Matematikk S2 Eksamen våren 2022 (K06) – løsningsforslag

Matematikk S2 · Udir

Matematikk S2 eksamen V22 (K06) – løsningsforslag

Komplett ifingo-løsningsforslag på bokmål. Oppgavene er transkribert fra bokmålsdelen av eksamenssettet og løst med trinnvis forklaring, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og realistiske Python-kontroller med tydelig utskrift.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 løses med derivasjon, polynomregning, rekker, optimering og sannsynlighet uten hjelpemidler. Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \( f(x)=3x^3+\ln x \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk summeregelen

Funksjonen er en sum av et potensledd og et logaritmeledd. Vi deriverer derfor ledd for ledd.

Steg 2 — Deriver potensleddet

\[ \dfrac{d}{dx}\left(3x^3\right)=9x^2 \]

Potensregelen gir at eksponenten flyttes ned og reduseres med \(1\).

Steg 3 — Deriver logaritmeleddet

\[ \dfrac{d}{dx}\left(\ln x\right)=\dfrac{1}{x} \]

Dette gjelder for \(x>0\), siden \(\ln x\) bare er definert for positive \(x\).

Steg 4 — Sett sammen den deriverte

\[ f'(x)=9x^2+\dfrac{1}{x} \]

Steg 5 — Tolkning

Den deriverte gir stigningstallet til grafen til \(f\) i hvert punkt der \(x>0\).

Steg 6 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å skrive \(\ln x\) derivert som \(x\). Riktig derivert er \(\dfrac{1}{x}\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Derivert(3x^3 + ln(x)) → \(9x^2+\dfrac{1}{x}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 1a: derivasjon") print("-"*60) from sympy import symbols, log, diff, simplify x = symbols('x', positive=True) f = 3*x**3 + log(x) f_derivert = simplify(diff(f, x)) print('f(x) =', f) print('f_derivert =', f_derivert)

Fasit: \( f'(x)=9x^2+\dfrac{1}{x} \) (kontrollert digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Derivasjon

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \( g(x)=x\cdot e^{-2x} \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Identifiser produktet

Her er \(g(x)\) et produkt av \(x\) og \(e^{-2x}\). Vi bruker produktregelen.

Steg 2 — Sett opp produktregelen

\[ (uv)'=u'v+uv' \]

Steg 3 — Deriver faktorene

\[ u=x \Rightarrow u'=1,\qquad v=e^{-2x}\Rightarrow v'=-2e^{-2x} \]

Steg 4 — Sett inn i produktregelen

\[ g'(x)=1\cdot e^{-2x}+x\cdot\left(-2e^{-2x}\right) \]

Steg 5 — Faktoriser

\[ g'(x)=e^{-2x}\left(1-2x\right) \]

Steg 6 — Tolkning

Faktoren \(1-2x\) bestemmer hvor den deriverte skifter fortegn.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte \(-2\) i \(e^{-2x}\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Derivert(x exp(-2x)) → \(e^{-2x}(1-2x)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 1b: produktregel") print("-"*60) from sympy import symbols, exp, diff, factor x = symbols('x') g = x*exp(-2*x) g_derivert = factor(diff(g, x)) print('g(x) =', g) print('g_derivert =', g_derivert)

Fasit: \( g'(x)=e^{-2x}(1-2x) \) (kontrollert digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Derivasjon

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \( h(x)=\dfrac{2x}{x^2+1} \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Identifiser brøkfunksjonen

Funksjonen er en kvotient. Vi bruker kvotientregelen.

Steg 2 — Sett opp kvotientregelen

\[ \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} \]

Steg 3 — Deriver teller og nevner

\[ u=2x\Rightarrow u'=2,\qquad v=x^2+1\Rightarrow v'=2x \]

Steg 4 — Sett inn

\[ h'(x)=\dfrac{2(x^2+1)-2x\cdot2x}{(x^2+1)^2} \]

Steg 5 — Forenkle telleren

\[ 2x^2+2-4x^2=2-2x^2 \]

Steg 6 — Skriv svaret ryddig

\[ h'(x)=\dfrac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2} \]

Steg 7 — Tolkning

Den deriverte er null når \(x=\pm1\), som er kandidater til ekstremalpunkter.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke produktregelen uten å skrive \((x^2+1)^{-1}\), eller å glemme å kvadrere nevneren.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Derivert(2x/(x^2+1)) → \(\dfrac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 1c: kvotientregel") print("-"*60) from sympy import symbols, diff, simplify x = symbols('x') h = 2*x/(x**2 + 1) h_derivert = simplify(diff(h, x)) print('h(x) =', h) print('h_derivert =', h_derivert)

Fasit: \( h'(x)=\dfrac{2-2x^2}{(x^2+1)^2} \) (kontrollert digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Nullpunkter og faktorisering

Oppgave 2a

Oppgave:

Funksjonen \( f \) er gitt ved \( f(x)=x^3+6x^2+3x-10 \). Vis at \(x=1\) er et nullpunkt til \(f\). Bestem de andre nullpunktene til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Kontroller nullpunktet

\[ f(1)=1^3+6\cdot1^2+3\cdot1-10=0 \]

Siden \(f(1)=0\), er \(x=1\) et nullpunkt.

Steg 2 — Bruk faktorregelen

Når \(x=1\) er nullpunkt, er \(x-1\) en faktor i polynomet.

Steg 3 — Utfør polynomdivisjon

\[ x^3+6x^2+3x-10=(x-1)(x^2+7x+10) \]

Steg 4 — Faktoriser andregradspolynomet

\[ x^2+7x+10=(x+5)(x+2) \]

Steg 5 — Finn alle nullpunktene

\[ (x-1)(x+5)(x+2)=0 \]

Steg 6 — Skriv løsningene

\[ x=1,\qquad x=-5,\qquad x=-2 \]

Steg 7 — Tolkning

Grafen skjærer \(x\)-aksen i tre punkter.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å finne faktoriseringen, men glemme nullpunktet \(x=1\) som allerede var gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Faktoriser(x^3+6x^2+3x-10) → \((x-1)(x+2)(x+5)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 2a: faktorisering og nullpunkter") print("-"*60) from sympy import symbols, factor, solve x = symbols('x') f = x**3 + 6*x**2 + 3*x - 10 print('f(1) =', f.subs(x, 1)) print('Faktorisert:', factor(f)) print('Nullpunkter:', solve(f, x))

Fasit: Nullpunktene er \(x=-5\), \(x=-2\) og \(x=1\) (kontrollert digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Ekstremalpunkter

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem eksakte verdier for \(x\)-koordinatene til eventuelle toppunkter og eventuelle bunnpunkter på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[ f'(x)=3x^2+12x+3 \]

Steg 2 — Sett den deriverte lik null

\[ 3x^2+12x+3=0 \]

Steg 3 — Del på 3

\[ x^2+4x+1=0 \]

Steg 4 — Bruk abc-formelen

\[ x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot1}}{2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{12}}{2} \]

Steg 5 — Forenkle

\[ x=-2\pm\sqrt{3} \]

Steg 6 — Klassifiser med andrederivert

\[ f''(x)=6x+12 \]

Steg 7 — Avgjør topp og bunn

Ved \(x=-2-\sqrt{3}\) er \(f^{\prime\prime}(x)<0\), altså toppunkt. Ved \(x=-2+\sqrt{3}\) er \(f^{\prime\prime}(x)>0\), altså bunnpunkt.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å gi desimaltall når oppgaven ber om eksakte verdier.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(3x^2+12x+3=0) → \(x=-2-\sqrt{3}\lor x=-2+\sqrt{3}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 2b: eksakte ekstremalpunkter") print("-"*60) from sympy import symbols, diff, solve, sqrt, simplify x = symbols('x') f = x**3 + 6*x**2 + 3*x - 10 fp = diff(f, x) fpp = diff(fp, x) kritiske = solve(fp, x) print('f_derivert =', fp) print('f_andrederivert =', fpp) for verdi in kritiske: print('x =', verdi, 'andrederivert =', simplify(fpp.subs(x, verdi)))

Fasit: Toppunkt ved \(x=-2-\sqrt{3}\), bunnpunkt ved \(x=-2+\sqrt{3}\) (kontrollert digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2c Vendetangent

Oppgave 2c

Oppgave:

Bestem likningen til vendetangenten til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt. …