Matematikk 1P Eksempeloppgave høsten 2009 (K06) – løsningsforslag

Matematikk 1P – Høst 2009 eksempeloppgave (LK06) – løsningsforslag

Fullstendig, trinnvis løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser digitale kontrollsteg med GeoGebra/Python der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a 1 Overslag og valuta

Oppgave 1a 1

Oppgave:

Bruk overslagsregning til å løse oppgave 1) nedenfor. På flyplassen i Amsterdam koster en mp3-spiller \(210\) euro. En euro koster \(8{,}33\) norske kroner. Gjør et overslag over hvor mye mp3-spilleren koster i norske kroner.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre et raskt og rimelig overslag, ikke finne en helt nøyaktig pris.

Steg 1 — Rund av tallene

\[210 \approx 200 \quad \text{og} \quad 8{,}33 \approx 8\]

Overslag blir enklere når vi runder til tall som er lette å regne med.

Steg 2 — Multipliser

\[200\cdot 8=1600\]

Vi multipliserer antall euro med kursen i kroner per euro.

Steg 3 — Vurder størrelsen

Den nøyaktige verdien ligger litt over \(1600\), fordi både \(210\) og \(8{,}33\) er litt større enn avrundingene.

Tolkning

Mp3-spilleren koster omtrent \(1600\)–\(1800\) kroner.

Vanlig feil: Å bruke presis regning når oppgaven ber om overslag. Her er avrunding poenget.

Kontroll

Presist regnet er \(210\cdot 8{,}33=1749{,}3\), så overslaget er rimelig.

Fasit: Omtrent \(1700\) kroner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a 2 Måling og volum

Oppgave 1a 2

Oppgave:

Bruk overslagsregning til å løse oppgave 2) nedenfor. En tilhenger har følgende mål: lengde \(3{,}2\) m, bredde \(1{,}9\) m og høyde \(45\) cm. Gjør et overslag over hvor mange \(\text{m}^3\) tilhengeren rommer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal anslå volumet av tilhengeren i kubikkmeter.

Steg 1 — Gjør høyden om til meter

\[45\text{ cm}=0{,}45\text{ m}\]

Alle lengdene må være i samme enhet når vi regner volum.

Steg 2 — Rund av til enkle tall

\[3{,}2\approx 3,\quad 1{,}9\approx 2,\quad 0{,}45\approx 0{,}5\]

Dette passer godt for overslagsregning.

Steg 3 — Regn overslaget

\[3\cdot 2\cdot 0{,}5=3\]

Volumet er omtrent lengde ganger bredde ganger høyde.

Tolkning

Tilhengeren rommer omtrent \(3\) kubikkmeter.

Vanlig feil: Å bruke \(45\) som meter. \(45\) cm er bare \(0{,}45\) m. Fasit: Omtrent \(3\text{ m}^3\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Forhold

Oppgave 1b

Oppgave:

Siri skal blande saft og vann i forholdet \(1:4\). Hun skal lage \(1\) liter ferdig saftblanding. PÅSTAND: Siri må da blande \(2{,}5\) dL saft og \(7{,}5\) dL vann. Er påstanden ovenfor sann eller usann? Begrunn svaret ditt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal kontrollere om mengdene passer til forholdet \(1:4\).

Steg 1 — Finn antall deler

\[1+4=5\]

Forholdet betyr \(1\) del saft og \(4\) deler vann.

Steg 2 — Gjør \(1\) liter om til dL

\[1\text{ L}=10\text{ dL}\]

Påstanden er gitt i desiliter.

Steg 3 — Finn én del

\[\dfrac{10}{5}=2\]

Én del er \(2\) dL.

Steg 4 — Finn saft og vann

\[\text{saft}=2\text{ dL},\qquad \text{vann}=4\cdot 2=8\text{ dL}\]

Dette gir forholdet \(2:8=1:4\).

Tolkning

Siri skal bruke mindre saft og mer vann enn påstanden sier.

Vanlig feil: Å tro at \(1:4\) betyr \(25\%\) saft og \(75\%\) vann. Det blir egentlig \(1\) av \(5\) deler. Fasit: Påstanden er usann. Riktig blanding er \(2\) dL saft og \(8\) dL vann. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Proporsjonalitet

Oppgave 1c

Oppgave:

Strekningen \(s\) meter som en radiostyrt bil har tilbakelagt, er proporsjonal med tiden \(t\) sekunder. Tegn av tabellen nedenfor. Gjør beregninger og fyll ut det som mangler. Tabellen har \(s=3,5,9\) og en ukjent verdi, og \(t=0{,}6\), to ukjente verdier og \(12\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at forholdet \(\dfrac{s}{t}\) er konstant.

Steg 1 — Finn konstanten

\[\dfrac{s}{t}=\dfrac{3}{0{,}6}=5\]

Bilen kjører \(5\) meter per sekund.

Steg 2 — Finn tidene når \(s=5\) og \(s=9\)

\[t=\dfrac{s}{5}\]

Vi deler strekningen på farten.

\[t=\dfrac{5}{5}=1 \quad \text{og} \quad t=\dfrac{9}{5}=1{,}8\]

Steg 3 — Finn strekningen når \(t=12\)

\[s=5\cdot 12=60\]

Vi multipliserer farten med tiden.

\(s\)	\(3\)	\(5\)	\(9\)	\(60\)
\(t\)	\(0{,}6\)	\(1\)	\(1{,}8\)	\(12\)

Tolkning

Bilen holder konstant fart: \(5\) meter per sekund.

Vanlig feil: Å legge til samme tall i stedet for å bruke samme forhold. Fasit: De manglende verdiene er \(1\), \(1{,}8\) og \(60\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d Geometri

Oppgave 1d

Oppgave:

På figuren til høyre ser du en likesidet trekant og to kvadrater. Kari skal prøve å dekke en flate. Hvilke ulike typer regulære mangekanter kan Kari legge i det hjørnet pilen peker på?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvilken regulær mangekant som fyller vinkelen som mangler rundt hjørnet.

Steg 1 — Finn vinklene som allerede ligger i hjørnet

En likesidet trekant har vinkel \(60^\circ\). Hvert kvadrat har vinkel \(90^\circ\).

Steg 2 — Summer vinklene

\[60^\circ+90^\circ+90^\circ=240^\circ\]

Disse figurene dekker allerede \(240^\circ\) rundt punktet.

Steg 3 — Finn vinkelen som mangler

\[360^\circ-240^\circ=120^\circ\]

Rundt et punkt er det \(360^\circ\).

Steg 4 — Knytt vinkelen til en regulær mangekant

En regulær sekskant har innvendig vinkel \(120^\circ\).

Tolkning

Kari kan fylle hjørnet med en regulær sekskant.

Vanlig feil: Å bruke ytre vinkel i stedet for innvendig vinkel. Fasit: En regulær sekskant. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1e Pytagoras

Oppgave 1e

Oppgave:

Frode har satt opp en \(7\) meter høy stolpe. Et tau skal gå fra toppen av stolpen til et festepunkt nede på bakken. Festepunktet ligger \(5\) meter fra stolpen, og vinkelen mellom stolpen og underlaget er \(90^\circ\). Frode har et tau på \(9\) meter. Er dette tauet langt nok?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Tauet er hypotenusen i en rettvinklet trekant.

Steg 1 — Bruk Pytagoras

\[\text{tau}^2=7^2+5^2\]

Stolpen og bakken danner de to katetene.

Steg 2 — Regn ut

\[\text{tau}^2=49+25=74\]

Vi summerer kvadratene av katetene.

Steg 3 — Ta kvadratroten

\[\text{tau}=\sqrt{74}\approx 8{,}6\]

Dette er lengden tauet minst må ha.

Steg 4 — Sammenlikn med \(9\) meter

\[8{,}6<9\]

Tauet er litt lengre enn nødvendig.

Tolkning

Frode har nok tau, med omtrent \(0{,}4\) meter ekstra.

Vanlig feil: Å legge sammen \(7+5=12\). Tauet er ikke summen av de to rette sidene. Fasit: Ja, tauet er langt nok. Det må være omtrent \(8{,}6\) m. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1f Lineære funksjoner

Oppgave 1f

Oppgave:

I koordinatsystemet til høyre er det tegnet en rett linje \(l\). Finn likningen for linjen.

Skisse av linjen som skjærer y-aksen i \(3\) og x-aksen i \(2\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne stigningstall og konstantledd for linjen.

Steg 1 — Les av skjæringene

Linjen skjærer omtrent y-aksen i \(3\) og x-aksen i \(2\).

Steg 2 — Bruk to punkter

\[(0,3) \quad \text{og} \quad (2,0)\]

Disse punktene kan brukes til å finne stigningstallet.

Steg 3 — Finn stigningstallet

\[a=\dfrac{0-3}{2-0}=-\dfrac{3}{2}\]

Stigningstallet viser hvor mye \(y\) endrer seg når \(x\) øker med \(1\).

Steg 4 — Skriv likningen

\[y=-\dfrac{3}{2}x+3\]

Konstantleddet er \(3\), fordi linjen skjærer y-aksen der. …