Matematikk S2 Eksamen høsten 2020 – løsningsforslag

ifingo løsningsforslag

Matematikk S2 eksamen H20 - komplett løsningsforslag

Alle oppgaver er transkribert på bokmål og løst trinnvis med tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og full Python-kontroll.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=2e^x+3\ln x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Deriver eksponentialleddet

\[\dfrac{d}{dx}\left(2e^x\right)=2e^x\]

Konstantfaktoren 2 beholdes.

Steg 2 — Deriver logaritmeleddet

\[\dfrac{d}{dx}\left(3\ln x\right)=\dfrac{3}{x}\]

Her må \(x>0\) fordi logaritmen må være definert.

Steg 3 — Sett sammen

\[f'(x)=2e^x+\dfrac{3}{x}\]

Den deriverte av en sum er summen av de deriverte.

Steg 4 — Kontroller definisjonsmengden

\[D_f=\left(0,\infty\right)\]

Den deriverte gjelder på samme åpne intervall.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Derivert[2 exp(x) + 3 ln(x)] → \(2e^x+\dfrac{3}{x}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, log, diff, simplify x = symbols('x', positive=True) f = 2*exp(x) + 3*log(x) f_derivert = simplify(diff(f, x)) print("Oppgave 1a") print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_derivert) print("Definisjonsmengde: x > 0") 

Fasit: \(f'(x)=2e^x+\dfrac{3}{x}\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=x\left(2x+5\right)^4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Identifiser faktorene

\[u=x,\qquad v=\left(2x+5\right)^4\]

Vi bruker produktregelen.

Steg 2 — Deriver faktorene

\[u'=1,\qquad v'=4\left(2x+5\right)^3\cdot 2=8\left(2x+5\right)^3\]

Kjerneregelen gir faktoren 2.

Steg 3 — Bruk produktregelen

\[g'(x)=u'v+uv'\] \[g'(x)=\left(2x+5\right)^4+8x\left(2x+5\right)^3\]

Begge bidragene må tas med.

Steg 4 — Faktoriser

\[g'(x)=\left(2x+5\right)^3\left(2x+5+8x\right)=5\left(2x+5\right)^3\left(2x+1\right)\]

Faktorisert form er ofte mest oversiktlig.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Derivert[x (2x + 5)^4] → \(5\left(2x+5\right)^3\left(2x+1\right)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, factor, expand x = symbols('x') g = x*(2*x + 5)**4 g_derivert = diff(g, x) print("Oppgave 1b") print("g(x) =", g) print("g'(x), utvidet =", expand(g_derivert)) print("g'(x), faktorisert =", factor(g_derivert)) 

Fasit: \(g'(x)=5\left(2x+5\right)^3\left(2x+1\right)\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Kvotient og eksponentialfunksjon

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=\dfrac{x^2-1}{e^{2x}}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Skriv om funksjonen

\[h(x)=\left(x^2-1\right)e^{-2x}\]

Dette gjør produktregelen enklere enn kvotientregelen.

Steg 2 — Deriver faktorene

\[\dfrac{d}{dx}\left(x^2-1\right)=2x,\qquad \dfrac{d}{dx}e^{-2x}=-2e^{-2x}\]

Eksponentialleddet krever kjerneregel.

Steg 3 — Bruk produktregelen

\[h'(x)=2x e^{-2x}+\left(x^2-1\right)\left(-2e^{-2x}\right)\]

Vi tar med begge produktene.

Steg 4 — Faktoriser og skriv som brøk

\[h'(x)=e^{-2x}\left(2x-2x^2+2\right)=\dfrac{-2x^2+2x+2}{e^{2x}}\]

Dette er en ryddig endelig form.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Derivert[(x^2 - 1)/exp(2x)] → \(\dfrac{-2x^2+2x+2}{e^{2x}}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, simplify x = symbols('x') h = (x**2 - 1)/exp(2*x) h_derivert = simplify(diff(h, x)) print("Oppgave 1c") print("h(x) =", h) print("h'(x) =", h_derivert) print("Kontrollert ved symbolsk derivasjon.") 

Fasit: \(h'(x)=\dfrac{-2x^2+2x+2}{e^{2x}}\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 Aritmetisk rekke

Oppgave 2

Oppgave:

Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å bestemme \(-7-3+1+5+\cdots+389\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn første ledd og differanse

\[a_1=-7,\qquad d=4\]

Hvert ledd øker med 4.

Steg 2 — Finn antall ledd

\[-7+\left(n-1\right)4=389\] \[4\left(n-1\right)=396\quad \Rightarrow \quad n=100\]

Vi må vite antall ledd før vi kan bruke sumformelen.

Steg 3 — Bruk sumformelen

\[S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}\]

Dette er formelen for en endelig aritmetisk rekke.

Steg 4 — Regn ut

\[S_{100}=\dfrac{100\left(-7+389\right)}{2}=19100\]

Summen blir positiv fordi de store positive leddene dominerer.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Sum[Følge[-7 + 4(n - 1), n, 1, 100]] → \(19100\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation n = symbols('n', integer=True, positive=True) a_n = -7 + 4*(n - 1) sum_rekke = summation(a_n, (n, 1, 100)) print("Oppgave 2") print("Leddformel:", a_n) print("Antall ledd:", 100) print("Sum:", sum_rekke) 

Fasit: \(S_{100}=19100\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a Uendelig geometrisk rekke

Oppgave 3a

Oppgave:

I en uendelig geometrisk rekke er \(a_1=\dfrac{3}{1{,}04}\) og \(k=\dfrac{1}{1{,}04}\). Begrunn at rekken konvergerer, og bestem summen av rekken.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sjekk kvotienten

\[k=\dfrac{1}{1{,}04}\approx 0{,}9615\]

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \(\left|k\right|<1\).

Steg 2 — Konkluder om konvergens

\[\left|\dfrac{1}{1{,}04}\right|<1\]

Rekken konvergerer.

Steg 3 — Bruk sumformelen

\[S=\dfrac{a_1}{1-k}\]

Formelen gjelder bare etter konvergenssjekken.

Steg 4 — Sett inn og forenkle

\[S=\dfrac{\dfrac{3}{1{,}04}}{1-\dfrac{1}{1{,}04}}=\dfrac{\dfrac{3}{1{,}04}}{\dfrac{0{,}04}{1{,}04}}=\dfrac{3}{0{,}04}=75\]

Summen er 75.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 3/1.04/(1 - 1/1.04) → \(75\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import Rational, simplify, N # 1,04 = 104/100 = 26/25 a1 = Rational(3, 1) / Rational(26, 25) k = Rational(1, 1) / Rational(26, 25) S = simplify(a1/(1 - k)) print("Oppgave 3a") print("a1 =", a1, "≈", N(a1)) print("k =", k, "≈", N(k)) print("|k| < 1:", abs(k) < 1) print("Sum =", S) 

Fasit: \(S=75\) Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3b Finansmatematikk og nåverdi

Oppgave 3b

Oppgave:

Frode vil gi Benjamin 10 000 kroner hvert år i 20 år framover, første gang om ett år. Rentefoten er 2,0 %. Sett opp en rekke for beløpet Frode må sette inn i dag.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Tolk første utbetaling

\[\text{Nåverdi av første utbetaling}=\dfrac{10000}{1{,}02}\]

Første betaling skjer om ett år.

Steg 2 — Tolk betaling nummer n

\[\text{Nåverdi av betaling }n=\dfrac{10000}{1{,}02^n}\]

Betaling nummer \(n\) diskonteres \(n\) år tilbake.

Steg 3 — Sett opp summen

\[\dfrac{10000}{1{,}02}+\dfrac{10000}{1{,}02^2}+\cdots+\dfrac{10000}{1{,}02^{20}}\]

Dette er rekken oppgaven ber om.

Steg 4 — Skriv med summetegn

\[\sum_{n=1}^{20}\dfrac{10000}{1{,}02^n}\]

Skrivemåten viser tydelig alle de 20 utbetalingene.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres. …