Matematikk 1P Eksamen høsten 2011 (K06) – løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen Høst 2011 – løsningsforslag

Fullstendig løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser praktisk bruk av GeoGebra/Python der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Forhold og enheter

Oppgave 1a

Oppgave:

Bjørn skal lage havregrøt. Han har 6 dL havregryn. Bak på posen finner han oppskriften du ser til høyre.

Hvor mange liter vann trenger han?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skalere oppskriften fra posen til 6 dL havregryn.

Steg 1 — Les forholdet i oppskriften

Oppskriften bruker 5 dL vann til 1,5 dL havregryn.

Det betyr at vannmengden må økes i samme forhold som havregrynmengden.

Steg 2 — Finn skaleringsfaktoren

\[\dfrac{6}{1{,}5}=4\]

Bjørn bruker fire ganger så mye havregryn som i oppskriften.

Steg 3 — Regn ut vannmengden

\[4\cdot 5\text{ dL}=20\text{ dL}=2\text{ L}\]

Vi gjør om fra desiliter til liter til slutt.

Tolkning

Bjørn trenger 2 liter vann for at blandingsforholdet skal bli det samme som på posen.

Vanlig feil: Å glemme å gjøre om 20 dL til 2 L. Fasit: Bjørn trenger \(2\) liter vann. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Geometri

Oppgave 1b

Oppgave:

Kari vil sette opp et gjerde langs den stiplede linjen fra punkt A til punkt B. Gjerdet selges i ferdige lengder på 1 m.

Hvor mange lengder må hun kjøpe?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne lengden av den skrå siden i en rettvinklet trekant med kateter 5 m og 6 m.

Steg 1 — Bruk Pytagoras

\[AB^2=5^2+6^2\]

Den stiplede linjen er hypotenusen.

Steg 2 — Regn ut kvadratsummen

\[AB^2=25+36=61\]

Vi summerer arealene av kvadratene på katetene.

Steg 3 — Finn lengden og rund opp

\[AB=\sqrt{61}\approx 7{,}81\text{ m}\]

Gjerder selges i hele lengder på 1 m, så Kari må runde opp.

Tolkning

Selv om gjerdet er litt under 8 m, må hun kjøpe 8 ferdige lengder.

Vanlig feil: Å runde til 7 fordi 7,81 er nærmest 8. Her må vi runde opp, ikke til nærmeste heltall. Fasit: Kari må kjøpe \(8\) lengder. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Prosent og indeks

Oppgave 1c

Oppgave:

I løpet av noen år steg Gretes lønn fra 160 kroner per time til 184 kroner per time.

1) Hvor mange prosent steg lønnen?

Konsumprisindeksen (KPI) var 100 det året Grete tjente 160 kroner per time.

2) Hva var konsumprisindeksen det året Grete tjente 184 kroner per time, dersom vi antar at hun hadde samme reallønn de to årene?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Først finner vi prosentvis lønnsøkning. Deretter bruker vi samme vekst på KPI fordi reallønnen er uendret.

Steg 1 — Finn lønnsøkningen i kroner

\[184-160=24\]

Lønnen økte med 24 kroner per time.

Steg 2 — Regn prosentvis økning

\[\dfrac{24}{160}=0{,}15=15\,\%\]

Prosentøkning regnes alltid i forhold til startverdien.

Steg 3 — Finn ny KPI ved samme reallønn

\[100\cdot 1{,}15=115\]

Hvis reallønnen er lik, må prisnivået ha økt like mye som lønnen.

Tolkning

Grete fikk 15 % høyere nominell lønn, men kjøpekraften var uendret dersom prisnivået også steg 15 %.

Vanlig feil: Å dele 24 på 184 i stedet for på 160. Fasit: 1) Lønnen steg med \(15\,\%\). 2) KPI var \(115\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d Sannsynlighet

Oppgave 1d

Oppgave:

Eva har én pakke blåbærgelé, to pakker kiwigelé, to pakker sitrongelé og tre pakker bringebærgelé.

Hun tar tilfeldig to pakker gelé.

1) Hva er sannsynligheten for at den første pakken hun tar, er kiwigelé?

2) Hva er sannsynligheten for at hun tar to pakker kiwigelé?

3) Hva er sannsynligheten for at hun tar én pakke kiwigelé og én pakke blåbærgelé?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi teller først alle pakker, og bruker sannsynlighet uten tilbakelegging.

Steg 1 — Tell alle pakkene

\[1+2+2+3=8\]

Det er 8 pakker totalt, og 2 av dem er kiwigelé.

Steg 2 — Første pakke er kiwi

\[P(\text{kiwi først})=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\]

Vi har to gunstige pakker av åtte mulige.

Steg 3 — To kiwipakker

\[P(\text{to kiwi})=\dfrac{2}{8}\cdot\dfrac{1}{7}=\dfrac{1}{28}\]

Etter første kiwipakke er det én kiwi igjen av sju pakker.

Steg 4 — Én kiwi og én blåbær

\[P=\dfrac{2}{8}\cdot\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{2}{7}=\dfrac{1}{14}\]

Kiwi kan komme først eller sist, derfor tar vi med begge rekkefølger.

Tolkning

Det er størst sannsynlighet for kiwi på første trekk, og minst for å få akkurat to kiwi.

Vanlig feil: Å regne som om pakken legges tilbake mellom trekkene. Fasit: 1) \(\dfrac{1}{4}\). 2) \(\dfrac{1}{28}\). 3) \(\dfrac{1}{14}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1e Romgeometri

Oppgave 1e

Oppgave:

En pakke melis har tilnærmet form som et rett prisme med lengde 8 cm, bredde 6 cm og høyde 16 cm.

Vil melisen få plass i en sylinderformet boks med diameter 12 cm og høyde 10 cm?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må vurdere om prismet fysisk får plass i sylinderen, ikke bare sammenlikne volum.

Steg 1 — Sjekk om pakken kan stå med høyden opp

\[16\text{ cm}>10\text{ cm}\]

Hvis 16 cm-siden står loddrett, er pakken for høy for boksen.

Steg 2 — Sjekk om 16 cm-siden kan ligge i bunnen

\[16\text{ cm}>12\text{ cm}\]

Diameteren i boksen er bare 12 cm, så en 16 cm lang side får ikke plass i bunnflaten.

Steg 3 — Volumkontroll er ikke nok

\[8\cdot 6\cdot 16=768\text{ cm}^3,\qquad \pi\cdot 6^2\cdot 10\approx 1131\text{ cm}^3\]

Boksen har større volum, men formen og målene hindrer at pakken passer.

Tolkning

Pakken får ikke plass fordi en av sidene er for lang i forhold til både høyden og diameteren i boksen.

Vanlig feil: Å svare ja bare fordi sylinderen har større volum. Fasit: Nei, melisen får ikke plass i boksen. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1f Funksjoner

Oppgave 1f

Oppgave:

Ivar plukker moreller. Den grafiske framstillingen ovenfor viser hvor mye han tjener i løpet av en time når han plukker \(x\) kg.

Forklar hvordan lønnen til Ivar blir beregnet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese startverdi og stigningstall fra grafen.

Steg 1 — Les av startverdien

Grafen går gjennom punktet \((0,50)\).

Det betyr at Ivar får 50 kroner uansett hvor mange kilogram han plukker.

Steg 2 — Les av et annet punkt

Grafen går også omtrent gjennom \((20,150)\).

Da kan vi finne hvor mye lønnen øker per kilogram.

Steg 3 — Finn stigningstallet

\[\dfrac{150-50}{20-0}=5\]

Lønnen øker med 5 kroner for hvert kilogram moreller.

Tolkning

Ivar får en fast timelønn på 50 kroner pluss 5 kroner per kilogram moreller.

Vanlig feil: Å tro at han bare får 5 kroner per kg og glemme de 50 kronene. Fasit: Lønnen beregnes som \(L(x)=50+5x\), der \(x\) er kilogram moreller. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1g Proporsjonalitet

Oppgave 1g

Oppgave:

Stian og Sondre har tegnet tre rektangler. Hvert rektangel har areal 36.

Stian påstår at lengde og bredde i alle rektangler med areal 36 er proporsjonale størrelser, mens Sondre mener at lengde og bredde er omvendt proporsjonale størrelser.

Forklar hva det betyr at to størrelser er proporsjonale, og hva det betyr at to størrelser er omvendt proporsjonale. Avgjør hvem som har rett.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare forskjellen mellom proporsjonal og omvendt proporsjonal sammenheng.

Steg 1 — Proporsjonale størrelser

To størrelser er proporsjonale når forholdet mellom dem er konstant, for eksempel \(y=kx\).

Da øker den ene når den andre øker.

Steg 2 — Omvendt proporsjonale størrelser

To størrelser er omvendt proporsjonale når produktet er konstant, for eksempel \(xy=k\).

Da minker den ene når den andre øker.

Steg 3 — Bruk arealet 36

\[\text{lengde}\cdot \text{bredde}=36\]

Produktet er konstant, derfor er sammenhengen omvendt proporsjonal.

Tolkning

Når et rektangel med areal 36 blir lengre, må bredden bli mindre.

Vanlig feil: Å bruke ordet proporsjonal bare fordi begge størrelsene hører sammen. Fasit: Sondre har rett. Lengde og bredde er omvendt proporsjonale. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1h Areal

Oppgave 1h

Oppgave:

Tegn et trapes med areal 18 cm2, der den ene av de to parallelle sidene er 2 cm lengre enn den andre. Sett mål på figuren, og vis hvordan du regner ut arealet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et trapes som oppfyller to krav: areal 18 cm 2 og parallelle sider som skiller med 2 cm.

Steg 1 — Velg de parallelle sidene

Vi kan velge sidene 4 cm og 6 cm.

Forskjellen er \(6-4=2\) cm.

Steg 2 — Finn en passende høyde

\[A=\dfrac{(4+6)\cdot h}{2}=5h\]

Formelen for arealet av et trapes bruker gjennomsnittet av de parallelle sidene.

Steg 3 — Sett arealet lik 18

\[5h=18\quad\Rightarrow\quad h=3{,}6\]

Høyden må være 3,6 cm.

Tolkning

Et trapes med parallelle sider 4 cm og 6 cm og høyde 3,6 cm har riktig areal. …