Matematikk S2 Eksamen våren 2024 – løsningsforslag

ifingo løsningsforslag

Matematikk S2 eksamen Vår 2024 - løsningsforslag

Komplett bokmålsversjon med Del 1 og Del 2, nøyaktig transkriberte oppgaver, trinnvise løsninger, kontrollsteg i GeoGebra CAS og Python, tolkning og vanlige feil.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 løses for hånd med integrasjon, normalfordeling, derivasjon, rekker og sannsynlighet. Del 1 - Oppgave 1a Integrasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

En funksjon \(f\) er gitt ved \[f(x)=-x^3+3x.\] Regn ut integralet \[\int_{-1}^{0} f(x)\,dx.\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et bestemt integral. Planen er å lage en antiderivert til \(f\), sette inn øvre og nedre grense og tolke fortegnet.

Steg 1 - Skriv integralet med funksjonsuttrykket

\[\int_{-1}^{0} f(x)\,dx=\int_{-1}^{0}\left(-x^3+3x\right)\,dx\]

Dette viser tydelig hva som skal integreres.

Steg 2 - Finn en antiderivert

\[F(x)=-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{3x^2}{2}\]

Vi bruker at \(\int x^3\,dx=\dfrac{x^4}{4}\) og \(\int x\,dx=\dfrac{x^2}{2}\).

Steg 3 - Bruk grensene

\[\int_{-1}^{0} f(x)\,dx=F(0)-F(-1)\]

Et bestemt integral er differansen mellom antiderivert i øvre og nedre grense.

Steg 4 - Regn ut verdiene

\[F(0)=0\]

\[F(-1)=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{4}\]

Steg 5 - Trekk fra

\[F(0)-F(-1)=0-\dfrac{5}{4}=-\dfrac{5}{4}\]

Integralverdien blir negativ fordi grafen ligger under \(x\)-aksen på intervallet \([-1,0]\).

Tolkning

Integralverdien er et orientert areal. Den negative verdien betyr at området ligger under \(x\)-aksen.

Vanlig feil: Å svare \(\dfrac{5}{4}\) fordi man tenker areal. Her spør deloppgave a om integralet, ikke arealet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra CAS 1 Integral(-x^3+3x,-1,0) → \(-\dfrac{5}{4}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate x = symbols("x") f = -x**3 + 3*x print(integrate(f, (x, -1, 0)))

Fasit: \(\int_{-1}^{0} f(x)\,dx=-\dfrac{5}{4}\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Integrasjon og areal

Oppgave 1b

Oppgave:

Bestem arealet av området som er avgrenset av grafen til \(f\), \(x\)-aksen og linjene \(x=-1\) og \(x=1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nå skal vi finne geometrisk areal. Da må vi ta hensyn til om grafen ligger over eller under \(x\)-aksen.

Steg 1 - Finn nullpunkt i intervallet

\[f(x)=-x^3+3x=x\left(3-x^2\right)\]

I intervallet \([-1,1]\) er eneste nullpunkt \(x=0\).

Steg 2 - Bestem fortegn

For \(-1 0\), derfor er \(f(x)<0\). For \(0 0\).

Steg 3 - Skriv arealet som absoluttverdi

\[A=-\int_{-1}^{0} f(x)\,dx+\int_{0}^{1} f(x)\,dx\]

Første integral må få motsatt fortegn fordi grafen ligger under aksen.

Steg 4 - Bruk symmetri

Funksjonen er oddetallsfunksjon fordi \(f(-x)=-f(x)\). Arealet på venstre og høyre side er derfor like stort.

Steg 5 - Regn ett av arealene

\[\int_{0}^{1}\left(-x^3+3x\right)\,dx=\left[-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{3x^2}{2}\right]_{0}^{1}=\dfrac{5}{4}\]

Steg 6 - Finn totalarealet

\[A=2\cdot \dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{2}\]

Tolkning

Arealet er positivt selv om integralet fra \(-1\) til \(0\) er negativt.

Vanlig feil: Å regne \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx=0\) og tro at arealet er null. Integral med fortegn og areal er ikke det samme.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra CAS 1 Integral(abs(-x^3+3x),-1,1) → \(\dfrac{5}{2}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate, Abs x = symbols("x", real=True) f = -x**3 + 3*x A = -integrate(f, (x, -1, 0)) + integrate(f, (x, 0, 1)) print(A)

Fasit: \(A=\dfrac{5}{2}\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 Integrasjon

Oppgave 2

Oppgave:

Regn ut integralet. \[\int \left(x^2+1\right)^3\cdot 2x\,dx\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et ubestemt integral. Strukturen \(\left(x^2+1\right)^3\cdot 2x\) tyder på substitusjon.

Steg 1 - Velg substitusjon

\[u=x^2+1\]

Dette er den indre funksjonen i parentesen.

Steg 2 - Deriver substitusjonen

\[\dfrac{du}{dx}=2x\]

Dermed er \(du=2x\,dx\), som finnes i integralet.

Steg 3 - Skriv integralet med \(u\)

\[\int \left(x^2+1\right)^3\cdot 2x\,dx=\int u^3\,du\]

Steg 4 - Integrer potensfunksjonen

\[\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C\]

Steg 5 - Sett tilbake \(u=x^2+1\)

\[\dfrac{u^4}{4}+C=\dfrac{\left(x^2+1\right)^4}{4}+C\]

Steg 6 - Kontroller ved derivasjon

\[\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\left(x^2+1\right)^4}{4}\right)=\left(x^2+1\right)^3\cdot 2x\]

Vi får tilbake integranden.

Tolkning

Substitusjonen fungerer fordi den deriverte av parentesen allerede står som faktor.

Vanlig feil: Å glemme \(+C\) i et ubestemt integral.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra CAS 1 Integral((x^2+1)^3*2x,x) → \(\dfrac{\left(x^2+1\right)^4}{4}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate x = symbols("x") expr = (x**2 + 1)**3 * 2*x print(integrate(expr, x))

Fasit: \(\dfrac{\left(x^2+1\right)^4}{4}+C\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a Følger og rekker

Oppgave 3a

Oppgave:

En elev har laget programmet til høyre.

n = 0 S = 0 while S <= 200: n = n + 1 S = S + 4*n - 2 print(n)

Forklar hva eleven prøver å finne ut.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke programmet matematisk, ikke bare kjøre det.

Steg 1 - Les startverdiene

Programmet starter med \(n=0\) og \(S=0\).

Det betyr at ingen ledd er lagt til ennå.

Steg 2 - Les løkken

Løkken kjører så lenge \(S\le 200\).

Hver gang øker \(n\) med \(1\).

Steg 3 - Finn leddet som legges til

I runde nummer \(n\) legges \(4n-2\) til summen.

Dette gir leddene \(2,6,10,14,\ldots\).

Steg 4 - Kjenn igjen rekken

Dette er en aritmetisk rekke med første ledd \(2\) og differanse \(4\).

Steg 5 - Beskriv målet

Programmet finner det minste antallet ledd som må summeres før summen blir større enn \(200\).

Steg 6 - Formuler matematisk

Eleven undersøker minste \(n\) slik at

\[\sum_{i=1}^{n}\left(4i-2\right)>200.\]

Tolkning

Programmet er en algoritmisk måte å løse en ulikhet for en aritmetisk rekke.

Vanlig feil: Å tro at programmet finner summen lik \(200\). Det stopper først når summen er større enn \(200\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra CAS 1 Sum(4*i-2,i,1,n) → \(2n^2\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation i, n = symbols("i n", integer=True, positive=True) print(summation(4*i - 2, (i, 1, n)))

Fasit: Programmet finner minste \(n\) slik at \(\sum_{i=1}^{n}\left(4i-2\right)>200\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3b Følger og rekker

Oppgave 3b

Oppgave:

Finn verdien eleven får skrevet ut når programmet kjøres.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne tallet som blir skrevet ut. Det kan gjøres ved å bruke sumformelen for rekken programmet lager.

Steg 1 - Bruk uttrykket fra del a

\[S_n=\sum_{i=1}^{n}\left(4i-2\right)\]

Steg 2 - Regn summen eksplisitt

\[S_n=4\sum_{i=1}^{n} i-2n\]

\[S_n=4\cdot \dfrac{n(n+1)}{2}-2n\]

Steg 3 - Forenkle

\[S_n=2n(n+1)-2n=2n^2\]

Steg 4 - Løs ulikheten

Programmet stopper når \(S_n>200\). Dermed må

\[2n^2>200\]

\[n^2>100\]

\[n>10\]

Steg 5 - Velg minste heltall

Det minste heltallet større enn \(10\) er \(11\).

Steg 6 - Kontroller grensetilfellene

\[S_{10}=2\cdot 10^2=200\]

Løkken kjører videre fordi betingelsen er \(S\le 200\).

\[S_{11}=2\cdot 11^2=242\]

Da stopper løkken, og programmet skriver ut \(11\). …