Matematikk 1P Eksamen høsten 2014 (K06) – løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen høst 2014 - løsningsforslag

Fullstendig, trinnvis løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser regneark, GeoGebra og Python der det passer.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Prosent

Oppgave 1

Oppgave:

Diagrammet ovenfor viser hvor mange bøker en forfatter har solgt hvert år de fire siste årene. Når var den prosentvise økningen i salget fra et år til det neste størst?

Vis løsning Søylene viser 4000, 5000, 6000 og 7000 solgte bøker.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne prosentvis økning fra år til år, ikke bare økning i antall bøker.

Steg 1 - Fra 2010 til 2011

\[\dfrac{5000-4000}{4000}=0{,}25=25\,\%\]

Vi deler økningen på startverdien.

Steg 2 - Fra 2011 til 2012

\[\dfrac{6000-5000}{5000}=0{,}20=20\,\%\]

Samme økning i antall gir lavere prosent når startverdien er større.

Steg 3 - Fra 2012 til 2013

\[\dfrac{7000-6000}{6000}\approx 0{,}167=16{,}7\,\%\]

Dette er lavere enn de to andre prosentøkningene.

Tolkning

Den største relative økningen kom tidligst, selv om økningen i antall bøker var 1000 hvert år.

Vanlig feil: Å bare se at økningen er 1000 bøker hvert år og glemme at prosent regnes fra ulik startverdi. Fasit: Den prosentvise økningen var størst fra 2010 til 2011: \(25\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Forhold

Oppgave 2

Oppgave:

Ifølge en oppskrift trenger du 500 g kjøttdeig for å lage middag til fire personer. Hvor mye kjøttdeig trenger du for å lage middag til ni personer?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skalere oppskriften proporsjonalt fra 4 til 9 personer.

Steg 1 - Finn kjøttdeig per person

\[\dfrac{500}{4}=125\]

Oppskriften bruker 125 g kjøttdeig per person.

Steg 2 - Gang med 9 personer

\[125\cdot 9=1125\]

Vi bruker samme mengde per person.

Tolkning

Du må ha litt over 1 kg kjøttdeig.

Fasit: \(1125\) g kjøttdeig. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Indeks

Oppgave 3

Oppgave:

I basisåret kostet en vare 600 kroner. I 2013 kostet varen 720 kroner. Vi antar at prisen for varen har fulgt indeksen. Bestem indeksen for varen i 2013.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne indeks når basisåret har indeks 100.

Steg 1 - Bruk indeksformelen

\[\text{indeks}=\dfrac{\text{ny pris}}{\text{basispris}}\cdot 100\]

Indeks sammenlikner ny pris med prisen i basisåret.

Steg 2 - Sett inn tall

\[\dfrac{720}{600}\cdot 100=120\]

Prisen er 1,20 ganger basisprisen.

Tolkning

Indeks 120 betyr at prisen har økt med 20 % fra basisåret.

Fasit: Indeksen i 2013 var \(120\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Sannsynlighet

Oppgave 4

Oppgave:

I en klasse er det seks gutter og fire jenter. To elever velges tilfeldig til å være med i en spørreundersøkelse. Tegn et valgtre, og bruk dette til å bestemme sannsynligheten for at én jente og én gutt velges ut.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for to rekkefølger: gutt-jente eller jente-gutt.

Steg 1 - Første rekkefølge: gutt så jente

\[P(GJ)=\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{4}{9}=\dfrac{24}{90}\]

Etter at én gutt er valgt, er det 9 elever igjen.

Steg 2 - Andre rekkefølge: jente så gutt

\[P(JG)=\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{6}{9}=\dfrac{24}{90}\]

Dette er den andre mulige rekkefølgen.

Steg 3 - Legg sammen

\[P=\dfrac{24}{90}+\dfrac{24}{90}=\dfrac{48}{90}=\dfrac{8}{15}\]

Hendelsene kan ikke skje samtidig, derfor legger vi dem sammen.

Tolkning

Det er litt over 50 % sannsynlighet for å få én gutt og én jente.

Fasit: \(\dfrac{8}{15}\approx 53{,}3\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5 Proporsjonalitet

Oppgave 5

Oppgave:

Trond påstår at antall kiwi du kjøper i denne butikken, og beløpet du betaler for kiwiene, er proporsjonale størrelser. Therese mener det ikke er grunnlag for å påstå dette. Hvordan kan Trond og Therese argumentere?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere om pris og antall kiwi har et fast forhold.

Steg 1 - Tronds argument

\[\dfrac{10}{4}=2{,}50\quad\text{og}\quad\dfrac{20}{8}=2{,}50\]

Begge tilbudene gir samme pris per kiwi.

Steg 2 - Hva dette kan tyde på

\[\text{pris}=2{,}50\cdot\text{antall kiwi}\]

Hvis dette gjelder for alle antall kiwi, er størrelsene proporsjonale.

Steg 3 - Thereses argument

To tilbud er ikke nok til å bevise at alle mulige antall kiwi følger samme regel.

Butikken kan for eksempel bare ha pakketilbud på 4 og 8 kiwi.

Tolkning

Trond har et godt tegn på proporsjonalitet, men Therese har rett i at vi ikke har nok informasjon til å være sikre.

Fasit: Trond kan vise lik stykkpris, mens Therese kan si at to eksempler ikke beviser proporsjonalitet for alle antall kiwi. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 6a Lineær vekst

Oppgave 6a

Oppgave:

I 2006 kostet en vare 600 kroner. I 2014 koster varen 1 000 kroner. I løpet av disse åtte årene har prisen økt lineært. Forklar hva det vil si.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare begrepet lineær økning.

Steg 1 - Se på tidsrommet

Fra 2006 til 2014 er det 8 år.

Prisen går fra 600 kroner til 1000 kroner.

Steg 2 - Forklar lineær økning

Lineær økning betyr at prisen øker med samme kronebeløp hvert år.

Steg 3 - Finn økning per år

\[\dfrac{1000-600}{8}=50\]

Her betyr lineær økning at prisen øker med 50 kroner per år.

Tolkning

Grafen til prisen vil være en rett linje.

Fasit: Prisen øker med samme beløp hvert år, her \(50\) kroner per år. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 6b Lineær funksjon

Oppgave 6b

Oppgave:

Vi antar at prisen fortsetter å øke lineært. Bestem en funksjon \(f\) som viser prisen \(f(x)\) kroner for varen \(x\) år etter 2006.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær modell med startverdi og stigningstall.

Steg 1 - Startverdien

\[f(0)=600\]

Når \(x=0\), er året 2006.

Steg 2 - Stigningstallet

\[a=50\]

Fra oppgave a øker prisen med 50 kroner per år.

Steg 3 - Skriv funksjonen

\[f(x)=600+50x\]

Dette gir pris \(x\) år etter 2006.

Tolkning

Funksjonen legger til 50 kroner for hvert år etter 2006.

Fasit: \(f(x)=600+50x\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 6c Lineær modell

Oppgave 6c

Oppgave:

Hvor mye vil varen koste i 2018 ifølge funksjonen i oppgave b)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(x\)-verdien for 2018 og sette den inn i modellen.

Steg 1 - Finn antall år etter 2006

\[2018-2006=12\]

Dermed er \(x=12\).

Steg 2 - Sett inn i funksjonen

\[f(12)=600+50\cdot 12\]

Vi bruker modellen fra oppgave b.

Steg 3 - Regn ut

\[f(12)=1200\]

Dette er modellens pris i 2018.

Tolkning

Hvis den lineære utviklingen fortsetter, koster varen 1200 kroner i 2018.

Fasit: \(1200\) kroner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 7a Likninger

Oppgave 7a

Oppgave:

Julie har fått følgende oppgave: «En formiddag i barnehagen var det fem ganger så mange barn ute som inne. Etter lunsj kom tre barn til ut. Da ble det åtte ganger så mange barn ute som inne. Hvor mange barn var det i barnehagen denne dagen?» Hun arbeider med teksten, og setter først opp en tabell med \(x\) inne og \(5x\) ute før lunsj, og \(x-3\) inne og \(5x+3\) ute etter lunsj. Så setter hun opp likningen \(8(x-3)=5x+3\). Forklar hvordan Julie kommer fram til uttrykkene og likningen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare oversettingen fra tekst til algebra.

Steg 1 - Før lunsj

\[\text{inne}=x,\quad \text{ute}=5x\]

Det var fem ganger så mange ute som inne. …