Matematikk S2 Eksamen høsten 2009 – løsningsforslag

Matematikk S2 H09 - komplett løsningsforslag

Fullstendig, originalt løsningsforslag med trinnvis regning, kontroll i Python og GeoGebra CAS-formuleringer. Formatet er laget for publisering i ifingo-stil med ren MathJax og nøytral kodevisning.

Del 1 og Del 2 Bokmål REA3028 S2 Kontrollprinsipp: Alle deloppgaver er skrevet med vanlige matematiske steg først, deretter digital kontroll. På oppgave 4 er både alternativ I og alternativ II løst, selv om eksamenskandidaten bare skulle velge ett alternativ.

Del 1

Oppgave 1a 1

Deriver \(f(x)=x^3\ln x\).

Vis løsning

1. Bruk produktregelen: \((uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime\). Her er \(u=x^3\) og \(v=\ln x\).
2. Da er \(u^\prime=3x^2\) og \(v^\prime=\dfrac{1}{x}\).
3. \[f^\prime(x)=3x^2\ln x+x^3\cdot\dfrac{1}{x}=3x^2\ln x+x^2=x^2(3\ln x+1)\]

Svar: \(f^\prime(x)=x^2(3\ln x+1)\) Python-kontroll

import sympy as sp x = sp.symbols('x', positive=True) f = x**3 * sp.log(x) derivert = sp.diff(f, x) faktorisert = sp.factor(derivert) print('f(x) =', f) print("f'(x) =", derivert) print('faktorisert =', faktorisert)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll Deriver Derivative[x^3 ln(x)] Faktoriser Factor[%] Få mer forklaring

Oppgave 1a 2

Deriver \(g(x)=3e^{2x}+e^{x^2}\).

Vis løsning

1. For det første leddet bruker vi kjerneregelen: \((3e^{2x})^\prime=3\cdot 2e^{2x}=6e^{2x}\).
2. For det andre leddet er kjernen \(x^2\), derfor blir den deriverte \(2xe^{x^2}\).
3. \[g^\prime(x)=6e^{2x}+2xe^{x^2}\]

Svar: \(g^\prime(x)=6e^{2x}+2xe^{x^2}\) Python-kontroll

import sympy as sp x = sp.symbols('x') g = 3*sp.exp(2*x) + sp.exp(x**2) derivert = sp.diff(g, x) print('g(x) =', g) print("g'(x) =", derivert)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll Deriver Derivative[3 exp(2x)+exp(x^2)] Kontroller 6 exp(2x)+2x exp(x^2) Få mer forklaring

Oppgave 1b

Aritmetisk rekke med \(a_3=8\) og \(a_8=23\). Bestem \(a_1\), \(d\) og \(S_{50}\).

Vis løsning

1. I en aritmetisk følge er \(a_n=a_1+(n-1)d\).
2. Vi får likningene \(a_1+2d=8\) og \(a_1+7d=23\). Trekker vi den første fra den andre, får vi \(5d=15\), altså \(d=3\).
3. Da er \(a_1=8-2\cdot 3=2\).
4. \[S_{50}=\dfrac{50}{2}(2a_1+49d)=25(4+147)=3775\]

Svar: \(a_1=2,\ d=3,\ S_{50}=3775\) Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve n = 50 a1, d = symbols('a1 d') losning = solve([Eq(a1 + 2*d, 8), Eq(a1 + 7*d, 23)], [a1, d]) S50 = n/2 * (2*losning[a1] + (n-1)*losning[d]) print('a1 =', losning[a1]) print('d =', losning[d]) print('S50 =', S50)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll Løs Solve[{a1+2d=8,a1+7d=23},{a1,d}] Sum 50/2*(2*a1+49*d) Få mer forklaring

Oppgave 1c

Løs likningen \(\dfrac{6}{x^2-3x}+\dfrac{x-2}{x}=\dfrac{2}{x-3}\).

Vis løsning

1. Først setter vi betingelser: \(x\ne 0\) og \(x\ne 3\).
2. Faktoriser nevneren: \(x^2-3x=x(x-3)\). Multipliser hele likningen med \(x(x-3)\).
3. \[6+(x-2)(x-3)=2x\]
4. \[6+x^2-5x+6=2x\quad\Rightarrow\quad x^2-7x+12=0\]
5. \[(x-3)(x-4)=0\]
6. \(x=3\) er ikke lov fordi nevneren blir null. Derfor står \(x=4\) igjen.

Svar: \(x=4\) Python-kontroll

import sympy as sp x = sp.symbols('x') likning = sp.Eq(6/(x**2 - 3*x) + (x - 2)/x, 2/(x - 3)) kandidater = sp.solve(sp.together(likning.lhs - likning.rhs).as_numer_denom()[0], x) gyldige = [verdi for verdi in kandidater if verdi not in (0, 3)] print('kandidater =', kandidater) print('gyldige løsninger =', gyldige)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll Løs Solve[6/(x^2-3x)+(x-2)/x=2/(x-3)] Betingelse x != 0, x != 3 Få mer forklaring

Oppgave 1d 1

Vis at \(x=-1\) er nullpunkt for \(f(x)=2x^3-10x^2+6x+18\) og faktoriser.

Vis løsning

1. Sett inn \(x=-1\):
2. \[f(-1)=2(-1)^3-10(-1)^2+6(-1)+18=-2-10-6+18=0\]
3. Dermed er \((x+1)\) en faktor.
4. Polynomdivisjon gir \(2x^3-10x^2+6x+18=(x+1)(2x^2-12x+18)\).
5. Faktoriser andregradsuttrykket:
6. \[2x^2-12x+18=2(x^2-6x+9)=2(x-3)^2\]
7. \[f(x)=2(x+1)(x-3)^2\]

Svar: \(f(x)=2(x+1)(x-3)^2\) Python-kontroll

import sympy as sp x = sp.symbols('x') f = 2*x**3 - 10*x**2 + 6*x + 18 verdi_minus_1 = f.subs(x, -1) faktorisert = sp.factor(f) print('f(-1) =', verdi_minus_1) print('faktorisert =', faktorisert)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll Nullpunkt f(-1) Faktoriser Factor[2x^3-10x^2+6x+18] Få mer forklaring

Oppgave 1d 2

Løs ulikheten \(f(x)\ge 0\) for \(f(x)=2(x+1)(x-3)^2\). …