Matematikk 1P Eksamen våren 2023 (LK20) – løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen Vår 2023 – løsningsforslag

Fullstendig, trinnvis løsning på hele eksamenssettet. Del 1 løses uten hjelpemidler. Del 2 dokumenterer digitale metoder med GeoGebra, regneark eller Python der det er naturlig.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Prosent

Oppgave 1

Oppgave:

Marko har kjøpt en sjokoladeplate i en butikk. Den kostet 20 kroner. Mari har kjøpt en sjokoladeplate på en bensinstasjon. Den kostet 50 kroner.

Marko sier: Jeg har regnet og funnet ut at sjokoladeplaten er 150 % dyrere på bensinstasjonen enn i butikken.

Mari sier: Jeg har regnet og funnet ut at sjokoladeplaten er 60 % billigere i butikken enn på bensinstasjonen.

Kan vi ha regnet riktig? Hvorfor får vi ulike prosenter? Gjør beregninger og svar på Marko sine spørsmål.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal kontrollere to prosentpåstander. Nøkkelen er å se hvilken pris som brukes som sammenligningsgrunnlag.

Steg 1 — Finn prisforskjellen

\[50-20=30\]

Prisforskjellen er 30 kroner.

Steg 2 — Regn prosent dyrere fra butikk til bensinstasjon

\[\dfrac{30}{20}\cdot100\,\%=150\,\%\]

Her sammenligner vi med butikkprisen, fordi vi spør hvor mye dyrere bensinstasjonen er.

Steg 3 — Regn prosent billigere fra bensinstasjon til butikk

\[\dfrac{30}{50}\cdot100\,\%=60\,\%\]

Her sammenligner vi med bensinstasjonsprisen, fordi vi spør hvor mye billigere butikken er.

Tolkning

Begge har regnet riktig. Prosentene blir ulike fordi prosent alltid regnes av et grunnlag, og grunnlaget er forskjellig i de to beregningene.

Vanlig feil: Å bruke samme nevner i begge prosentregningene. Fasit: Ja, begge kan ha regnet riktig. Bensinstasjonen er \(150\,\%\) dyrere enn butikken, og butikken er \(60\,\%\) billigere enn bensinstasjonen. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Standardform

Oppgave 2

Oppgave:

Tall fra FN viser at folketallet på jorden nå har passert 8 milliarder. Forskere har kommet fram til at det er omtrent 2,5 millioner ganger så mange maur som mennesker på jorden.

Omtrent hvor mange maur er det på jorden? Skriv svaret på standardform.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal multiplisere antall mennesker med forholdstallet mellom maur og mennesker og skrive svaret på standardform.

Steg 1 — Skriv tallene på standardform

\[8\text{ milliarder}=8\cdot10^9\]

Én milliard er \(10^9\).

Steg 2 — Skriv 2,5 millioner på standardform

\[2{,}5\text{ millioner}=2{,}5\cdot10^6\]

Én million er \(10^6\).

Steg 3 — Multipliser

\[(8\cdot10^9)\cdot(2{,}5\cdot10^6)=20\cdot10^15\]

Vi multipliserer tallene og legger sammen eksponentene.

Steg 4 — Skriv riktig standardform

\[20\cdot10^15=2{,}0\cdot10^16\]

Standardform skal ha et tall fra og med 1 til mindre enn 10 foran tierpotensen.

Tolkning

Det er omtrent \(20\) billiarder maur på jorden.

Vanlig feil: Å svare \(20\cdot10^15\) uten å gjøre det om til standardform. Fasit: Omtrent \(2{,}0\cdot10^16\) maur. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Proporsjonalitet

Oppgave 3a

Oppgave:

Gi et eksempel på en praktisk situasjon der to størrelser er proporsjonale. Begrunn at størrelsene er proporsjonale. Tegn en graf som viser sammenhengen mellom størrelsene.

Proporsjonal graf: rett linje gjennom origo. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et eget eksempel der forholdet mellom to størrelser er konstant.

Steg 1 — Velg situasjon

Vi kan si at epler koster 30 kroner per kilogram.

Da er prisen bestemt av hvor mange kilogram vi kjøper.

Steg 2 — Sett opp modell

\[P=30x\]

Her er \(x\) antall kilogram og \(P\) prisen i kroner.

Steg 3 — Begrunn proporsjonalitet

\[\dfrac{P}{x}=30\]

Forholdet mellom pris og kilogram er konstant, derfor er størrelsene proporsjonale.

Tolkning

Dobler vi mengden epler, dobles prisen. Grafen er en rett linje gjennom origo.

Vanlig feil: Å bruke et eksempel med fast startpris. Da går ikke grafen gjennom origo. Fasit: Et mulig eksempel er \(P=30x\). Pris og mengde er proporsjonale fordi \(P/x=30\) er konstant. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Omvendt proporsjonalitet

Oppgave 3b

Oppgave:

Gi et eksempel på en praktisk situasjon der to størrelser er omvendt proporsjonale. Begrunn at størrelsene er omvendt proporsjonale. Tegn en graf som viser sammenhengen mellom størrelsene.

Omvendt proporsjonal graf: produktet av størrelsene er konstant. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et eksempel der produktet av to størrelser er konstant.

Steg 1 — Velg situasjon

En tur er 120 kilometer. Tiden avhenger av farten.

Jo større fart, desto kortere tid.

Steg 2 — Sett opp modell

\[t=\dfrac{120}{v}\]

Her er \(v\) fart i km/h og \(t\) tid i timer.

Steg 3 — Begrunn omvendt proporsjonalitet

\[t\cdot v=120\]

Produktet er konstant, derfor er \(t\) og \(v\) omvendt proporsjonale.

Tolkning

Hvis farten dobles, blir tiden halvert. Grafen faller og nærmer seg aksene.

Vanlig feil: Å tro at alle synkende sammenhenger er omvendt proporsjonale. Produktet må være konstant. Fasit: Et mulig eksempel er \(t=\dfrac{120}{v}\), der \(t\cdot v=120\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a Lineær modell

Oppgave 4a

Oppgave:

Tabellen nedenfor viser høyden til Klara noen år fra hun var 4 år, til hun var 10 år.

Alder (år)	4	5	8	10
Høyde (cm)	100	107	128	142

Lag en modell som viser sammenhengen mellom høyden og alderen til Klara basert på tallene i tabellen. …