Matematikk 1P Eksamen høsten 2023 (LK20) – løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen Høst 2023 – løsningsforslag

Fullstendig, trinnvis løsning på hele eksamenssettet. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser regneoppsett, digitale kontroller og tolkning der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Måling og enheter

Oppgave 1

Oppgave:

Tobias lurer på hvor mye vann han bør drikke hver dag. Han finner ulike svar på ulike nettsider. På en nettside finner han teksten nedenfor.

Voksne har hvert døgn behov for ca. 30 mL væske per kilogram kroppsvekt. Husk at vann er den beste tørstedrikken.

Tobias veier 70 kg.

Hvor mange liter vann bør Tobias drikke i løpet av et døgn ifølge nettsiden?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke anbefalingen per kilogram og gjøre om fra milliliter til liter.

Steg 1 — Finn væskemengden i milliliter

\[30\cdot70=2100\]

Det er 30 mL for hvert kilogram kroppsvekt.

Steg 2 — Gjør om til liter

\[2100\text{ mL}=2{,}1\text{ L}\]

Vi deler på 1000 fordi 1000 mL er 1 L.

Tolkning

Ifølge nettsiden bør Tobias drikke omtrent 2,1 liter væske i løpet av et døgn.

Vanlig feil: Å svare 2100 liter fordi man glemmer enhetsomgjøringen. Fasit: \(2{,}1\) liter. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Prosent og prosentpoeng

Oppgave 2

Oppgave:

Ni av ti nordmenn bruker sosiale medier
88 % av nordmenn bruker sosiale medier.

De siste fem årene har antall nordmenn som bruker sosiale medier, økt med 8 prosentpoeng.

Opplysningene ovenfor er hentet fra ssb.no.

Vil du si at overskriften samsvarer med første setning i teksten? Begrunn svaret ditt.

Hvor mange prosent tilsvarer økningen på 8 prosentpoeng?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenligne 88 % med uttrykket «ni av ti» og deretter skille prosentpoeng fra prosentvis økning.

Steg 1 — Tolk overskriften

\[\dfrac{9}{10}=0{,}90=90\,\%\]

Ni av ti betyr 90 %.

Steg 2 — Sammenlign med 88 %

\[88\,\%\approx90\,\%\]

Overskriften samsvarer omtrent, fordi 88 % rundes til omtrent ni av ti.

Steg 3 — Finn startprosenten før økningen

\[88\,\%-8\text{ prosentpoeng}=80\,\%\]

En økning på 8 prosentpoeng betyr at prosenttallet har gått fra 80 % til 88 %.

Steg 4 — Regn økningen i prosent

\[\dfrac{8}{80}\cdot100\,\%=10\,\%\]

Vi sammenligner økningen med startverdien 80 %.

Tolkning

Overskriften er en avrundet formulering. Økningen på 8 prosentpoeng tilsvarer 10 % relativ økning.

Vanlig feil: Å si at 8 prosentpoeng alltid er det samme som 8 % økning. Fasit: Ja, omtrent: 88 % er nær 90 %. Økningen tilsvarer \(10\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Proporsjonalitet

Oppgave 3

Oppgave:

Ohms lov sier at strømmen \(( I )\) gjennom en metallisk leder med konstant temperatur er proporsjonal med spenningen \(( U )\) og omvendt proporsjonal med motstanden \(( R )\) i lederen.

Argumenter for om hver av påstandene er sann eller usann.

1) Hvis vi øker spenningen, vil strømmen også øke.
2) Hvis vi øker motstanden, vil strømmen også øke.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sammenhengen i Ohms lov til å vurdere to påstander.

Steg 1 — Skriv sammenhengen

\[I=\dfrac{U}{R}\]

Strømmen øker med spenningen og minker med motstanden.

Steg 2 — Vurder påstand 1

Hvis \(R\) er konstant og \(U\) øker, blir \(\dfrac{U}{R}\) større.

Påstand 1 er derfor sann.

Steg 3 — Vurder påstand 2

Hvis \(U\) er konstant og \(R\) øker, blir \(\dfrac{U}{R}\) mindre.

Påstand 2 er derfor usann.

Tolkning

Mer spenning gir mer strøm, mens større motstand bremser strømmen.

Vanlig feil: Å tro at alle størrelser i en formel øker samtidig. Fasit: 1) Sann. 2) Usann. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a Funksjoner og modellering

Oppgave 4a

Oppgave:

Hunder utvikler seg raskere enn mennesker. Når en hund er 1 år gammel, tilsvarer det 16 menneskeår. Se tabellen nedenfor.

Sondre har en hund som er 2 år gammel. Han mener funksjonen \(H\) gitt ved

\[H(x)=6x+12\]

kan brukes som en modell for hvor mange menneskeår \(H(x)\) en stor hund er når den er \(x\) hundeår.

a) Forklar hvordan Sondre kan ha kommet fram til dette uttrykket, og argumenter for når modellen er gyldig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hvordan uttrykket kan passe med tabellen for store hunder.

Steg 1 — Se på verdiene for store hunder

For store hunder viser tabellen blant annet \(2\) år \(\to 24\) år og \(3\) år \(\to 30\) år.

Økningen er 6 menneskeår per hundeår.

Steg 2 — Bruk stigningstallet 6

\[H(x)=6x+b\]

Stigningstallet 6 kommer fra at menneskealderen øker med 6 når hundealderen øker med 1.

Steg 3 — Finn konstantleddet

\[24=6\cdot2+b\]

\[b=12\]

Dermed får vi \(H(x)=6x+12\).

Steg 4 — Vurder gyldighet

Modellen passer fra omtrent 2 hundeår og videre i tabellen for store hunder.

Den passer ikke godt for de første leveårene, fordi \(H(1)=18\), mens tabellen sier 16 menneskeår.

Tolkning

Modellen beskriver voksen alder for store hunder i tabellen, men ikke hele hundens liv.

Vanlig feil: Å bruke modellen ukritisk også for valper og svært unge hunder. Fasit: Sondre kan ha brukt punktene \((2,24)\), \((3,30)\) osv. Modellen er rimelig for store hunder fra ca. \(2\) til \(14\) hundeår i tabellen, men ikke for alle aldre. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4b Proporsjonalitet

Oppgave 4b

Oppgave:

Sondre påstår at modellen han har funnet, viser at alderen til en hund er proporsjonal med alderen til et menneske.

b) Stemmer påstanden til Sondre? Husk å argumentere for svaret ditt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre om modellen er proporsjonal.

Steg 1 — Kjennetegn på proporsjonalitet

En proporsjonal sammenheng kan skrives som \(H(x)=kx\). …