Matematikk 1P Eksamen høsten 2012 (K06) – løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen Høst 2012 – løsningsforslag

Fullstendig, trinnvis løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser digital kontroll med GeoGebra/Python der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Prosent og pris

Oppgave 1

Oppgave:

I butikk A koster et beger med 500 g druer 49,90 kroner. I butikk B koster druene 69,90 kroner per kilogram.

En dag har butikk A følgende tilbud: KJØP 3 BEGER MED DRUER, BETAL FOR 2.

Du skal kjøpe 1,5 kg druer. I hvilken butikk lønner det seg å handle?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne totalpris i to butikker for samme mengde druer.

Steg 1 — Finn antall beger i butikk A

\[1{,}5\text{ kg}=1500\text{ g}\]

Hvert beger er 500 g, altså trenger vi tre beger.

Steg 2 — Bruk tilbudet i butikk A

\[2\cdot 49{,}90=99{,}80\]

Vi kjøper tre beger, men betaler bare for to.

Steg 3 — Finn prisen i butikk B

\[1{,}5\cdot 69{,}90=104{,}85\]

Butikk B har kilopris, så vi multipliserer med 1,5 kg.

Steg 4 — Sammenlikn

\[104{,}85-99{,}80=5{,}05\]

Butikk A er billigere med 5,05 kroner.

Tolkning

For akkurat 1,5 kg druer lønner tilbudet i butikk A seg.

Vanlig feil: Å glemme at tilbudet gjelder tre beger, men betaling for bare to. Fasit: Butikk A lønner seg. Prisen er \(99{,}80\) kroner, som er \(5{,}05\) kroner mindre enn i butikk B. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Prosent

Oppgave 2

Oppgave:

Tidligere kostet en vare 50 kroner. Nå koster varen 90 kroner.

Hvor mange prosent har prisen økt med?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne prosentvis økning fra gammel pris til ny pris.

Steg 1 — Finn prisøkningen

\[90-50=40\]

Økningen er 40 kroner.

Steg 2 — Del på gammel pris

\[\dfrac{40}{50}=0{,}80\]

Prosentøkning må alltid regnes ut fra den gamle verdien.

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[0{,}80\cdot 100\,\%=80\,\%\]

Desimaltallet 0,80 tilsvarer 80 prosent.

Tolkning

Prisen har økt med 80 prosent av den opprinnelige prisen.

Vanlig feil: Å dele på 90 i stedet for 50. Fasit: Prisen har økt med \(80\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Omvendt proporsjonalitet

Oppgave 3a

Oppgave:

Noen elever skal leie en hytte. Prisen per elev er omvendt proporsjonal med antall elever som blir med på hytteturen.

Antall elever	5	10
Pris per elev (kroner)	600		100

Tegn av tabellen ovenfor i besvarelsen din, gjør beregninger og fyll inn tallene som mangler.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Når pris per elev er omvendt proporsjonal med antall elever, er totalprisen konstant.

Steg 1 — Finn totalprisen fra første kolonne

\[5\cdot 600=3000\]

Fem elever betaler 600 kroner hver.

Steg 2 — Finn pris per elev når det er 10 elever

\[\dfrac{3000}{10}=300\]

Totalprisen deles på 10 elever.

Steg 3 — Finn antall elever når prisen er 100 kroner

\[\dfrac{3000}{100}=30\]

Når hver elev betaler mindre, må flere elever være med.

Tolkning

Tabellen viser at produktet av antall elever og pris per elev hele tiden er 3000.

Vanlig feil: Å tro at sammenhengen er proporsjonal i stedet for omvendt proporsjonal.

Antall elever	5	10	30
Pris per elev (kroner)	600	300	100

Fasit: De manglende tallene er \(300\) kroner og \(30\) elever. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Omvendt proporsjonalitet

Oppgave 3b

Oppgave:

Hvor mye koster det å leie hytten?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne den faste totalprisen for hytten.

Steg 1 — Bruk en kjent kolonne

\[5\cdot 600=3000\]

Fem elever betaler 600 kroner hver.

Steg 2 — Kontroller med en annen kolonne

\[10\cdot 300=3000\]

Dette bekrefter at totalprisen er den samme.

Tolkning

Hytten koster 3000 kroner uansett hvordan prisen deles mellom elevene.

Vanlig feil: Å svare med pris per elev i stedet for totalpris. Fasit: Det koster \(3000\) kroner å leie hytten. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Måling og enheter

Oppgave 4

Oppgave:

Skriv av, gjør beregninger, og sett inn tallene som mangler i hver av linjene:

20 L = _____ m3

4,4 h = 4 h og _____ min

200 m/s = _____ km/h

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre tre enhetsomregninger.

Steg 1 — Liter til kubikkmeter

\[20\text{ L}=20\cdot 0{,}001\text{ m}^3=0{,}020\text{ m}^3\]

Én liter er \(0{,}001\text{ m}^3\).

Steg 2 — Desimaltimer til minutter

\[0{,}4\text{ h}=0{,}4\cdot 60\text{ min}=24\text{ min}\]

Det er 60 minutter i én time.

Steg 3 — Meter per sekund til kilometer per time

\[200\text{ m/s}=200\cdot 3{,}6\text{ km/h}=720\text{ km/h}\]

Vi multipliserer med 3,6 når vi går fra m/s til km/h.

Tolkning

Alle tre svarene beskriver samme størrelse, bare med andre enheter.

Vanlig feil: Å skrive \(0{,}02\) m i stedet for \(0{,}020\text{ m}^3\). Fasit: \(20\text{ L}=0{,}020\text{ m}^3\), \(4{,}4\text{ h}=4\text{ h og }24\text{ min}\), og \(200\text{ m/s}=720\text{ km/h}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5 Prosentpoeng og prosent

Oppgave 5

Oppgave:

Ved forrige valg fikk et parti 40 % av stemmene i en kommune. Partiet har etter valget økt oppslutningen med to prosentpoeng ifølge en meningsmåling.

Hvor mange prosent har økningen vært på?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skille mellom prosentpoeng og prosentvis økning.

Steg 1 — Finn ny oppslutning

\[40\,\%+2\text{ prosentpoeng}=42\,\%\]

Prosentpoeng legges direkte til prosenttallet.

Steg 2 — Finn økningen i forhold til startverdien

\[\dfrac{2}{40}=0{,}05\]

Den faktiske økningen sammenliknes med 40 prosent.

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[0{,}05\cdot 100\,\%=5\,\%\]

To prosentpoeng av 40 prosent er fem prosent.

Tolkning

Oppslutningen steg fra 40 % til 42 %, men den relative økningen var 5 %.

Vanlig feil: Å svare 2 % når oppgaven spør om prosentvis økning. Fasit: Økningen har vært \(5\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 6 Økonomi og indeks

Oppgave 6

Oppgave:

Eli hadde en nominell lønn på 500 000 kroner i basisåret. Et annet år var konsumprisindeksen 120.

Hvor mye måtte Eli ha tjent dette året dersom hun skulle hatt samme kjøpekraft som i basisåret?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal justere lønnen etter konsumprisindeksen.

Steg 1 — Tolk indeksen

\[120=120\,\%\text{ av basisåret}\]

Basisåret har indeks 100.

Steg 2 — Multipliser med indeksfaktoren

\[500000\cdot \dfrac{120}{100}=600000\]

Samme kjøpekraft krever at lønnen følger prisnivået.

Steg 3 — Kontroller økningen

\[600000-500000=100000\]

Dette er en økning på 20 %, som passer med indeks 120.

Tolkning

Eli måtte ha tjent mer nominelt for å kunne kjøpe like mye som i basisåret.

Vanlig feil: Å legge til 120 % i stedet for å multiplisere med \(1{,}20\). Fasit: Eli måtte ha tjent \(600000\) kroner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 7a Sannsynlighet

Oppgave 7a

Oppgave:

I klasse 1A er det 25 elever. 12 av elevene har valgt internasjonal engelsk neste skoleår. 14 av elevene har valgt sosialkunnskap. 4 elever har verken valgt internasjonal engelsk eller sosialkunnskap.

Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal organisere overlappet mellom to fagvalg.

Steg 1 — Finn hvor mange som har valgt minst ett av fagene

\[25-4=21\]

Fire elever har ingen av fagene.

Steg 2 — Finn overlappet

\[12+14-21=5\]

De fem elevene er telt dobbelt når vi legger sammen 12 og 14.

Steg 3 — Finn bare ett fag

\[12-5=7\qquad 14-5=9\]

Det er 7 med bare internasjonal engelsk og 9 med bare sosialkunnskap.

Tolkning

Tabellen viser alle 25 elevene én gang.

Vanlig feil: Å glemme de fire som ikke har valgt noen av fagene.

	Sosialkunnskap	Ikke sosialkunnskap	Sum
Internasjonal engelsk	5	7	12
Ikke internasjonal engelsk	9	4	13
Sum	14	11	25

Fasit: Krysstabellen er \(5\), \(7\), \(9\), \(4\) i de fire indre rutene. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 7b Sannsynlighet

Oppgave 7b

Oppgave:

Vi velger tilfeldig en elev fra klassen. Bestem sannsynligheten for at eleven har valgt både internasjonal engelsk og sosialkunnskap. …