Matematikk 1P Eksamen våren 2012 (K06) – løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen Vår 2012 – løsningsforslag

Fullstendig, trinnvis løsning på hele settet. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser regning med digitale kontroller der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Overslag, prosent, geometri, sannsynlighet, indeks, formelregning og perspektivtegning.

Del 1 · Oppgave 1a Overslag og pris

Oppgave 1a

Oppgave:

Hanna vil kjøpe 6 flasker vann og 2,5 kg druer. Prisene er 14,90 kroner per flaske vann og 48,20 kroner per kilogram druer. Gjør overslag og finn ut omtrent hvor mye hun må betale.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre et overslag, altså runde tallene til enkle tall før vi regner.

Steg 1 — Rund prisene

\[14{,}90 \approx 15 \quad \text{og} \quad 48{,}20 \approx 50\]

Vi runder til tall som er lette å regne med.

Steg 2 — Regn vannet

\[6 \cdot 15=90\]

Hun kjøper 6 flasker, derfor ganger vi pris per flaske med 6.

Steg 3 — Regn druene

\[2{,}5 \cdot 50=125\]

Hun kjøper 2,5 kg, derfor ganger vi pris per kilogram med 2,5.

Steg 4 — Legg sammen

\[90+125=215\]

Totalprisen er summen av vann og druer.

Tolkning

Hanna må betale omtrent 215 kroner.

Vanlig feil: Å regne med nøyaktige tall når oppgaven ber om overslag. Fasit: \(\text{omtrent }215\text{ kroner}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Geometri

Oppgave 1b

Oppgave:

Gjør beregninger og finn ut hvilken av trekantene ovenfor som har størst omkrets. Den venstre trekanten har side \(3\) og to vinkler på \(60^\circ\). Den høyre trekanten er rettvinklet, med én katet \(2\) og hypotenus \(4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne omkretsen til begge trekantene og sammenlikne.

Steg 1 — Venstre trekant

\[\text{Alle vinklene er }60^\circ\text{, så trekanten er likesidet.}\]

Når to vinkler er 60 grader, er også den tredje 60 grader.

Steg 2 — Omkrets venstre trekant

\[O_1=3+3+3=9\]

En likesidet trekant har tre like lange sider.

Steg 3 — Finn manglende katet i høyre trekant

\[x^2+2^2=4^2 \Rightarrow x^2=12 \Rightarrow x=\sqrt{12}\approx 3{,}46\]

Vi bruker Pytagoras fordi trekanten er rettvinklet.

Steg 4 — Omkrets høyre trekant

\[O_2=2+4+\sqrt{12}\approx 9{,}46\]

Omkretsen er summen av de tre sidene.

Tolkning

Den høyre trekanten har størst omkrets, men forskjellen er liten.

Vanlig feil: Å anta at den høyre trekanten har sider 2, 4 og 4. Fasit: Den høyre trekanten har størst omkrets, ca. \(9{,}46\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Prosent

Oppgave 1c

Oppgave:

Prisliste: Dameklipp koster 640 kroner. Herreklipp koster 400 kroner. Hvor mange prosent dyrere er en dameklipp sammenliknet med en herreklipp?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne prosentvis økning fra herreklipp til dameklipp.

Steg 1 — Finn prisforskjellen

\[640-400=240\]

Vi sammenlikner hvor mye dyrere dameklippen er i kroner.

Steg 2 — Del på sammenlikningsgrunnlaget

\[\dfrac{240}{400}=0{,}60\]

Herreklipp er grunnlaget, fordi det står sammenliknet med herreklipp.

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[0{,}60=60\,\%\]

Vi ganger desimaltallet med 100 for å få prosent.

Tolkning

Dameklipp er 60 prosent dyrere enn herreklipp.

Vanlig feil: Å dele på 640 i stedet for 400. Fasit: \(60\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d Prosent og vekstfaktor

Oppgave 1d

Oppgave:

En bil koster 250 000 kroner. Bilens verdi avtar med 15 % per år. Forklar hvilket av regnestykkene nedenfor som kan brukes for å finne hvor mye bilen er verd etter 10 år: 1) \(250000-10\cdot\dfrac{250000\cdot 15}{100}\), 2) \(250000\cdot 0{,}15^{10}\), 3) \(250000\cdot 0{,}85^{10}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig regnestykke for gjentatt prosentvis nedgang.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

\[1-0{,}15=0{,}85\]

Når verdien minker med 15 %, står 85 % igjen hvert år.

Steg 2 — Bruk gjentatt prosentendring

\[250000\cdot 0{,}85^{10}\]

Ti år betyr at vekstfaktoren brukes ti ganger.

Steg 3 — Vurder alternativene

Alternativ 1 trekker fra samme beløp hvert år, og alternativ 2 bruker bare 15 % som om bilen beholder 15 %. Alternativ 3 er riktig.

Tolkning

Bilen mister 15 % av den verdien den har ved starten av hvert år, ikke 15 % av startverdien hvert år.

Vanlig feil: Å bruke \(0{,}15\) i stedet for \(0{,}85\). Fasit: Regnestykke 3: \(250000\cdot 0{,}85^{10}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1e Indeks

Oppgave 1e

Oppgave:

I februar 2009 var kroneverdien 0,8. En vare kostet 100 kroner i basisåret. Hvor mye svarte dette til i februar 2009?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke kroneverdien til å finne tilsvarende pris i februar 2009.

Steg 1 — Sett opp sammenhengen

\[\text{pris i 2009}\cdot 0{,}8=100\]

Kroneverdien 0,8 betyr at én krone i 2009 er verd 0,8 basiskroner.

Steg 2 — Løs likningen

\[\text{pris i 2009}=\dfrac{100}{0{,}8}=125\]

Vi deler på 0,8 for å finne beløpet i 2009-kroner.

Tolkning

Det som kostet 100 kroner i basisåret, tilsvarer 125 kroner i februar 2009.

Vanlig feil: Å gange med 0,8 og få 80 kroner. Fasit: \(125\) kroner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1f Omvendt proporsjonalitet

Oppgave 1f

Oppgave:

Simen skal lage tre sylindre. Høyde og diameter i sylindrene skal være omvendt proporsjonale størrelser. Han starter med en sylinder som er 24 cm høy og har en diameter på 10 cm. Den andre sylinderen skal være 6 cm høy og den tredje skal være 12 cm høy. Hvor stor diameter skal hver av disse to sylindrene ha?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at produktet av høyde og diameter er konstant.

Steg 1 — Finn konstanten

\[24\cdot 10=240\]

Ved omvendt proporsjonalitet er \(h\cdot d\) konstant.

Steg 2 — Diameter når høyden er 6 cm

\[6\cdot d=240 \Rightarrow d=40\]

Lavere høyde gir større diameter.

Steg 3 — Diameter når høyden er 12 cm

\[12\cdot d=240 \Rightarrow d=20\]

Her er høyden halvparten av 24 cm, derfor blir diameteren dobbelt så stor som 10 cm.

Tolkning

Sylindrene får diameter 40 cm og 20 cm.

Vanlig feil: Å behandle størrelsene som proporsjonale i stedet for omvendt proporsjonale. Fasit: \(40\) cm og \(20\) cm. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1g Sannsynlighet

Oppgave 1g

Oppgave:

Hva er mest sannsynlig å få? En sekser når du kaster én terning, eller to like når du kaster to terninger?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne to sannsynligheter.

Steg 1 — Sannsynlighet for én sekser

\[P(\text{sekser})=\dfrac{1}{6}\]

Det er ett gunstig utfall av seks mulige.

Steg 2 — Sannsynlighet for to like

\[P(\text{to like})=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\]

Det finnes 36 mulige par, og 6 av dem er like.

Steg 3 — Sammenlikn

\[\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{6}\]

Sannsynlighetene er like store.

Tolkning

Ingen av hendelsene er mer sannsynlig enn den andre. …