Matematikk S2 Eksamen høsten 2017 – løsningsforslag

Matematikk S2 eksamen Høsten 2017 - løsningsforslag

Komplett løsningsforslag på bokmål. Alle deloppgaver er transkribert og løst med stegvis forklaring, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og Python-kontroll.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a - 5 poeng samlet Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=2x^2-4x^3\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Identifiser leddene

Funksjonen består av to potensledd. Vi deriverer hvert ledd for seg.

Steg 2 - Bruk potensregelen

\[\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\]

Steg 3 - Deriver første ledd

\[\dfrac{d}{dx}\left(2x^2\right)=4x\]

Steg 4 - Deriver andre ledd

\[\dfrac{d}{dx}\left(-4x^3\right)=-12x^2\]

Steg 5 - Sett sammen

\[f'(x)=4x-12x^2\]

Tolkning

Den deriverte gir stigningstallet til grafen til \(f\) i punktet \(x\).

Vanlig feil: Å skrive \(-4\cdot 3x^2\) uten å få med fortegnet riktig i svaret.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(2*x^2-4*x^3) -> \(4x-12x^2\)

Python

from sympy import symbols, diff, simplify x = symbols('x') f = 2*x**2 - 4*x**3 f_derivert = diff(f, x) print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_derivert) print("Forenklet f'(x) =", simplify(f_derivert))

Fasit: \(f'(x)=4x-12x^2\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b - 5 poeng samlet Produktregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=x^2e^x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Se produktet

Funksjonen er produktet av \(x^2\) og \(e^x\).

Steg 2 - Bruk produktregelen

\[(uv)'=u'v+uv'\]

Steg 3 - Sett \(u=x^2\) og \(v=e^x\)

\[u'=2x,\qquad v'=e^x\]

Steg 4 - Deriver

\[g'(x)=2xe^x+x^2e^x\]

Steg 5 - Faktoriser

\[g'(x)=e^x\left(x^2+2x\right)\]

Tolkning

Faktorisert form gjør det lettere å undersøke fortegn og stigning.

Vanlig feil: Å derivere bare \(x^2\) og la \(e^x\) stå uten produktregelen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(x^2*e^x) -> \(e^x\left(x^2+2x\right)\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, factor x = symbols('x') g = x**2 * exp(x) g_derivert = diff(g, x) print("g(x) =", g) print("g'(x) før faktorisering =", g_derivert) print("g'(x) faktorisert =", factor(g_derivert))

Fasit: \(g'(x)=e^x\left(x^2+2x\right)\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c - 5 poeng samlet Logaritme og kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=\ln\left(x^3+3x+1\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Identifiser indre funksjon

\[u=x^3+3x+1\]

Steg 2 - Bruk regelen for logaritme

\[\dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u}\]

Steg 3 - Deriver den indre funksjonen

\[u'=3x^2+3\]

Steg 4 - Sett inn

\[h'(x)=\dfrac{3x^2+3}{x^3+3x+1}\]

Steg 5 - Kontroller definisjonskravet

Uttrykket gjelder der \(x^3+3x+1>0\), fordi logaritmen krever positivt argument.

Tolkning

Kjerneregelen gjør at telleren blir den deriverte av uttrykket inni logaritmen.

Vanlig feil: Å glemme telleren \(3x^2+3\) og bare skrive den inverse av logaritmeargumentet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(ln(x^3+3*x+1)) -> \(\dfrac{3x^2+3}{x^3+3x+1}\)

Python

from sympy import symbols, log, diff, simplify x = symbols('x') h = log(x**3 + 3*x + 1) h_derivert = diff(h, x) print("h(x) =", h) print("h'(x) =", simplify(h_derivert)) print("Merk: uttrykket gjelder der logaritmeargumentet er positivt.")

Fasit: \(h'(x)=\dfrac{3x^2+3}{x^3+3x+1}\) der logaritmen er definert. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a - 4 poeng samlet Polynomdivisjon

Oppgave 2a

Oppgave:

Utfør divisjonen

\[\left(x^3-5x^2-4x+20\right):\left(x-5\right)\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Grupper leddene

\[x^3-5x^2-4x+20=x^2\left(x-5\right)-4\left(x-5\right)\]

Steg 2 - Faktoriser felles faktor

\[x^3-5x^2-4x+20=\left(x-5\right)\left(x^2-4\right)\]

Steg 3 - Utfør divisjonen

\[\dfrac{\left(x-5\right)\left(x^2-4\right)}{x-5}=x^2-4\]

Steg 4 - Kontroller ved multiplikasjon

\[\left(x-5\right)\left(x^2-4\right)=x^3-5x^2-4x+20\]

Tolkning

Divisjonen går opp uten rest.

Vanlig feil: Å glemme å kontrollere resten. Her er resten \(0\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Divisjon(x^3-5*x^2-4*x+20, x-5) -> \(x^2-4\)

Python

from sympy import symbols, div, expand x = symbols('x') P = x**3 - 5*x**2 - 4*x + 20 Q, R = div(P, x - 5) print("Polynom P(x) =", P) print("Kvotient =", Q) print("Rest =", R) print("Kontroll:", expand((x - 5)*Q + R))

Fasit: \(x^2-4\) (rest \(0\)). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b - 4 poeng samlet Faktorteorem

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem \(t\) slik at divisjonen nedenfor går opp.

\[\left(x^3+tx^2+5x-2t\right):\left(x+1\right)\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

Divisjon med \(x+1\) går opp når polynomet har nullverdi for \(x=-1\).

Steg 2 - Sett inn \(x=-1\)

\[P(-1)=(-1)^3+t(-1)^2+5(-1)-2t\]

Steg 3 - Forenkle

\[P(-1)=-1+t-5-2t=-6-t\]

Steg 4 - Sett resten lik null

\[-6-t=0\]

Steg 5 - Løs

\[t=-6\]

Tolkning

Når \(t=-6\), er \(x+1\) en faktor i polynomet.

Vanlig feil: Å sette inn \(x=1\) i stedet for \(x=-1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Løs((-1)^3+t*(-1)^2+5*(-1)-2*t=0,t) -> \(t=-6\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve x, t = symbols('x t') P = x**3 + t*x**2 + 5*x - 2*t rest = P.subs(x, -1) losning = solve(Eq(rest, 0), t) print("Rest ved divisjon med x + 1:", rest) print("t-verdi som gir rest 0:", losning[0])

Fasit: \(t=-6\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3 - 2 poeng Lineært likningssystem

Oppgave 3

Oppgave:

Løs likningssystemet

\[\begin{aligned}x+y+2z&=-3\\x+3y+z&=2\\2x+y+z&=2\end{aligned}\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv systemet ryddig

Vi har tre lineære likninger med tre ukjente.

Steg 2 - Trekk første likning fra andre

\[(x+3y+z)-(x+y+2z)=2-(-3)\Rightarrow 2y-z=5\]

Steg 3 - Trekk første likning fra tredje

\[(2x+y+z)-(x+y+2z)=2-(-3)\Rightarrow x-z=5\]

Steg 4 - Bruk de nye likningene

\[z=x-5,\qquad 2y-(x-5)=5\Rightarrow x=2y\]

Steg 5 - Sett inn i første likning

\[2y+y+2(2y-5)=-3\Rightarrow 7y=7\Rightarrow y=1\]

Steg 6 - Finn \(x\) og \(z\)

\[x=2,\qquad z=-3\]

Tolkning

Løsningen er skjæringspunktet mellom de tre planene.

Vanlig feil: Å kontrollere bare én av de tre likningene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Løs({x+y+2z=-3,x+3y+z=2,2x+y+z=2},{x,y,z}) -> \(x=2,\ y=1,\ z=-3\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve x, y, z = symbols('x y z') likninger = [ Eq(x + y + 2*z, -3), Eq(x + 3*y + z, 2), Eq(2*x + y + z, 2), ] losning = solve(likninger, (x, y, z), dict=True)[0] print("Løsning:", losning) print("Kontroll av likningene:") for nr, likning in enumerate(likninger, start=1): print(f"Likning {nr}:", likning.subs(losning), "->", bool(likning.subs(losning)))

Fasit: \(x=2\), \(y=1\) og \(z=-3\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 4 - 2 poeng Logaritmeregning

Oppgave 4

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig

\[\ln\left(\dfrac{e^2}{2}\right)+2\ln 2-\ln\left(\dfrac{2}{e^4}\right)\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt. …