+x^3+x^4+\cdots=3\) når \(x\in\langle -1,1 angle\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Gjenkjenn en uendelig geometrisk rekke

\[ a_1=x,\qquad k=x \]

Steg 2 — Bruk sumformelen når \(|x|<1\)

\[ S=\dfrac{x}{1-x} \]

Steg 3 — Løs likningen

\[ \dfrac{x}{1-x}=3\quad\Longrightarrow\quad x=3-3x\quad\Longrightarrow\quad4x=3\quad\Longrightarrow\quad x=\dfrac34 \]

Kontroll av intervallet

\(\dfrac34\in\langle -1,1 angle\), så løsningen er gyldig.

Vanlig feil: Å bruke formelen uten å kontrollere at \(|x|<1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(x/(1-x)=3) → \(x=\dfrac34\) 2 Abs(3/4)<1 → true

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational x = symbols('x') losning = solve(Eq(x/(1-x), 3), x) print("løsninger =", losning) for verdi in losning: print("ligger i intervallet (-1, 1)?", -1 < verdi < 1) print("sumverdi =", (verdi/(1-verdi)).simplify())

Fasit: \(x=\dfrac34\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d Polynomdivisjon

Oppgave 1d

Oppgave:

Vi har gitt polynomfunksjonen \(f(x)=x^3+ax+12\).

1) Bestem \(a\) slik at divisjonen \(f(x):(x-4)\) går opp.

2) Utfør divisjonen, og skriv \(f(x)\) som et produkt av førstegradsfaktorer for denne \(a\)-verdien.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk faktor-/restsetningen

\[ x-4\;\text{er faktor}\quad\Longleftrightarrow\quad f(4)=0 \] \[ 4^3+4a+12=0\quad\Longrightarrow\quad76+4a=0\quad\Longrightarrow\quad a=-19 \]

Steg 2 — Sett inn \(a=-19\)

\[ f(x)=x^3-19x+12 \]

Steg 3 — Utfør divisjonen

\[ x^3-19x+12=(x-4)(x^2+4x-3) \]

Steg 4 — Faktoriser andregradsfaktoren

\[ x^2+4x-3=0\quad\Longrightarrow\quad x=-2\pm\sqrt{7} \] \[ f(x)=(x-4)\left(x+2-\sqrt7\right)\left(x+2+\sqrt7\right) \] Vanlig feil: Å sette \(x=-4\) i restsetningen. Faktoren \(x-4\) betyr at vi tester \(x=4\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(4^3+4a+12=0) → \(a=-19\) 2 Faktoriser(x^3-19x+12) → \((x-4)(x^2+4x-3)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, factor, div, sqrt x, a = symbols('x a') f = x**3 + a*x + 12 a_verdi = solve(Eq(f.subs(x, 4), 0), a)[0] f_med_a = f.subs(a, a_verdi) kvotient, rest = div(f_med_a, x - 4) print("a =", a_verdi) print("f(x) med denne a-verdien =", f_med_a) print("kvotient =", kvotient) print("rest =", rest) print("faktorisert =", factor(f_med_a, extension=sqrt(7)))

Fasit: \(a=-19\), og \(f(x)=(x-4)\left(x+2-\sqrt7\right)\left(x+2+\sqrt7\right)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1e Rekker og mønster

Oppgave 1e

Oppgave:

Vi har gitt rekken \(1+7+19+37+\cdots\). Skriv opp \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\), \(S_4\) og bestem \(S_{100}\). …