Matematikk S2 Eksamen høsten 2014 – løsningsforslag

ifingo - løsningsforslag

Matematikk S2 eksamen Høsten 2014

Komplett løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har transkribert oppgave, trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og Python-kontroll med realistisk kjørbar kode.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a - 3 poeng samlet Derivasjon med logaritme

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=3\ln(x-2)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk logaritmeregelen

Vi bruker at \(\dfrac{d}{dx}\ln u=\dfrac{u\prime}{u}\) når \(u\) er en deriverbar kjerne.

Steg 2 - Finn kjernen

\[u=x-2\]

Steg 3 - Deriver kjernen

\[u\prime=1\]

Steg 4 - Sett inn i kjerneregelen

\[\dfrac{d}{dx}\ln(x-2)=\dfrac{1}{x-2}\]

Steg 5 - Ta med konstantfaktoren

\[f\prime(x)=3\cdot\dfrac{1}{x-2}\]

Steg 6 - Skriv svaret ryddig

\[f\prime(x)=\dfrac{3}{x-2}\]

Tolkning

Den deriverte beskriver momentan vekstfart. Den er definert for \(x>2\), samme område som logaritmen.

Vanlig feil: Å derivere \(\ln(x-2)\) som om det var \(\ln x\) uten å kontrollere kjernen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(3 ln(x-2)) -> \(\dfrac{3}{x-2}\)

Python

from sympy import symbols, log, diff, simplify x = symbols('x') f = 3*log(x - 2) f_derivert = diff(f, x) forventet = 3/(x - 2) print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_derivert) print("Forventet uttrykk =", forventet) print("Kontroll, differanse =", simplify(f_derivert - forventet))

Fasit: \(f\prime(x)=\dfrac{3}{x-2}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b - 3 poeng samlet Produktregel og logaritme

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=x\ln(3x)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Gjenkjenn produktet

Funksjonen er produktet av \(x\) og \(\ln(3x)\).

Steg 2 - Bruk produktregelen

\[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime\]

Steg 3 - Deriver faktorene

\[u=x,\quad u\prime=1,\qquad v=\ln(3x),\quad v\prime=\dfrac{3}{3x}=\dfrac{1}{x}\]

Steg 4 - Sett inn

\[g\prime(x)=1\cdot\ln(3x)+x\cdot\dfrac{1}{x}\]

Steg 5 - Forenkle

\[g\prime(x)=\ln(3x)+1\]

Steg 6 - Kontroller domenet

Uttrykket gjelder for \(x>0\), fordi \(\ln(3x)\) krever positivt argument.

Tolkning

Produktregelen gir både logaritmeleddet og et ekstra konstantledd.

Vanlig feil: Å glemme at \(\dfrac{d}{dx}\ln(3x)=\dfrac{1}{x}\), ikke \(\dfrac{1}{3x}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(x ln(3x)) -> \(\ln(3x)+1\)

Python

from sympy import symbols, log, diff, simplify x = symbols('x', positive=True) g = x*log(3*x) g_derivert = diff(g, x) forventet = log(3*x) + 1 print("g(x) =", g) print("g'(x) =", g_derivert) print("Forventet uttrykk =", forventet) print("Kontroll, differanse =", simplify(g_derivert - forventet))

Fasit: \(g\prime(x)=\ln(3x)+1\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 - 2 poeng Faktorisering og forkorting

Oppgave 2

Oppgave:

Forklar hvordan vi kan avgjøre om brøken nedenfor kan forkortes, uten å utføre forkortingen. Forkort brøken.

\[\dfrac{x^3-2x^2-3x}{x-3}\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

Brøken kan forkortes med \(x-3\) dersom telleren har \(x-3\) som faktor. Det kan vi sjekke ved å sette \(x=3\) i telleren.

Steg 2 - Test telleren

\[3^3-2\cdot 3^2-3\cdot 3=27-18-9=0\]

Steg 3 - Konkluder om forkorting

Siden testen gir null, er \(x-3\) en faktor i telleren.

Steg 4 - Faktoriser telleren

\[x^3-2x^2-3x=x(x^2-2x-3)=x(x-3)(x+1)\]

Steg 5 - Forkort felles faktor

\[\dfrac{x(x-3)(x+1)}{x-3}=x(x+1)\]

Steg 6 - Husk vilkåret

Den opprinnelige brøken er ikke definert når \(x=3\).

Tolkning

Den forkortede formen er enklere, men det opprinnelige uttrykket har fortsatt et hull ved \(x=3\).

Vanlig feil: Å forkorte uten å nevne at \(x=3\) ikke er tillatt i den opprinnelige brøken.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Faktoriser(x^3-2x^2-3x) -> \(x(x-3)(x+1)\) 2 Forenkle((x^3-2x^2-3x)/(x-3)) -> \(x(x+1)\)

Python

from sympy import symbols, factor, simplify x = symbols('x') teller = x**3 - 2*x**2 - 3*x nevner = x - 3 print("Teller =", teller) print("Teller ved x = 3:", teller.subs(x, 3)) print("Teller faktorisert =", factor(teller)) print("Forkortet uttrykk =", simplify(teller/nevner)) print("Vilkår: x != 3")

Fasit: \(x(x+1)\), der \(x\ne 3\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a - 3 poeng samlet Geometrisk rekke

Oppgave 3a

Oppgave:

Bestem et uttrykk for summen \(a+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2^2}+\cdots+\dfrac{a}{2^{n-1}}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Identifiser rekken

Dette er en endelig geometrisk rekke med første ledd \(a\) og kvotient \(k=\dfrac{1}{2}\).

Steg 2 - Skriv sumformelen

\[S_n=a_1\dfrac{1-k^n}{1-k}\]

Steg 3 - Sett inn verdiene

\[S_n=a\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{1-\dfrac{1}{2}}\]

Steg 4 - Forenkle nevneren

\[1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\]

Steg 5 - Forenkle hele uttrykket

\[S_n=2a\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\]

Steg 6 - Skriv alternativ form

\[S_n=2a\left(1-2^{-n}\right)\]

Tolkning

Summen nærmer seg \(2a\) når antall ledd blir stort.

Vanlig feil: Å bruke \(1-k^{n-1}\) i stedet for \(1-k^n\) i sumformelen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Sum(a*(1/2)^(i-1), i, 1, n) -> \(2a\left(1-2^{-n}\right)\)

Python

from sympy import symbols, summation, simplify n, i, a = symbols('n i a', positive=True, integer=True) ledd = a*(1/2)**(i - 1) S = summation(ledd, (i, 1, n)) forventet = 2*a*(1 - 2**(-n)) print("Ledd =", ledd) print("Sum S_n =", S) print("Forventet form =", forventet) print("Kontroll =", simplify(S - forventet))

Fasit: \(S_n=2a\left(1-2^{-n}\right)\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3b - 3 poeng samlet Konvergens

Oppgave 3b

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved \(a+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2^2}+\dfrac{a}{2^3}+\cdots\). Begrunn hvorfor rekken konvergerer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn kvotienten

\[k=\dfrac{1}{2}\]

Steg 2 - Bruk konvergenskravet

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \(|k|<1\).

Steg 3 - Kontroller kravet

\[\left|\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}<1\]

Steg 4 - Knytt til leddene

Leddstørrelsene blir mindre og mindre fordi hvert ledd er halvparten av leddet før.

Steg 5 - Skriv grenseideen

\[\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0\]

Steg 6 - Konkluder

Dermed finnes en endelig sum for rekken.

Tolkning

Rekken konvergerer fordi kvotienten i absoluttverdi er mindre enn 1.

Vanlig feil: Å tro at alle uendelige rekker har sum. Kravet \(|k|<1\) må sjekkes.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Abs(1/2) < 1 -> \(\text{true}\) 2 Grense((1/2)^n, n, infinity) -> \(0\)

Python

from sympy import Rational, limit, symbols, oo n = symbols('n') k = Rational(1, 2) print("Kvotient k =", k) print("abs(k) < 1:", abs(k) < 1) print("Grense for k^n når n går mot uendelig =", limit(k**n, n, oo))

Fasit: Rekken konvergerer fordi \(|k|=\dfrac{1}{2}<1\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3c - 3 poeng samlet Uendelig geometrisk rekke

Oppgave 3c

Oppgave:

Bestem \(a\) slik at summen av rekken blir 10.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk formelen for uendelig sum

\[S=\dfrac{a_1}{1-k}\]

Steg 2 - Sett inn første ledd og kvotient

\[S=\dfrac{a}{1-\dfrac{1}{2}}\]

Steg 3 - Forenkle

\[S=2a\]

Steg 4 - Sett summen lik 10

\[2a=10\]

Steg 5 - Løs likningen

\[a=5\]

Steg 6 - Kontroller ved innsetting

\[5+\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{4}+\cdots=10\]

Tolkning

Første ledd må være 5 for at den uendelige summen skal bli 10. …