Matematikk S2 Eksamen våren 2021 – løsningsforslag

ifingo - Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen V21 – løsningsforslag

Komplett bokmålsfil basert på Udir-settet. Hver deloppgave har transkribert oppgavetekst, trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS og realistisk Python-kontroll.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=x^4-4\ln x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk potensregelen

\[\dfrac{d}{dx}x^4=4x^3\]

Potensregelen gir ett ledd i den deriverte.

Steg 2 — Deriver logaritmeleddet

\[\dfrac{d}{dx}\left(-4\ln x\right)=-4\cdot \dfrac{1}{x}\]

Her må vi huske at \(x>0\).

Steg 3 — Sett leddene sammen

\[f'(x)=4x^3-\dfrac{4}{x}\]

Den deriverte er summen av de deriverte leddene.

Steg 4 — Kontroller definisjonsmengden

\[D_f=\left(0,\infty\right)\]

Logaritmen gjør at funksjonen bare er definert for positive \(x\).

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Derivert[x^4 - 4 ln(x)] → \(4x^3-\dfrac{4}{x}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, diff, simplify x = symbols('x', positive=True) f = x**4 - 4*log(x) f_derivert = simplify(diff(f, x)) print("Funksjon:", f) print("Derivert:", f_derivert) print("Kontroll: f'(x) = 4*x**3 - 4/x") 

Fasit: \(f'(x)=4x^3-\dfrac{4}{x}\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Derivasjon med kvotientregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=\dfrac{e^{2x}}{x+1}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Identifiser teller og nevner

\[u=e^{2x},\quad v=x+1\]

Vi bruker kvotientregelen.

Steg 2 — Deriver teller og nevner

\[u'=2e^{2x},\quad v'=1\]

Kjerneregelen gir faktoren 2 i telleren.

Steg 3 — Bruk kvotientregelen

\[g'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\]

Dette er den sikre strukturen for brøkfunksjoner.

Steg 4 — Forenkle uttrykket

\[g'(x)=\dfrac{2e^{2x}\left(x+1\right)-e^{2x}}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{e^{2x}\left(2x+1\right)}{\left(x+1\right)^2}\]

Vi faktoriserer \(e^{2x}\) i telleren.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Derivert[exp(2x)/(x+1)] → \(\dfrac{e^{2x}\left(2x+1\right)}{\left(x+1\right)^2}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, simplify x = symbols('x') g = exp(2*x)/(x + 1) g_derivert = simplify(diff(g, x)) print("Funksjon:", g) print("Derivert forenklet:", g_derivert) print("Utskrift viser samme uttrykk som fasit.") 

Fasit: \(g'(x)=\dfrac{e^{2x}\left(2x+1\right)}{\left(x+1\right)^2}\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Aritmetisk rekke

Oppgave 2a

Oppgave:

Bestem summen av rekken \(-6-1+4+9+14+\cdots+189\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn første ledd og differanse

\[a_1=-6,\quad d=5\]

Hvert ledd øker med 5.

Steg 2 — Finn antall ledd

\[-6+\left(n-1\right)5=189\] \[5\left(n-1\right)=195\quad \Rightarrow \quad n=40\]

Vi må vite hvor mange ledd som inngår i summen.

Steg 3 — Bruk sumformelen

\[S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}\]

Dette er formelen for endelig aritmetisk rekke.

Steg 4 — Regn ut summen

\[S_{40}=\dfrac{40\left(-6+189\right)}{2}=3660\]

Summen er positiv fordi de positive leddene dominerer.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Sum[Følge[-6 + (n - 1) 5, n, 1, 40]] → \(3660\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation n = symbols('n', integer=True, positive=True) ledd = -6 + (n - 1)*5 sum_rekke = summation(ledd, (n, 1, 40)) print("Leddformel:", ledd) print("Antall ledd:", 40) print("Sum:", sum_rekke) 

Fasit: \(3660\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Uendelig geometrisk rekke

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem summen av rekken \(72-36+18-9+\cdots\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Kjenn igjen geometrisk rekke

\[a_1=72,\quad k=\dfrac{-36}{72}=-\dfrac{1}{2}\]

Hvert ledd ganges med samme kvotient.

Steg 2 — Sjekk konvergens

\[\left|k\right|=\dfrac{1}{2}<1\]

Dermed finnes summen av den uendelige rekken.

Steg 3 — Bruk sumformelen

\[S=\dfrac{a_1}{1-k}\]

Formelen gjelder bare når \(\left|k\right|<1\).

Steg 4 — Sett inn

\[S=\dfrac{72}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}=\dfrac{72}{\dfrac{3}{2}}=48\]

Negative og positive ledd demper hverandre.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Sum[72*(-1/2)^(n-1), n, 1, infinity] → \(48\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation, oo, Rational n = symbols('n', integer=True, positive=True) a1 = 72 k = Rational(-1, 2) ledd = a1*k**(n - 1) sum_uendelig = summation(ledd, (n, 1, oo)) print("Første ledd:", a1) print("Kvotient:", k) print("Uendelig sum:", sum_uendelig) 

Fasit: \(48\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a Polynomdivisjon

Oppgave 3a

Oppgave:

Utfør polynomdivisjonen \(P(x):(x-2)\) når \(P(x)=x^3-19x+30\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Skriv polynomet med manglende ledd

\[P(x)=x^3+0x^2-19x+30\]

Nullleddet for \(x^2\) må være med i divisjonen.

Steg 2 — Del første ledd

\[\dfrac{x^3}{x}=x^2\]

Dette gir første ledd i kvotienten.

Steg 3 — Fortsett divisjonen

\[P(x)=\left(x-2\right)\left(x^2+2x-15\right)+0\]

Resten blir null.

Steg 4 — Konkluder

\[P(x):\left(x-2\right)=x^2+2x-15\]

Fordi resten er null, er \(x-2\) en faktor i \(P\).

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Divisjon[x^3 - 19x + 30, x - 2] → \(x^2+2x-15\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, div x = symbols('x') P = x**3 - 19*x + 30 kvotient, rest = div(P, x - 2) print("P(x):", P) print("Kvotient:", kvotient) print("Rest:", rest) 

Fasit: \(x^2+2x-15\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3b Polynomulikhet

Oppgave 3b

Oppgave:

Løs ulikheten \(P(x)\ge 0\) for \(P(x)=x^3-19x+30\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Faktoriser polynomet

\[P(x)=\left(x-2\right)\left(x^2+2x-15\right)\]

Vi bruker resultatet fra polynomdivisjonen.

Steg 2 — Faktoriser andregradsfaktoren

\[x^2+2x-15=\left(x+5\right)\left(x-3\right)\]

Nullpunktene er \(-5\), \(2\) og \(3\).

Steg 3 — Lag fortegnslinje

\[P(x)=\left(x+5\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\]

Et tredjegradspolynom med positiv ledende koeffisient skifter fortegn i hvert enkelt nullpunkt.

Steg 4 — Velg intervallene med ikke-negativ verdi

\[P(x)\ge 0\quad \Rightarrow \quad x\in \left[-5,2\right]\cup\left[3,\infty\right)\]

Nullpunktene tas med fordi ulikheten har \(\ge\).

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves. …