Matematikk 1P Eksamen våren 2019 (K06) – løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen Vår 2019 – løsningsforslag

Fullstendig, trinnvis løsning på hele settet. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser graftegner, regnearkoppsett, GeoGebra CAS og Python-kontroll der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Prosent

Oppgave 1a

Oppgave:

En bilforretning har laget et diagram som viser hvor mange biler de har solgt de fire siste årene. Det har kommet noen flekker på diagrammet. a) Fra 2015 til 2016 økte salget med 15 %. Hvor mange biler solgte forretningen i 2016?

Vis løsning Stolpene viser 200, 230, 240 og 204 solgte biler.

Hva spør oppgaven om? Vi skal øke 200 biler med 15 %.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

\[ 1+0{,}15=1{,}15 \]

En økning på 15 % betyr at vi beholder 100 % og legger til 15 %.

Steg 2 — Regn ut antallet

\[ 200\cdot 1{,}15=230 \]

Vi ganger antallet i 2015 med vekstfaktoren.

Steg 3 — Kontroller mot diagrammet

230 passer med høyden på stolpen for 2016.

Tolkning

Forretningen solgte 230 biler i 2016.

Vanlig feil: Å regne bare 15 % av 200 og glemme å legge til de 200 bilene. Fasit: \(230\) biler. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Prosentvis nedgang

Oppgave 1b

Oppgave:

b) Hvor mange prosent gikk bilsalget ned med fra 2017 til 2018?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne prosentvis nedgang fra 240 til 204.

Steg 1 — Finn nedgangen

\[ 240-204=36 \]

Vi finner hvor mange færre biler som ble solgt.

Steg 2 — Del på startverdien

\[ \dfrac{36}{240}=0{,}15 \]

Prosentvis endring må sammenliknes med verdien i 2017.

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[ 0{,}15=15\,\% \]

Vi ganger med 100 for å få prosent.

Tolkning

Bilsalget gikk ned med 15 % fra 2017 til 2018.

Vanlig feil: Å dele på 204 i stedet for 240. Startverdien er 2017-tallet. Fasit: \(15\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Prosent bakover

Oppgave 1c

Oppgave:

c) Fra 2014 til 2015 gikk bilsalget ned med 20 %. Hvor mange biler solgte forretningen i 2014?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kjenner verdien etter en nedgang og skal finne verdien før nedgangen.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren for nedgang

\[ 1-0{,}20=0{,}80 \]

Etter 20 % nedgang står 80 % igjen.

Steg 2 — Sett opp likning

\[ 0{,}80\cdot x=200 \]

La \(x\) være antall biler i 2014.

Steg 3 — Løs likningen

\[ x=\dfrac{200}{0{,}80}=250 \]

Vi deler på 0,80 for å gå bakover.

Tolkning

Forretningen solgte 250 biler i 2014.

Vanlig feil: Å trekke 20 % fra 200. Da går du én nedgang videre, ikke tilbake til 2014. Fasit: \(250\) biler. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Konsumprisindeks

Oppgave 2

Oppgave:

Et år hadde Andreas en nominell lønn på 550 000 kroner. Reallønnen hans var da 500 000 kroner. Bestem konsumprisindeksen dette året.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne indeksen som gir reallønnen når nominell lønn er 550 000 kroner.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

\[ \text{reallønn}=\dfrac{\text{nominell lønn}}{\text{KPI}}\cdot 100 \]

KPI viser prisnivået relativt til basisåret.

Steg 2 — Sett inn tall

\[ 500000=\dfrac{550000}{\text{KPI}}\cdot 100 \]

Vi bruker de to lønnsverdiene som er gitt.

Steg 3 — Løs for KPI

\[ \text{KPI}=\dfrac{550000\cdot 100}{500000}=110 \]

Vi isolerer indeksen.

Tolkning

Konsumprisindeksen var 110 dette året.

Vanlig feil: Å svare 90 eller 10 fordi lønnen er 10 % høyere. KPI-en skal ha basis 100. Fasit: Konsumprisindeksen var \(110\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Volum

Oppgave 3a

Oppgave:

En kloss har form som et rett, trekantet prisme. \(AB=16{,}0\) cm, \(EF=6{,}0\) cm og \(BC=12{,}0\) cm. E er midtpunkt på AB og \(\angle BEF=90^\circ\). Se skissen ovenfor. a) Bestem volumet av klossen.

Vis løsning Grunnflaten er en trekant med grunnlinje 16 cm og høyde 6 cm. Prismelengden er 12 cm.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne volumet av et rett trekantet prisme.

Steg 1 — Finn arealet av trekantgrunnflaten

\[ A=\dfrac{16{,}0\cdot 6{,}0}{2}=48 \]

Trekanten har grunnlinje 16 cm og høyde 6 cm.

Steg 2 — Bruk prismelengden

\[ V=A\cdot 12{,}0 \]

Volum av prisme er grunnflate ganger lengde.

Steg 3 — Regn ut

\[ V=48\cdot 12=576 \]

Enheten blir kubikkcentimeter.

Tolkning

Klossen har volum 576 cm³.

Vanlig feil: Å glemme å dele trekantarealet på 2. Fasit: \(576\text{ cm}^3\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Overflateareal

Oppgave 3b

Oppgave:

b) Bestem overflatearealet av klossen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne samlet areal av alle flatene på prismet.

Steg 1 — Finn trekantsidene

\[ AE=BE=8,\quad AF=BF=\sqrt{8^2+6^2}=10 \]

E er midtpunkt, og Pytagoras gir de skrå sidene.

Steg 2 — Finn areal av to trekantflater

\[ 2\cdot 48=96 \]

Prismet har to like trekantflater.

Steg 3 — Finn areal av tre sideflater

\[ 12\cdot(16+10+10)=432 \]

Sideflatene har bredder lik trekantens omkrets og lengde 12 cm.

Steg 4 — Legg sammen

\[ 96+432=528 \]

Dette er hele overflatearealet.

Tolkning

Klossens overflateareal er 528 cm².

Vanlig feil: Å bare regne sideflatene og glemme de to trekantflatene. Fasit: \(528\text{ cm}^2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Forhold

Oppgave 4

Oppgave:

Et flytende rengjøringsmiddel skal blandes med vann i forholdet \(2:5\). Du skal lage 10,5 L ferdig blanding. Hvor mye rengjøringsmiddel og hvor mye vann trenger du?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal dele 10,5 L i forholdet 2 til 5.

Steg 1 — Finn totalt antall deler

\[ 2+5=7 \]

Hele blandingen består av 7 like deler.

Steg 2 — Finn én del

\[ 10{,}5:7=1{,}5 \]

Én del er 1,5 L.

Steg 3 — Finn mengdene

\[ 2\cdot 1{,}5=3{,}0,\quad 5\cdot 1{,}5=7{,}5 \]

Vi ganger én del med antall deler.

Tolkning

Du trenger 3,0 L rengjøringsmiddel og 7,5 L vann.

Vanlig feil: Å tolke 2:5 som 2 L og 5 L direkte, uten å skalere til 10,5 L. Fasit: \(3{,}0\) L rengjøringsmiddel og \(7{,}5\) L vann. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5a Lineær sammenheng

Oppgave 5a

Oppgave:

I Norge måler vi temperatur i grader celsius (\(^\circ\text{C}\)). I USA måles temperatur i grader fahrenheit (\(^\circ\text{F}\)). I tabellen nedenfor ser du sammenhengen mellom grader celsius og grader fahrenheit. a) Tegn et koordinatsystem med grader celsius langs x-aksen og grader fahrenheit langs y-aksen. Marker verdiene fra tabellen som punkter i koordinatsystemet, og tegn en rett linje som går gjennom punktene.

Vis løsning Punktene ligger på en rett linje. Celsius og fahrenheit er like ved \(-40\).

Grader celsius	\(-50\)	\(-30\)	\(0\)	\(10\)
Grader fahrenheit	\(-58\)	\(-22\)	\(32\)	\(50\)

Hva spør oppgaven om? Vi skal plassere punktene fra tabellen og trekke linjen gjennom dem.

Steg 1 — Lag punktene

\[ (-50,-58),\;(-30,-22),\;(0,32),\;(10,50) \]

Celsius er \(x\)-verdi, fahrenheit er \(y\)-verdi.

Steg 2 — Marker punktene

Alle punktene legges inn i koordinatsystemet.

Steg 3 — Tegn linjen

Punktene ligger på en rett linje, så vi trekker en rett linje gjennom dem.

Tolkning

Sammenhengen er lineær.

Vanlig feil: Å bytte akser slik at fahrenheit havner på \(x\)-aksen. Fasit: Punktene ligger på en rett linje. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5b Proporsjonalitet

Oppgave 5b

Oppgave:

b) Er antall grader celsius proporsjonalt med antall grader fahrenheit? Begrunn svaret ditt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre om sammenhengen er proporsjonal.

Steg 1 — Sjekk nullpunktet

\[ 0^\circ\text{C}=32^\circ\text{F} \]

I en proporsjonal sammenheng må \(x=0\) gi \(y=0\).

Steg 2 — Vurder grafen

Linjen går ikke gjennom origo.

Steg 3 — Konkluder

Sammenhengen er lineær, men ikke proporsjonal.

Tolkning

Fahrenheit og celsius er ikke proporsjonale størrelser.

Vanlig feil: Å tro at alle rette linjer er proporsjonale. Proporsjonale grafer må gå gjennom origo. Fasit: Nei, sammenhengen er ikke proporsjonal. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5c Likning

Oppgave 5c

Oppgave:

c) Hvor kaldt må det være ute for at de to gradestokkene skal vise samme verdi?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne temperaturen der celsiusverdien og fahrenheitverdien er like.

Steg 1 — Bruk formelen

\[ F=1{,}8C+32 \]

Dette er sammenhengen mellom skalaene.

Steg 2 — Sett \(F=C\)

\[ C=1{,}8C+32 \]

Gradestokkene skal vise samme tall.

Steg 3 — Løs likningen

\[ -0{,}8C=32\Rightarrow C=-40 \]

Vi flytter \(1{,}8C\) over på venstre side.

Tolkning

Begge gradestokkene viser samme verdi ved \(-40^\circ\). …