Matematikk 1P Eksamen våren 2024 (LK20) – løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen vår 2024 – løsningsforslag

Fullstendig, trinnvis løsning på hele eksamenssettet. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser beregninger, grafisk metode, GeoGebra-kommandoer og Python-kontroll der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Promille og prosent

Oppgave 1

Oppgave:

Anta at det på et tidspunkt vil bo 18 millioner mennesker i et land, og at dette vil tilsvare 2 promille av verdens befolkning.

Hvor stor vil verdens befolkning være på dette tidspunktet?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hele verdens befolkning når 18 millioner er 2 promille av helheten.

Steg 1 — Skriv promille som desimaltall

2 promille betyr 2 av 1000:

\[2\,\text{promille}=\dfrac{2}{1000}=0{,}002\]

Steg 2 — Sett opp sammenhengen

La \(V\) være verdens befolkning, målt i millioner mennesker.

\[0{,}002\cdot V=18\]

Dette betyr at 0,2 prosent av verdens befolkning er 18 millioner.

Steg 3 — Del på \(0{,}002\)

\[V=\dfrac{18}{0{,}002}=9000\]

Fordi vi regner i millioner, betyr dette 9000 millioner.

Tolkning

Verdens befolkning vil være 9000 millioner mennesker, altså 9 milliarder mennesker.

Vanlig feil: Å tolke 2 promille som 2 prosent. 2 promille er \(0{,}2\) prosent, ikke 2 prosent. Fasit: Verdens befolkning vil være omtrent \(9\) milliarder mennesker. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Vekstfaktor

Oppgave 2a

Oppgave:

Ada vil spare penger og har funnet ut at hun kan bruke funksjonen \(f\) gitt ved

\[f(x)=20\,000\cdot 1{,}0485^x\]

for å regne ut hvor mye penger hun vil ha i banken om \(x\) år.

a) Gi en praktisk tolkning av tallet 20 000 og av tallet 1,0485.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hva tallene i en eksponentiell sparemodell betyr i praksis.

Steg 1 — Tolk startverdien

I modellen

\[f(x)=20\,000\cdot 1{,}0485^x\]

er \(20\,000\) beløpet når \(x=0\).

Steg 2 — Tolk vekstfaktoren

Vekstfaktoren er \(1{,}0485\). Økningen per år er derfor

\[1{,}0485-1=0{,}0485=4{,}85\,\%\]

Steg 3 — Formuler praktisk

Ada starter med 20 000 kroner i banken, og pengene vokser med 4,85 prosent per år.

Tolkning

Modellen beskriver et sparebeløp med fast årlig rente på 4,85 prosent.

Vanlig feil: Å si at \(1{,}0485\) betyr 104,85 prosent rente. Det er selve vekstfaktoren; renten er 4,85 prosent. Fasit: \(20\,000\) er startbeløpet, og \(1{,}0485\) betyr 4,85 prosent årlig rente. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Programforståelse

Oppgave 2b

Oppgave:

Ada har laget programmet nedenfor.

def f(x): return 20000 * 1.0485 ** x start = 0 slutt = 10 v = (f(slutt) - f(start))/(slutt - start) print(v)

b) Hva forteller tallet som vil bli skrevet ut når hun kjører programmet?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke hva uttrykket i programmet beregner, ikke bare regne ut et tall.

Steg 1 — Se på start og slutt

Programmet bruker \(\text{start}=0\) og \(\text{slutt}=10\). Det sammenlikner altså sparebeløpet fra år 0 til år 10.

Steg 2 — Tolk formelen i programmet

Linjen

\[v=\dfrac{f(10)-f(0)}{10-0}\]

regner ut gjennomsnittlig endring per år.

Steg 3 — Tolk enheten

Siden \(f(x)\) måles i kroner og \(x\) måles i år, er enheten kroner per år.

Tolkning

Tallet som skrives ut, forteller hvor mye sparebeløpet i gjennomsnitt øker per år de første 10 årene.

Vanlig feil: Å tolke tallet som renten. Programmet finner ikke prosentvis rente, men gjennomsnittlig økning i kroner per år. Fasit: Tallet er gjennomsnittlig årlig økning i sparebeløpet fra \(x=0\) til \(x=10\), målt i kroner per år. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Proporsjonalitet

Oppgave 3

Oppgave:

Ovenfor ser du grafene til fire funksjoner \(f\), \(g\), \(p\) og \(q\).

• Avgjør om en eller flere av grafene viser sammenhengen mellom to størrelser som er proporsjonale.
• Avgjør om en eller flere av grafene viser sammenhengen mellom to størrelser som er omvendt proporsjonale.

Husk å argumentere for svarene dine.

Skisse: \(f\) går gjennom origo, \(g\) gjør ikke det, og \(p\) har typisk omvendt proporsjonal form. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal kjenne igjen proporsjonal og omvendt proporsjonal sammenheng fra graf.

Steg 1 — Kjennetegn på proporsjonalitet

To størrelser er proporsjonale når grafen er en rett linje gjennom origo. Da har vi formen

\[y=kx\]

Steg 2 — Bruk kjennetegnet på grafene

Grafen til \(f\) er en rett linje gjennom origo. Grafen til \(g\) er også en rett linje, men den går ikke gjennom origo.

Steg 3 — Kjennetegn på omvendt proporsjonalitet

Omvendt proporsjonalitet har formen

\[y=\dfrac{k}{x}\]

Da synker grafen og nærmer seg aksene.

Steg 4 — Bruk kjennetegnet på de synkende grafene

Grafen til \(p\) har form som en omvendt proporsjonal sammenheng. Grafen til \(q\) faller også, men har ikke den samme typiske formen.

Tolkning

Proporsjonalitet handler om fast forhold. Omvendt proporsjonalitet handler om at produktet av størrelsene er konstant.

Vanlig feil: Å tro at alle rette linjer viser proporsjonalitet. Linjen må gå gjennom origo. Fasit: \(f\) viser proporsjonalitet. \(p\) viser omvendt proporsjonalitet. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a Formelregning

Oppgave 4a

Oppgave:

For å regne ut bremselengder på sommerføre kan vi bruke formelen

\[B=\dfrac{x^2}{2}\] …