Matematikk 1P Eksamen høsten 2020 (K06) – løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen høst 2020 – løsningsforslag

Fullstendig løsningsforslag på bokmål. Del 1 løses med håndregning. Del 2 viser digitale framgangsmåter med GeoGebra, regnearkoppsett og Python-kontroll der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1 Funksjoner og stigningstall

Oppgave 1

Oppgave:

Erik ønsker å ta førerkort for moped. Den grafiske framstillingen nedenfor viser sammenhengen mellom antallet kjøretimer han trenger, og prisen han totalt må betale for førerkortet. Hvor mye må Erik betale for hver kjøretime?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av hvor mye totalprisen øker når antall kjøretimer øker. Det er stigningstallet til linjen.

Steg 1 — Les av to punkter

\[ (0,5000) \quad ext{og} \quad (5,7000) \]

Grafen viser at prisen er 5000 kroner uten kjøretimer og 7000 kroner ved 5 kjøretimer.

Steg 2 — Finn prisøkningen

\[ 7000-5000=2000 \]

Dette er økningen i totalpris for 5 kjøretimer.

Steg 3 — Del på antall timer

\[ \dfrac{2000}{5}=400 \]

Vi deler økningen i kroner på økningen i timer.

Tolkning

Hver ekstra kjøretime øker totalprisen med 400 kroner.

Vanlig feil: Å lese av totalprisen 7000 kroner og tro at det er prisen per kjøretime. Fasit: Erik må betale \(400\) kroner per kjøretime. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 Forhold

Oppgave 2

Oppgave:

I en klasse er forholdet mellom antall jenter og antall gutter \(5:7\). Det er \(24\) elever i klassen. Hvor mange jenter er det i klassen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne jentedelen av hele klassen når forholdet er gitt.

Steg 1 — Finn totalt antall forholdsdeler

\[ 5+7=12 \]

Klassen er delt i 12 like forholdsdeler.

Steg 2 — Finn verdien av én del

\[ \dfrac{24}{12}=2 \]

Hver forholdsdel svarer til 2 elever.

Steg 3 — Finn antall jenter

\[ 5\cdot 2=10 \]

Jentene utgjør 5 av forholdsdelene.

Tolkning

Det er 10 jenter og 14 gutter, til sammen 24 elever.

Vanlig feil: Å dele på 5 eller 7 alene i stedet for å dele på summen \(5+7\). Fasit: Det er \(10\) jenter i klassen. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a Måling og enheter

Oppgave 3a

Oppgave:

Ovenfor ser du et bilde av en kaffekalkulator fra Friele. Kalkulatoren beregner hvor mye kaffe du trenger for å lage filterkaffe. På bildet viser kalkulatoren hvor mye kaffe du trenger for å lage \(1\) L filterkaffe. a) Hvor mange desiliter filterkaffe vil det bli i hver kopp?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Bildet viser at \(1\) L filterkaffe gir 8 kopper. Vi skal finne hvor mange desiliter én kopp rommer.

Steg 1 — Gjør liter om til desiliter

\[ 1 ext{ L}=10 ext{ dL} \]

Det er enklere å finne desiliter per kopp når volumet er i desiliter.

Steg 2 — Del på antall kopper

\[ \dfrac{10}{8}=1{,}25 \]

Vi fordeler 10 dL likt på 8 kopper.

Tolkning

Hver kopp inneholder 1,25 dL filterkaffe.

Vanlig feil: Å bruke 1 liter direkte som 1 dL. Fasit: Det blir \(1{,}25\) dL filterkaffe i hver kopp. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3b Proporsjonalitet

Oppgave 3b

Oppgave:

b) Hvor mange strøkne måleskjeer kaffe vil denne kaffekalkulatoren beregne til \(1{,}5\) L filterkaffe?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Bildet viser at \(1\) L filterkaffe krever 6 strøkne måleskjeer. Vi skal skalere opp til \(1{,}5\) L.

Steg 1 — Finn skaleringsfaktoren

\[ \dfrac{1{,}5}{1}=1{,}5 \]

Vi lager 1,5 ganger så mye kaffe som på bildet.

Steg 2 — Skaler antall måleskjeer

\[ 6\cdot 1{,}5=9 \]

Mengden kaffe øker proporsjonalt med vannmengden.

Tolkning

Til 1,5 L filterkaffe beregner kalkulatoren 9 strøkne måleskjeer.

Vanlig feil: Å legge til 1,5 måleskje i stedet for å gange med \(1{,}5\). Fasit: Kaffekalkulatoren vil beregne \(9\) strøkne måleskjeer. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 4a Geometri og areal

Oppgave 4a

Oppgave:

En figur er satt sammen av et kvadrat ABCD med sidelengde \(2s\) og en trekant CED der \(CE=DE\) og \(ngle ECF=45^\circ\). Se skissen. a) Vis at arealet av hele figuren er \(5s^2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at arealet av kvadratet og trekanten til sammen blir \(5s^2\).

Steg 1 — Arealet av kvadratet

\[ A_{ ext{kvadrat}}=(2s)^2=4s^2 \]

Kvadratet har sidelengde \(2s\).

Steg 2 — Finn grunnlinjen i trekanten

\[ CD=2s \]

Grunnlinjen i trekanten er like lang som øverste side i kvadratet.

Steg 3 — Finn høyden

\[ FC=s \quad ext{og} \quad EF=s \]

Siden trekanten er likebeint, treffer høyden midt på \(CD\). Når \(ngle ECF=45^\circ\), blir den rettvinklede trekanten \(ECF\) likebeint.

Steg 4 — Arealet av trekanten

\[ A_{ ext{trekant}}=\dfrac{2s\cdot s}{2}=s^2 \]

Vi bruker formelen grunnlinje ganger høyde delt på 2.

Steg 5 — Legg sammen

\[ A_{ ext{hele}}=4s^2+s^2=5s^2 \]

Hele figuren består av kvadratet og trekanten.

Tolkning

Figurens totale areal er fem ganger \(s^2\).

Vanlig feil: Å tro at trekantens høyde er \(2s\). Høyden er \(s\). Fasit: Arealet av hele figuren er \(5s^2\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 4b Geometri og areal

Oppgave 4b

Oppgave:

Marie skal tegne figuren slik at arealet av trekanten CED blir \(36 ext{ cm}^2\). b) Hvor lang må sidelengden i kvadratet være?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kjenner trekantarealet og skal finne sidelengden \(2s\) i kvadratet.

Steg 1 — Bruk trekantarealet fra oppgave a

\[ A_{ ext{trekant}}=s^2 \]

I forrige del fant vi at trekantens areal er \(s^2\).

Steg 2 — Sett arealet lik 36

\[ s^2=36 \]

Oppgaven sier at trekanten skal ha areal \(36 ext{ cm}^2\).

Steg 3 — Finn \(s\)

\[ s=6 \]

Vi bruker positiv lengde.

Steg 4 — Finn sidelengden i kvadratet

\[ 2s=2\cdot 6=12 \]

Kvadratet har sidelengde \(2s\).

Tolkning

Kvadratet må tegnes med side 12 cm for at trekanten skal få areal 36 cm 2 .

Vanlig feil: Å svare \(s=6\) i stedet for sidelengden \(2s=12\). Fasit: Sidelengden i kvadratet må være \(12\) cm. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 5a Sannsynlighet

Oppgave 5a

Oppgave:

Charlotte og Gunnar er med i en gruppe på ti elever som skal arrangere en skoleturnering i volleyball. Fra denne gruppen skal to elever trekkes ut tilfeldig. De to skal lage kampoppsettet. a) Bestem sannsynligheten for at verken Charlotte eller Gunnar blir trukket ut.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for at begge de uttrukne kommer fra de 8 andre elevene.

Steg 1 — Tell gunstige valg

\[ inom{8}{2}=28 \]

Det er 8 elever som verken er Charlotte eller Gunnar.

Steg 2 — Tell alle mulige valg

\[ inom{10}{2}=45 \]

To elever trekkes fra hele gruppen på 10.

Steg 3 — Finn sannsynligheten

\[ P=\dfrac{28}{45}pprox 0{,}622 \]

Sannsynlighet er gunstige valg delt på mulige valg.

Tolkning

Det er omtrent 62,2 % sannsynlighet for at ingen av dem trekkes ut.

Vanlig feil: Å regne med rekkefølge, selv om det bare er et utvalg på to elever. Fasit: Sannsynligheten er \(\dfrac{28}{45}pprox 62{,}2\,\%\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 5b Sannsynlighet

Oppgave 5b

Oppgave:

b) Bestem sannsynligheten for at det blir Charlotte og Gunnar som skal lage kampoppsettet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for akkurat ett bestemt par.

Steg 1 — Tell gunstige valg

\[ 1 \]

Det finnes bare ett gunstig par: Charlotte og Gunnar.

Steg 2 — Tell alle mulige par

\[ inom{10}{2}=45 \]

Det er 45 mulige par blant 10 elever.

Steg 3 — Finn sannsynligheten

\[ P=\dfrac{1}{45}pprox 0{,}0222 \]

Vi deler ett gunstig par på alle mulige par.

Tolkning

Sannsynligheten er lav, omtrent 2,2 %.

Vanlig feil: Å svare \(\dfrac{2}{10}\), men oppgaven handler om to elever som trekkes samtidig. Fasit: Sannsynligheten er \(\dfrac{1}{45}pprox 2{,}2\,\%\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 6a Geometri

Oppgave 6a

Oppgave:

Et område har form som vist på figuren. \(AB=10\) m og \(AC=6\) m. a) Regn ut lengden \(BC\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Trekanten \(ABC\) er rettvinklet. Vi skal finne den ukjente kateten \(BC\).

Steg 1 — Bruk Pytagoras

\[ AB^2=AC^2+BC^2 \]

\(AB\) er hypotenusen.

Steg 2 — Sett inn tall

\[ 10^2=6^2+BC^2 \]

Vi bruker lengdene fra oppgaven. …