Matematikk 1P Eksamen høsten 2013 (K06) – løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen Høst 2013 – løsningsforslag

Fullstendig, originalt løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser praktisk bruk av digitale kontrollsteg med GeoGebra og Python der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Prosent

Oppgave 1

Oppgave:

Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 30 % av sidene i boka.

Hvor mange sider er det i boka?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.

Steg 1 — Skriv 30 % som desimaltall

\[30\,\% = 0{,}30\]

Da kan vi regne med prosent som en vanlig faktor.

Steg 2 — Sett opp sammenhengen

\[0{,}30\cdot x = 150\]

Hele boka er ukjent, derfor kaller vi sidetallet for \(x\).

Steg 3 — Del på prosentfaktoren

\[x=\dfrac{150}{0{,}30}=500\]

Vi deler for å finne 100 % av sidene.

Tolkning

Boka har 500 sider totalt.

Vanlig feil: Å svare 45 sider fordi man tar 30 % av 150, i stedet for å finne hele boka. Fasit: \(500\) sider. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Målestokk

Oppgave 2

Oppgave:

På et kart er avstanden fra et punkt \(A\) til et punkt \(B\) \(2{,}0\) cm. I virkeligheten er avstanden i luftlinje mellom disse to punktene 10 km.

Bestem målestokken til kartet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.

Steg 1 — Gjør virkelig avstand om til centimeter

\[10\text{ km}=10\cdot1000\cdot100=1\,000\,000\text{ cm}\]

Kartavstand og virkelig avstand må ha samme enhet.

Steg 2 — Sett forholdet kart : virkelighet

\[2{,}0:1\,000\,000\]

Målestokken sammenlikner lengder på kartet med lengder i virkeligheten.

Steg 3 — Forkort forholdet

\[2:1\,000\,000=1:500\,000\]

Vi deler begge tallene på 2.

Tolkning

1 cm på kartet svarer til 500 000 cm, altså 5 km, i virkeligheten.

Vanlig feil: Å blande kilometer og centimeter uten å gjøre om enhetene først. Fasit: Målestokken er \(1:500\,000\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Areal

Oppgave 3

Oppgave:

Et område har form som vist på figuren ovenfor.

Bestem arealet av området.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.

Steg 1 — Les av trapeset

\[a=6{,}0,\quad b=10{,}0,\quad h=4{,}0\]

De parallelle sidene er 6,0 m og 10,0 m, og høyden er 4,0 m.

Steg 2 — Bruk formelen for trapes

\[A=\dfrac{(a+b)\cdot h}{2}\]

Arealet er gjennomsnittet av de parallelle sidene multiplisert med høyden.

Steg 3 — Sett inn og regn ut

\[A=\dfrac{(6{,}0+10{,}0)\cdot4{,}0}{2}=32\]

Regningen gir arealet i kvadratmeter.

Tolkning

Området dekker 32 kvadratmeter.

Vanlig feil: Å bruke den skrå siden 5,0 m som høyde. Fasit: \(32\text{ m}^2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Indeks og lønn

Oppgave 4

Oppgave:

Et år hadde Ole en reallønn på 500 000 kroner. Konsumprisindeksen dette året var 130.

Bestem den nominelle lønna til Ole dette året.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.

Steg 1 — Bruk sammenhengen mellom nominell lønn og reallønn

\[\text{reallønn}=\dfrac{\text{nominell lønn}}{\text{KPI}}\cdot100\]

Reallønn viser kjøpekraft målt i kroner ved indeks 100.

Steg 2 — Løs for nominell lønn

\[\text{nominell lønn}=\dfrac{\text{reallønn}\cdot\text{KPI}}{100}\]

Vi flytter om formelen for å finne lønna i kroner dette året.

Steg 3 — Sett inn tallene

\[\text{nominell lønn}=\dfrac{500\,000\cdot130}{100}=650\,000\]

KPI 130 betyr at prisnivået er 30 % høyere enn basisåret.

Tolkning

Ole måtte ha 650 000 kroner i nominell lønn for å ha reallønn 500 000 kroner ved KPI 130.

Vanlig feil: Å dele på 130 uten å ta hensyn til at indeksen er oppgitt med 100 som basis. Fasit: \(650\,000\) kroner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5 Pytagoras

Oppgave 5

Oppgave:

Et område har form som vist på figuren ovenfor.

Avgjør ved regning om avstanden fra \(A\) til \(B\) er lengre enn \(7{,}0\) m.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.

Steg 1 — Se at trekanten er rettvinklet

\[AC=5{,}0\text{ m},\quad BC=5{,}0\text{ m}\]

Vinkelen ved \(C\) er rett, så \(AB\) er hypotenusen.

Steg 2 — Bruk Pytagoras

\[AB^2=5{,}0^2+5{,}0^2=50\]

I en rettvinklet trekant er hypotenusen bestemt av katetene.

Steg 3 — Finn lengden

\[AB=\sqrt{50}\approx7{,}07\text{ m}\]

Kvadratroten gir selve avstanden.

Steg 4 — Sammenlikn med 7,0 m

\[7{,}07>7{,}0\]

Da er avstanden litt større enn 7,0 m.

Tolkning

Avstanden er bare omtrent 7 cm lengre enn 7,0 m, men den er lengre.

Vanlig feil: Å legge sammen sidene og svare 10 m. Det er ikke avstanden rett fra A til B. Fasit: Ja, \(AB\approx7{,}07\text{ m}\), altså lengre enn \(7{,}0\text{ m}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 6 Enheter

Oppgave 6

Oppgave:

Skriv av, gjør beregninger, og sett inn tallene som mangler i hver av linjene:

\(15\text{ m}^3=\underline{\hspace{2cm}}\text{ L}\)

\(4{,}2\text{ h}=4\text{ h og }\underline{\hspace{2cm}}\text{ min}\)

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.

Steg 1 — Gjør kubikkmeter om til liter

\[1\text{ m}^3=1000\text{ L}\]

Én kubikkmeter inneholder 1000 liter.

Steg 2 — Regn ut liter

\[15\text{ m}^3=15\cdot1000=15\,000\text{ L}\]

Vi multipliserer med 1000.

Steg 3 — Gjør desimaltimer om til minutter

\[0{,}2\text{ h}=0{,}2\cdot60=12\text{ min}\]

Resten etter 4 timer er 0,2 time.

Tolkning

15 kubikkmeter er mye væske, og 0,2 time er 12 minutter.

Vanlig feil: Å tro at 4,2 h betyr 4 timer og 20 minutter. Fasit: \(15\text{ m}^3=15\,000\text{ L}\) og \(4{,}2\text{ h}=4\text{ h og }12\text{ min}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 7a Lineær modell

Oppgave 7a

Oppgave:

Sammenhengen mellom maksimal puls \(M\) (antall slag/min) og alder \(A\) (antall år) er gitt ved formelen \[M=211-0{,}64\cdot A\] Hva er maksimal puls til en person som er 20 år, ifølge formelen ovenfor?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.

Steg 1 — Sett inn alderen

\[M=211-0{,}64\cdot20\]

Vi bruker \(A=20\) i modellen.

Steg 2 — Regn ut fratrekket

\[0{,}64\cdot20=12{,}8\]

Dette er hvor mye modellen trekker fra 211.

Steg 3 — Finn pulsen

\[M=211-12{,}8=198{,}2\]

Svaret er i slag per minutt.

Tolkning

Modellen anslår maksimal puls til cirka 198 slag per minutt for en 20-åring.

Vanlig feil: Å bruke 20 som prosent i stedet for alder. Fasit: \(198{,}2\) slag/min, omtrent \(198\) slag/min. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 7b Lineær modell

Oppgave 7b

Oppgave:

Svein har en maksimal puls på 179 slag/min.

Hvor gammel er Svein ifølge formelen ovenfor?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.

Steg 1 — Sett maksimal puls inn i formelen

\[179=211-0{,}64A\]

Nå er alderen ukjent.

Steg 2 — Flytt ledd

\[0{,}64A=211-179=32\]

Vi samler aldersleddet på én side.

Steg 3 — Del på 0,64

\[A=\dfrac{32}{0{,}64}=50\]

Da finner vi alderen modellen gir.

Tolkning

Ifølge modellen er Svein 50 år.

Vanlig feil: Å regne \(179-211\) og få negativ alder. Fasit: \(50\) år. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 8a Sannsynlighet

Oppgave 8a

Oppgave:

Siv har fire blå og seks svarte bukser i skapet. Én av de blå og tre av de svarte buksene passer ikke lenger.

Tegn av tabellen nedenfor, og fyll inn tall i de hvite rutene. …