Matematikk 1P Eksamen høsten 2019 (K06) – løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen høst 2019 – løsningsforslag

Fullstendig, trinnvis løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser relevante digitale kontroller, regnearkoppsett, GeoGebra/CAS og Python med tydelig utskrift.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Målestokk

Oppgave 1

Oppgave:

Mjøstårnet i Brumunddal er verdens høyeste trebygning. Tårnet er 85,4 m høyt. På Gardermoen var det utstilt en modell av tårnet i målestokk \(1:20\). Hvor høy var denne modellen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke målestokken til å finne modellhøyden. Målestokk \(1:20\) betyr at modellen er \(20\) ganger mindre enn virkeligheten.

Steg 1 — Del virkelig høyde på målestokkstallet

\[ 85{,}4:20=4{,}27 \]

Vi deler fordi modellen er mindre enn tårnet.

Steg 2 — Skriv med passende enhet

\[ 4{,}27\text{ m}=427\text{ cm} \]

Begge enheter kan være nyttige når vi beskriver en modell.

Tolkning

Modellen var litt over fire meter høy, altså en stor utstillingsmodell.

Vanlig feil: Å gange med 20 i stedet for å dele på 20. Fasit: \(4{,}27\text{ m}\), altså \(427\text{ cm}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Prosentpoeng

Oppgave 2a

Oppgave:

Tabellen nedenfor viser konsumprisindeksen (KPI) for årene 2015–2018: 2015: 100, 2016: 103,6, 2017: 105,5, 2018: 108,4. a) Hvor mange prosentpoeng økte konsumprisindeksen med fra 2017 til 2018? I 2016 hadde Marianne en reallønn på 1 000 000 kroner. b) Hvor mye måtte Marianne hatt i nominell lønn i 2018 dersom hun skulle hatt samme kjøpekraft som i 2016?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne økningen i KPI målt i prosentpoeng. Da trekker vi indeksverdiene direkte fra hverandre.

Steg 1 — Finn forskjellen i KPI

\[ 108{,}4-105{,}5=2{,}9 \]

Prosentpoeng er forskjell mellom to prosent- eller indeksverdier.

Steg 2 — Bruk riktig benevning

\[ 2{,}9\text{ prosentpoeng} \]

Her skal vi ikke dele på startverdien, fordi spørsmålet sier prosentpoeng.

Tolkning

KPI steg med 2,9 indeks-/prosentpoeng fra 2017 til 2018.

Vanlig feil: Å svare med prosentvis vekst når oppgaven spør etter prosentpoeng. Fasit: \(2{,}9\) prosentpoeng. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Indeks og reallønn

Oppgave 2b

Oppgave:

Tabellen nedenfor viser konsumprisindeksen (KPI) for årene 2015–2018: 2015: 100, 2016: 103,6, 2017: 105,5, 2018: 108,4. a) Hvor mange prosentpoeng økte konsumprisindeksen med fra 2017 til 2018? I 2016 hadde Marianne en reallønn på 1 000 000 kroner. b) Hvor mye måtte Marianne hatt i nominell lønn i 2018 dersom hun skulle hatt samme kjøpekraft som i 2016?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Marianne skal ha samme kjøpekraft i 2018 som hun hadde med \(1\,000\,000\) kroner i 2016. Vi justerer lønnen med forholdet mellom KPI i 2018 og KPI i 2016.

Steg 1 — Sett opp indeksforholdet

\[ \dfrac{108{,}4}{103{,}6} \]

KPI-forholdet viser hvor mye prisnivået har endret seg.

Steg 2 — Regn nominell lønn

\[ 1\,000\,000\cdot \dfrac{108{,}4}{103{,}6}\approx 1\,046\,332 \]

Vi ganger reallønnen med prisveksten.

Steg 3 — Rund av til hele kroner

\[ 1\,046\,332\text{ kroner} \]

Lønn oppgis naturlig i hele kroner.

Tolkning

Hun måtte hatt omtrent 1,046 millioner kroner i nominell lønn i 2018 for å ha samme kjøpekraft som i 2016.

Vanlig feil: Å bruke KPI fra 2017 i stedet for 2016 som sammenlikningsår. Fasit: Omtrent \(1\,046\,332\) kroner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Sannsynlighet og prosent

Oppgave 3

Oppgave:

I en eske ligger det røde, grønne og gule kuler. Du tar tilfeldig en kule fra esken. Sannsynligheten for at den er rød, er lik \(\dfrac{3}{5}\), og sannsynligheten for at den er grønn, er lik \(0{,}1\). Hvor mange prosent av kulene i esken er gule?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne resten når røde og grønne kuler er trukket fra hele mengden.

Steg 1 — Gjør om rød sannsynlighet til prosent

\[ \dfrac{3}{5}=0{,}6=60\,\% \]

Det gjør det lettere å sammenlikne med grønn andel.

Steg 2 — Skriv grønn sannsynlighet i prosent

\[ 0{,}1=10\,\% \]

Desimaltallet 0,1 betyr ti hundredeler.

Steg 3 — Finn gul andel

\[ 100\,\%-60\,\%-10\,\%=30\,\% \]

Alle tre fargene må til sammen bli 100 prosent.

Tolkning

30 prosent av kulene i esken er gule.

Vanlig feil: Å legge sammen brøk og desimaltall uten å gjøre dem om til samme form. Fasit: \(30\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Formlikhet og areal

Oppgave 4

Oppgave:

To rektangler er formlike. Det minste rektangelet har et areal på \(24\text{ cm}^2\). Forholdet mellom arealene av rektanglene er \(\dfrac{9}{4}\). Gjør beregninger, og lag en skisse som viser hvordan rektanglene kan se ut. Sett mål på skissen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et mulig stort rektangel som er formlikt med et lite rektangel med areal \(24\text{ cm}^2\). Arealforholdet \(\dfrac{9}{4}\) gir lengdeforholdet \(\dfrac{3}{2}\).

Et mulig svar: lite rektangel 4 cm × 6 cm og stort rektangel 6 cm × 9 cm.

Steg 1 — Finn arealet av det store rektangelet

\[ 24\cdot \dfrac{9}{4}=54 \]

Det store arealet er \(\dfrac{9}{4}\) av det lille.

Steg 2 — Finn lengdeforholdet

\[ \sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2} \]

Areal skaleres med kvadratet av lengdeforholdet.

Steg 3 — Velg mål som passer

\[ 4\cdot 6=24\quad \text{og}\quad 6\cdot 9=54 \]

Et lite rektangel på 4 cm × 6 cm blir forstørret med faktoren \(\dfrac{3}{2}\).

Tolkning

Skissen viser ett mulig svar. Andre mål kan også være riktige dersom arealene og forholdet stemmer.

Vanlig feil: Å bruke arealforholdet \(\dfrac{9}{4}\) direkte som lengdeforhold. Fasit: Et mulig svar er lite rektangel \(4\text{ cm}\times 6\text{ cm}\) og stort rektangel \(6\text{ cm}\times 9\text{ cm}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5a Lineær modell

Oppgave 5a

Oppgave:

Strømmen til en fryseboks blir slått av. Formelen \(T=0{,}25t-18\) kan brukes for å beregne temperaturen \(T\) grader celsius i fryseboksen når strømmen har vært slått av i \(t\) timer. a) Bestem temperaturen i fryseboksen når strømmen har vært slått av i 24 timer. b) Hvor lenge har strømmen vært slått av når temperaturen i fryseboksen er \(0\,^{\circ}\text{C}\)? c) Gi en praktisk tolkning av tallene \(0{,}25\) og \(-18\) i formelen ovenfor.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette \(t=24\) inn i formelen.

Steg 1 — Sett inn tiden

\[ T=0{,}25\cdot 24-18 \]

Tallet \(24\) er antall timer strømmen har vært av.

Steg 2 — Regn ut

\[ T=6-18=-12 \]

Vi regner først multiplikasjonen og deretter trekker fra 18.

Tolkning

Etter 24 timer er temperaturen fortsatt under frysepunktet.

Vanlig feil: Å glemme at \(-18\) er et negativt tall. Fasit: \(-12\,^{\circ}\text{C}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5b Lineær likning

Oppgave 5b

Oppgave:

Strømmen til en fryseboks blir slått av. Formelen \(T=0{,}25t-18\) kan brukes for å beregne temperaturen \(T\) grader celsius i fryseboksen når strømmen har vært slått av i \(t\) timer. a) Bestem temperaturen i fryseboksen når strømmen har vært slått av i 24 timer. b) Hvor lenge har strømmen vært slått av når temperaturen i fryseboksen er \(0\,^{\circ}\text{C}\)? c) Gi en praktisk tolkning av tallene \(0{,}25\) og \(-18\) i formelen ovenfor.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Temperaturen er \(0\,^{\circ}\text{C}\), så vi setter \(T=0\) og løser for \(t\).

Steg 1 — Sett temperaturen lik null

\[ 0=0{,}25t-18 \]

Dette er tidspunktet der fryseboksen når null grader.

Steg 2 — Flytt \(-18\) over

\[ 18=0{,}25t \]

Vi legger til 18 på begge sider.

Steg 3 — Del på \(0{,}25\)

\[ t=\dfrac{18}{0{,}25}=72 \]

Vi deler for å finne antall timer.

Tolkning

Strømmen har vært slått av i 72 timer når temperaturen blir \(0\,^{\circ}\text{C}\).

Vanlig feil: Å dele 0,25 på 18 i stedet for 18 på 0,25. Fasit: \(72\) timer. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5c Modelltolkning

Oppgave 5c

Oppgave:

Strømmen til en fryseboks blir slått av. Formelen \(T=0{,}25t-18\) kan brukes for å beregne temperaturen \(T\) grader celsius i fryseboksen når strømmen har vært slått av i \(t\) timer. a) Bestem temperaturen i fryseboksen når strømmen har vært slått av i 24 timer. b) Hvor lenge har strømmen vært slått av når temperaturen i fryseboksen er \(0\,^{\circ}\text{C}\)? c) Gi en praktisk tolkning av tallene \(0{,}25\) og \(-18\) i formelen ovenfor.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hva konstantleddet og stigningstallet betyr i situasjonen.

Steg 1 — Tolk \(0{,}25\)

\[ 0{,}25\,^{\circ}\text{C per time} \]

Temperaturen øker med 0,25 grader for hver time strømmen er av.

Steg 2 — Tolk \(-18\)

\[ T(0)=-18 \]

Når \(t=0\), er temperaturen \(-18\,^{\circ}\text{C}\).

Tolkning

Modellen sier at fryseboksen starter på \(-18\,^{\circ}\text{C}\), og at temperaturen deretter stiger jevnt. …