Matematikk S2 Eksempeloppgave våren 2015 – løsningsforslag

Matematikk S2 - Vaar 2015 eksempeloppgave

Komplett, kontrollert og elevvennlig loesningsforslag. Alle deloppgaver er skrevet med trinnvis matematikk, CAS-/GeoGebra-steg og Python-kontroll som viser realistisk kjorestruktur.

REA3028 Ny eksamensordning Del 1 og Del 2 Ifingo premium Innhold:Del 1 og Del 2. MathJax bruker kun \(...\) og \[...\].

Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1a Derivasjon av polynom

Oppgave:

Deriver \(f(x)=3x^3-2x+5\).

Vis løsning Løsning:

Vi deriverer ledd for ledd. Konstantleddet forsvinner, og potensregelen gir

\[f'(x)=3\cdot 3x^2-2=9x^2-2\] Svar: \(f'(x)=9x^2-2\) Python-kontroll

from sympy import symbols, diff x = symbols('x') f = 3*x**3 - 2*x + 5 print('f(x) =', f) print("f'(x) =", diff(f, x))

GeoGebra CAS / graftegner f(x):=3x^3-2x+5 Derivative(f(x),x) = 9x^2 - 2 Få mer forklaring

Oppgave 1b Produktregel med eksponentialfunksjon

Oppgave:

Deriver \(g(x)=xe^{2x}\).

Vis løsning Løsning:

Bruk produktregelen \((uv)'=u'v+uv'\), med \(u=x\) og \(v=e^{2x}\).

\[g'(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot 2e^{2x}=e^{2x}(1+2x)\] Svar: \(g'(x)=e^{2x}(1+2x)\) Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, factor x = symbols('x') g = x*exp(2*x) derivert = diff(g, x) print('g(x) =', g) print("g'(x) =", derivert) print('faktorisert=', factor(derivert))

GeoGebra CAS / graftegner g(x):=x exp(2x) Derivative(g(x),x) = exp(2x)(2x+1) Få mer forklaring

Oppgave 2 Bestemme en bestemt derivertverdi

Oppgave:

Bestem \(h'(2)\) når \(h(x)=\dfrac{e^x}{x-1}\).

Vis løsning Løsning:

Vi bruker kvotientregelen.

\[h'(x)=\dfrac{e^x(x-1)-e^x}{(x-1)^2}=\dfrac{e^x(x-2)}{(x-1)^2}\] \[h'(2)=\dfrac{e^2(2-2)}{(2-1)^2}=0\] Svar: \(h'(2)=0\) Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, simplify x = symbols('x') h = exp(x)/(x - 1) h_derivert = simplify(diff(h, x)) verdi = h_derivert.subs(x, 2) print('h(x) =', h) print("h'(x) =", h_derivert) print("h'(2) =", verdi)

GeoGebra CAS / graftegner h(x):=exp(x)/(x-1) h'(2) = 0 Få mer forklaring

Oppgave 3a Kontrollere nullpunkt i polynom

Oppgave:

Vis at \(P(3)=0\) for \(P(x)=2x^3-6x^2-8x+24\).

Vis løsning Løsning: \[P(3)=2\cdot 3^3-6\cdot 3^2-8\cdot 3+24=54-54-24+24=0\] Svar: \(P(3)=0\) Python-kontroll

from sympy import symbols x = symbols('x') P = 2*x**3 - 6*x**2 - 8*x + 24 print('P(3) =', P.subs(x, 3))

GeoGebra CAS / graftegner P(x):=2x^3-6x^2-8x+24 P(3)=0 Få mer forklaring

Oppgave 3b Faktorisering med polynomdivisjon

Oppgave:

Faktoriser polynomet i førstegradsfaktorer.

Vis løsning Løsning:

Siden \(P(3)=0\), er \(x-3\) en faktor. Polynomdivisjon gir

\[2x^3-6x^2-8x+24=(x-3)(2x^2-8)\] \[2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)\] \[P(x)=2(x-3)(x-2)(x+2)\] Svar: \(P(x)=2(x-3)(x-2)(x+2)\) Python-kontroll

from sympy import symbols, factor x = symbols('x') P = 2*x**3 - 6*x**2 - 8*x + 24 print('P(x) =', P) print('faktorisert =', factor(P))

GeoGebra CAS / graftegner Factor(2x^3-6x^2-8x+24) 2 (x - 3)(x - 2)(x + 2) Få mer forklaring

Oppgave 3c Forkorte rasjonalt uttrykk

Oppgave:

Forkort \(\dfrac{2x^3-6x^2-8x+24}{2x^2-8}\).

Vis løsning Løsning: \[\dfrac{2(x-3)(x-2)(x+2)}{2(x-2)(x+2)}=x-3\]

Forkortingen gjelder for \(x\ne 2\) og \(x\ne -2\).

Svar: \(x-3\) Python-kontroll

from sympy import symbols, cancel x = symbols('x') uttrykk = (2*x**3 - 6*x**2 - 8*x + 24)/(2*x**2 - 8) print('uttrykk =', uttrykk) print('forkortet =', cancel(uttrykk))

GeoGebra CAS / graftegner Simplify((2x^3-6x^2-8x+24)/(2x^2-8)) x - 3 Få mer forklaring

Oppgave 4a Tallrekke og sumformel

Oppgave:

Fyll ut tabellen og foreslaa en formel for delsummen.

Vis løsning Løsning:

Sumnene blir perfekte kubikktall:

\[S_1=1,\quad S_2=8,\quad S_3=27,\quad S_4=64,\quad S_5=125,\quad S_6=216\] \[S_n=n^3\]

Da er \(a_3=19\), \(a_4=37\), \(a_5=61\) og \(\sqrt[3]{S_n}=n\). …