Matematikk 1P Eksamen våren 2013 (K06) – løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen vår 2013 – løsningsforslag

Fullstendig, trinnvis løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser relevante digitale kontroller med GeoGebra og Python.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 (2 poeng) Overslag

Oppgave 1

Oppgave:

Hilde skal kjøpe

2 L melk
2,5 kg poteter
0,5 kg ost
200 g kokt skinke

Prisene er 14,95 kroner per liter melk, 8,95 kroner per kilogram poteter, 89,95 kroner per kilogram ost og 199 kroner per kilogram kokt skinke.

Gjør et overslag og finn ut omtrent hvor mye hun må betale.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre et overslag, ikke finne nøyaktig sum. Derfor runder vi prisene til tall som er enkle å regne med.

Steg 1 — Rund av prisene

Vi bruker omtrent 15 kr per liter melk, 9 kr per kg poteter, 90 kr per kg ost og 200 kr per kg skinke.

Steg 2 — Regn hver vare

\[2\cdot 15=30\]

\[2{,}5\cdot 9\approx 25\]

\[0{,}5\cdot 90=45\]

\[0{,}2\cdot 200=40\]

Steg 3 — Legg sammen overslaget

\[30+25+45+40=140\]

Dette gir et realistisk overslag over totalprisen.

Tolkning

Hilde må regne med å betale omtrent 140 kroner.

Vanlig feil: Å glemme at 200 g er \(0{,}2\) kg. Fasit: \(\text{omtrent }140\text{ kroner}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 (2 poeng) Prosent

Oppgave 2

Oppgave:

En vare koster nå 210 kroner. Prisen er da satt ned med 30 %.

Hva kostet varen før prisen ble satt ned?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne førprisen. Når prisen er satt ned med 30 %, er ny pris 70 % av gammel pris.

Steg 1 — Sett opp sammenhengen

\[0{,}70\cdot x=210\]

Her er \(x\) prisen før nedsettelsen.

Steg 2 — Del på vekstfaktoren

\[x=\dfrac{210}{0{,}70}=300\]

Vi deler på 0,70 fordi 210 kroner er 70 % av førprisen.

Tolkning

Varen kostet 300 kroner før salget.

Vanlig feil: Å trekke 30 % fra 210. Det finner ikke førprisen. Fasit: \(300\) kroner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 (2 poeng) Indeks

Oppgave 3

Oppgave:

En vare kostet 150 kroner i basisåret. I dag er indeksen for varen 110.

Hvor mye koster varen i dag dersom vi antar at prisutviklingen har fulgt utviklingen i indeksen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Indeks 110 betyr at prisen er 110 % av prisen i basisåret.

Steg 1 — Bruk indeks som prosent

\[110\,\%=\dfrac{110}{100}=1{,}10\]

Indeksen gjøres om til vekstfaktor.

Steg 2 — Finn ny pris

\[150\cdot 1{,}10=165\]

Vi ganger basisprisen med vekstfaktoren.

Tolkning

Varen har økt med 10 % fra basisåret.

Vanlig feil: Å tolke indeks 110 som 110 kroner. Fasit: \(165\) kroner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a (3 poeng) Formlikhet

Oppgave 4a

Oppgave:

Figuren viser to trekanter. I trekant \(ABC\) er \(\angle A=34{,}1^\circ\), \(\angle C=101{,}5^\circ\), \(AB=7{,}0\) og \(BC=4{,}0\). I trekant \(DEF\) er \(\angle D=101{,}5^\circ\), \(\angle F=44{,}4^\circ\), \(DE=7{,}0\) og \(FE=9{,}8\).

a) Vis at de to trekantene ovenfor er formlike.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at trekantene har samme vinkler. Da er de formlike.

Steg 1 — Finn den tredje vinkelen i \(ABC\)

\[\angle B=180^\circ-34{,}1^\circ-101{,}5^\circ=44{,}4^\circ\]

Vinkelsummen i en trekant er \(180^\circ\).

Steg 2 — Sammenlign vinklene

\[\angle A=\angle E=34{,}1^\circ\]

\[\angle B=\angle F=44{,}4^\circ\]

\[\angle C=\angle D=101{,}5^\circ\]

Steg 3 — Konkluder

Når to trekanter har parvis like vinkler, er trekantene formlike.

Tolkning

Trekantene har samme form, men forskjellig størrelse.

Vanlig feil: Å sammenligne sider før man har bestemt hvilke vinkler som hører sammen. Fasit: Trekantene er formlike fordi de har vinklene \(34{,}1^\circ\), \(44{,}4^\circ\) og \(101{,}5^\circ\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4b (3 poeng) Formlikhet

Oppgave 4b

Oppgave:

b) Bestem lengden av sidene \(AC\) og \(DF\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker forholdet mellom samsvarende sider i de formlike trekantene.

Steg 1 — Finn målestokken fra liten til stor trekant

Siden \(AB\) svarer til \(FE\). Derfor får vi

\[\dfrac{FE}{AB}=\dfrac{9{,}8}{7{,}0}=1{,}4\]

Steg 2 — Finn \(AC\)

Siden \(AC\) svarer til \(DE\).

\[AC=\dfrac{DE}{1{,}4}=\dfrac{7{,}0}{1{,}4}=5{,}0\]

Steg 3 — Finn \(DF\)

Siden \(BC\) svarer til \(DF\).

\[DF=4{,}0\cdot 1{,}4=5{,}6\]

Tolkning

Den store trekanten er 1,4 ganger så stor som den lille.

Vanlig feil: Å bruke feil samsvarende sider. Fasit: \(AC=5{,}0\) og \(DF=5{,}6\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5a (3 poeng) Forhold

Oppgave 5a

Oppgave:

På en pakke grøtris står følgende opplysninger:

Porsjoner	Ris	Vann	Melk
3	1,5 dL	3,0 dL	0,75 L

a) Hvor mye ris, vann og melk trenger du for å lage 10 porsjoner med grøt? …