Matematikk 1P Eksamen våren 2018 (K06) – løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen Vår 2018 – løsningsforslag

Fullstendig, trinnvis løsning på Udir-settet. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser digitale kontrollsteg med GeoGebra, regnearkoppsett og Python der det er relevant.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Prosentpoeng

Oppgave 1a

Oppgave:

Nedenfor ser du hvor stor oppslutning Kristelig Folkeparti hadde ved stortingsvalgene i 2013 og 2017.
År: 2013 og 2017. Oppslutning: 5,6 % og 4,2 %.
a) Hvor mange prosentpoeng gikk oppslutningen til Kristelig Folkeparti tilbake med fra 2013 til 2017?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne forskjellen mellom to prosentsatser.

Steg 1 — Trekk fra

\[ 5{,}6-4{,}2=1{,}4 \]

Forskjellen mellom prosentsatser måles i prosentpoeng.

Steg 2 — Sett på riktig enhet

Enheten er prosentpoeng.

Tolkning

Oppslutningen gikk ned med 1,4 prosentpoeng.

Vanlig feil: Å skrive 1,4 %. Dette er prosentpoeng. Fasit: Tilbakegangen var 1,4 prosentpoeng. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Prosentvis endring

Oppgave 1b

Oppgave:

b) Hvor mange prosent gikk oppslutningen til Kristelig Folkeparti tilbake med fra 2013 til 2017?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne relativ tilbakegang fra 2013-nivået.

Steg 1 — Finn endringen

\[ 5{,}6-4{,}2=1{,}4 \]

Endringen er 1,4 prosentpoeng.

Steg 2 — Del på startverdien

\[ \dfrac{1{,}4}{5{,}6}=0{,}25 \]

Prosentvis tilbakegang regnes fra startverdien.

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[ 0{,}25=25\,\% \]

Vi multipliserer med 100.

Tolkning

Partiet mistet en firedel av oppslutningen fra 2013.

Vanlig feil: Å blande prosent og prosentpoeng. Fasit: Tilbakegangen var 25 %. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Forhold

Oppgave 2

Oppgave:

I en oppskrift står det at du trenger 4 dL melk og 500 g hvetemel for å lage 12 boller. Tenk deg at du har 1 L melk og 1,5 kg hvetemel.
Hvor mange boller kan du lage dersom du følger oppskriften?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må finne hvilken ingrediens som begrenser antallet boller.

Steg 1 — Gjør om enheter

\[ 1\text{ L}=10\text{ dL},\quad 1{,}5\text{ kg}=1500\text{ g} \]

Vi bruker samme enheter som i oppskriften.

Steg 2 — Finn antall porsjoner

\[ \dfrac{10}{4}=2{,}5,\quad \dfrac{1500}{500}=3 \]

Melken holder til 2,5 porsjoner, melet til 3 porsjoner.

Steg 3 — Bruk minste faktor

\[ 12\cdot 2{,}5=30 \]

Melken tar slutt først.

Tolkning

Du har nok mel til mer, men ikke nok melk.

Vanlig feil: Å bruke ingrediensen det er mest av. Begge ingredienser må holde. Fasit: Du kan lage 30 boller. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Indeks

Oppgave 3

Oppgave:

I 2013 var indeksen for en vare 80. Varen kostet da 1000 kroner. I 2017 var indeksen for den samme varen 120.
Hvor mye kostet varen i 2017 dersom prisen har fulgt indeksen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker forholdet mellom indeksene.

Steg 1 — Finn indeksfaktoren

\[ \dfrac{120}{80}=1{,}5 \]

Indeksen ble 1,5 ganger så stor.

Steg 2 — Finn ny pris

\[ 1000\cdot 1{,}5=1500 \]

Prisen følger samme faktor.

Tolkning

Prisen økte med 50 %.

Vanlig feil: Å bruke indeksforskjellen 40 som kroner. Fasit: Varen kostet 1500 kroner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Målestokk

Oppgave 4

Oppgave:

På et kart er avstanden mellom to byer 9 cm. I virkeligheten er avstanden 45 km.
Bestem målestokken til kartet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skriver begge avstander i centimeter.

Steg 1 — Gjør om

\[ 45\text{ km}=4500000\text{ cm} \]

Målestokk må ha samme enhet.

Steg 2 — Sett opp forhold

\[ 9:4500000 \]

Kartavstand mot virkelig avstand.

Steg 3 — Forkort

\[ 9:4500000=1:500000 \]

Vi deler på 9.

Tolkning

1 cm på kartet svarer til 5 km i virkeligheten.

Vanlig feil: Å glemme at 1 km er 100 000 cm. Fasit: Målestokken er 1:500000. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5a Funksjon

Oppgave 5a

Oppgave:

Mads skal ta førerkortet for bil. Ved trafikkskolen koster det 13 000 kroner for den obligatoriske delen av føreropplæringen inkludert gebyrer. I tillegg koster det 600 kroner for hver kjøretime.
a) Bestem en funksjon \(K\) som viser prisen \(K(x)\) kroner for å ta førerkortet dersom Mads bruker \(x\) kjøretimer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi lager en prisfunksjon.

Steg 1 — Fast kostnad

\[ 13000 \]

Dette betales uansett.

Steg 2 — Timekostnad

\[ 600x \]

Hver kjøretime koster 600 kroner.

Steg 3 — Sett sammen

\[ K(x)=13000+600x \]

Totalpris er fast kostnad pluss timekostnad.

Tolkning

Funksjonen gir totalpris for \(x\) kjøretimer.

Vanlig feil: Å glemme den obligatoriske delen. Fasit: \(K(x)=13000+600x\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5b Graf

Oppgave 5b

Oppgave:

b) Tegn grafen til \(K\) i et koordinatsystem.

Vis løsning Grafen er lineær med startverdi 13 000 kroner og stigningstall 600 kroner per kjøretime.

Hva spør oppgaven om? Vi tegner linjen til funksjonen.

Steg 1 — Finn to punkter

\[ K(0)=13000,\quad K(10)=19000 \]

To punkter bestemmer en rett linje.

Steg 2 — Tegn linjen

Plott punktene og trekk en rett linje.

Tolkning

Grafen stiger med 600 kroner per kjøretime.

Vanlig feil: Å starte grafen i origo. Fasit: Grafen er en rett linje gjennom \((0,13000)\) og \((10,19000)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5c Proporsjonalitet

Oppgave 5c

Oppgave:

c) Avgjør om prisen for å ta førerkortet og antall kjøretimer er proporsjonale størrelser.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi sjekker om grafen går gjennom origo.

Steg 1 — Se på startverdien

\[ K(0)=13000 \]

Prisen er ikke 0 når antall kjøretimer er 0.

Steg 2 — Konkluder

Proporsjonale størrelser må ha formen \(K(x)=kx\).

Tolkning

Fastprisen gjør at størrelsene ikke er proporsjonale.

Vanlig feil: Alle rette linjer er ikke proporsjonale. Linjen må gå gjennom origo. Fasit: Nei, størrelsene er ikke proporsjonale. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 6 Vekstfaktor

Oppgave 6

Oppgave:

En fire år gammel moped koster i dag 8000 kroner. Mopedens verdi har avtatt med 12 % per år siden den var ny.
Forklar hvilket av uttrykkene nedenfor som kan brukes til å finne hvor mye mopeden kostet da den var ny.
1) \(8000-8000\cdot 0{,}12^4\)
2) \(8000\cdot 0{,}88^4\)
3) \(\dfrac{8000}{0{,}88^4}\)
4) \(8000\cdot 0{,}12^{-4}\)

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gå bakover fra dagens verdi til nypris.

Steg 1 — Finn vekstfaktor

\[ 1-0{,}12=0{,}88 \]

Verdien blir 88 % hvert år.

Steg 2 — Sett opp sammenheng

\[ \text{nypris}\cdot 0{,}88^4=8000 \]

Fire år med nedgang gir dagens pris.

Steg 3 — Løs bakover

\[ \text{nypris}=\dfrac{8000}{0{,}88^4} \]

Vi deler på fire års vekstfaktor.

Tolkning

Uttrykk 3 finner opprinnelig pris. …