Matematikk 1P Eksamen våren 2020 (K06) – løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen vår 2020 – løsningsforslag

Fullstendig løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser regneark, GeoGebra og Python der det er naturlig.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Geometri / Pytagoras

Oppgave 1

Oppgave:

På en skole henger en plakat med en figur som vist på skissen ovenfor. Figuren består av en rettvinklet trekant \(ABC\) og tre kvadrater.

\(AB=12\) dm, og arealet av det minste kvadratet er \(81\,\text{dm}^2\).

Bestem arealet av det største kvadratet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne arealet av kvadratet på den lengste siden i en rettvinklet trekant.

Steg 1 — Finn siden i det minste kvadratet

\[s^2=81\]

Et kvadrat med areal \(81\,\text{dm}^2\) har side \(9\) dm.

Steg 2 — Bruk Pytagoras

\[c^2=12^2+9^2\]

I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen summen av kvadratene på katetene.

Steg 3 — Regn ut arealet direkte

\[c^2=144+81=225\]

Arealet av kvadratet på hypotenusen er \(c^2\).

Tolkning

Det største kvadratet er kvadratet på hypotenusen, og arealet er derfor \(225\,\text{dm}^2\).

Vanlig feil: Å finne sidekanten \(15\) dm, men glemme at spørsmålet ber om arealet. Fasit: \(225\,\text{dm}^2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Prosent / merverdiavgift

Oppgave 2

Oppgave:

Ahmad har vært i butikken og handlet matvarer. Matvarene kostet \(230\) kroner inkludert merverdiavgift. Merverdiavgiften på matvarer er \(15\,\%\).

Hvor mye betalte Ahmad i merverdiavgift for disse matvarene?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Prisen \(230\) kroner er med merverdiavgift. Vi må derfor dele på vekstfaktoren \(1{,}15\) for å finne prisen uten merverdiavgift.

Steg 1 — Finn pris uten merverdiavgift

\[\dfrac{230}{1{,}15}=200\]

Dette er grunnprisen før \(15\,\%\) merverdiavgift.

Steg 2 — Finn merverdiavgiften

\[230-200=30\]

Forskjellen mellom pris med og uten merverdiavgift er selve merverdiavgiften.

Tolkning

Av de \(230\) kronene Ahmad betalte, var \(30\) kroner merverdiavgift.

Vanlig feil: Å regne \(15\,\%\) av \(230\). Det blir feil fordi \(230\) allerede inkluderer merverdiavgift. Fasit: \(30\) kroner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Målestokk

Oppgave 3

Oppgave:

På et kart er avstanden mellom to byer \(5\) cm. I virkeligheten er avstanden mellom byene \(2{,}5\) km.

Bestem målestokken til kartet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne kartavstand og virkelig avstand i samme enhet.

Steg 1 — Gjør kilometer om til centimeter

\[2{,}5\,\text{km}=250000\,\text{cm}\]

Målestokk må ha samme enhet på begge sider.

Steg 2 — Sett opp forholdet

\[5:250000\]

Dette betyr at \(5\) cm på kartet svarer til \(250000\) cm i virkeligheten.

Steg 3 — Forkort forholdet

\[5:250000=1:50000\]

Vi deler begge tallene på \(5\).

Tolkning

Én centimeter på kartet svarer til \(50000\) cm, altså \(500\) m, i virkeligheten.

Vanlig feil: Å blande kilometer og centimeter i samme forhold. Fasit: Målestokken er \(1:50000\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Formlikhet

Oppgave 4

Oppgave:

Et område har form som vist på skissen ovenfor. \(AB=15\) m, \(AC=10\) m og \(DE=6\) m.

Bestem lengden av \(DB\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Trekanten ved \(D\) er formlik med den store trekanten fordi høydene er parallelle.

Steg 1 — Sett opp forholdet

\[\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DE}{AC}\]

Tilsvarende sider i formlike trekanter har samme forhold.

Steg 2 — Sett inn tall

\[\dfrac{DB}{15}=\dfrac{6}{10}\]

Vi bruker de oppgitte lengdene.

Steg 3 — Løs for \(DB\)

\[DB=15\cdot \dfrac{6}{10}=9\]

Lengden \(DB\) er samme andel av \(AB\) som \(DE\) er av \(AC\).

Tolkning

Punktet \(D\) ligger slik at den høyre delen av grunnlinjen er \(9\) m.

Vanlig feil: Å bruke \(AD\) i stedet for \(DB\) i forholdet. Fasit: \(DB=9\) m. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5 Forhold

Oppgave 5

Oppgave:

I en eske ligger det røde og hvite kuler. Forholdet mellom antall røde og antall hvite kuler er \(3:4\). Til sammen er det \(28\) kuler i esken.

Hvor mange av kulene er røde?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Forholdet \(3:4\) betyr at kulene kan deles i \(7\) like deler.

Steg 1 — Finn antall deler

\[3+4=7\]

De røde kulene utgjør \(3\) av \(7\) deler.

Steg 2 — Finn én del

\[28:7=4\]

Hver del består av \(4\) kuler.

Steg 3 — Finn røde kuler

\[3\cdot 4=12\]

Det er \(3\) deler røde kuler.

Tolkning

Esken inneholder \(12\) røde og \(16\) hvite kuler.

Vanlig feil: Å tolke \(3:4\) som at det er \(3\) røde kuler totalt. Fasit: \(12\) røde kuler. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 6a Geometri / trapes

Oppgave 6a

Oppgave:

Du får vite dette om to ulike trapeser:

Hvert trapes har nøyaktig to parallelle sider. Hvert trapes har areal \(12\,\text{cm}^2\).

Lag en tegning som viser hvordan trapesene kan se ut. Vis hvordan du regner ut arealet av hvert trapes.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage to mulige trapeser med samme areal.

Eksempel på to ulike trapeser med areal \(12\,\text{cm}^2\).

Steg 1 — Bruk arealformelen

\[A=\dfrac{(a+b)\cdot h}{2}\]

Her er \(a\) og \(b\) de parallelle sidene.

Steg 2 — Første trapes

\[A=\dfrac{(6+12)\cdot \dfrac{4}{3}}{2}=12\]

Dette trapeset har parallelle sider \(6\) cm og \(12\) cm.

Steg 3 — Andre trapes

\[A=\dfrac{(8+10)\cdot \dfrac{4}{3}}{2}=12\]

Dette er et annet trapes, men arealet blir fortsatt \(12\,\text{cm}^2\).

Tolkning

Det finnes mange ulike trapeser med samme areal.

Vanlig feil: Å bruke bare én av de parallelle sidene i arealformelen. Fasit: To mulige trapeser er for eksempel \(a=6\), \(b=12\), \(h=\dfrac{4}{3}\), og \(a=8\), \(b=10\), \(h=\dfrac{4}{3}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 6b Omvendt proporsjonalitet

Oppgave 6b

Oppgave:

Hver elev regner ut summen \(s\) av lengdene av de parallelle sidene i trapeset sitt, og noterer hvor lang avstanden \(h\) mellom de parallelle sidene er.

Vil \(s\) og \(h\) være omvendt proporsjonale størrelser i alle disse trapesene? Begrunn svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke om produktet av \(s\) og \(h\) er konstant.

Steg 1 — Start med arealformelen

\[A=\dfrac{s\cdot h}{2}\]

Summen av de parallelle sidene er \(s=a+b\).

Steg 2 — Sett inn arealet

\[12=\dfrac{s\cdot h}{2}\]

Alle trapesene har areal \(12\,\text{cm}^2\).

Steg 3 — Finn produktet

\[s\cdot h=24\]

Produktet er konstant.

Tolkning

Når \(s\) blir større, må \(h\) bli mindre slik at produktet fortsatt er \(24\).

Vanlig feil: Å svare ja uten å vise at produktet \(s\cdot h\) er konstant. Fasit: Ja. \(s\) og \(h\) er omvendt proporsjonale fordi \(s\cdot h=24\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 7 Sannsynlighet

Oppgave 7

Oppgave:

Maria finner en gammel hengelås. Koden på hengelåsen består av tre tall. Hvert tall kan velges blant de hele tallene fra og med \(0\) til og med \(9\).

Bestem sannsynligheten for at koden begynner med \(2\,4\) eller \(4\,2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor stor del av alle mulige tresifrede koder som begynner med \(24\) eller \(42\). …