Matematikk 1P Eksamen høsten 2016 (K06) – løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen Høst 2016 – løsningsforslag

Fullstendig, trinnvis løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser bruk av graftegner, regneark, GeoGebra CAS og Python der det er relevant.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Brøk og praktisk regning

Oppgave 1

Oppgave:

Tenk deg at du har et spann med 8 L maling. Du vil helle malingen over i mindre bokser. I hver boks er det plass til \(\dfrac{2}{3}\) L. Hvor mange bokser trenger du?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor mange små bokser som trengs når hver boks rommer \(\dfrac{2}{3}\) L.

Steg 1 — Del total mengde på mengde per boks

\[ 8:\dfrac{2}{3} \]

Antall bokser er total mengde delt på volum per boks.

Steg 2 — Regn med omvendt brøk

\[ 8\cdot\dfrac{3}{2}=12 \]

Å dele på en brøk er det samme som å gange med den omvendte brøken.

Steg 3 — Kontroller

\[ 12\cdot\dfrac{2}{3}=8 \]

Tolv bokser rommer akkurat 8 L.

Tolkning

Du trenger 12 bokser for å få plass til all malingen.

Vanlig feil: Å gange \(8\) med \(\dfrac{2}{3}\) i stedet for å dele på \(\dfrac{2}{3}\). Fasit: \(12\) bokser. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Målestokk

Oppgave 2

Oppgave:

På et kart er en avstand 5,0 cm. I virkeligheten er den samme avstanden 1,5 km. Bestem målestokken til kartet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive forholdet mellom avstand på kart og avstand i virkeligheten.

Steg 1 — Gjør om til samme enhet

\[ 1{,}5\text{ km}=150000\text{ cm} \]

Målestokk må sammenlikne samme enhet.

Steg 2 — Sett opp forholdet

\[ 5{,}0:150000 \]

Dette er kartavstand mot virkelig avstand.

Steg 3 — Forkort

\[ 1:30000 \]

Vi deler begge sider på 5,0.

Tolkning

Målestokken betyr at 1 cm på kartet svarer til 30 000 cm i virkeligheten.

Vanlig feil: Å sammenlikne cm og km direkte uten å gjøre om enheter. Fasit: \(1:30000\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Forhold

Oppgave 3

Oppgave:

I en kasse ligger det fotballer og basketballer. Forholdet mellom antall fotballer og antall basketballer er \(2:5\). Det ligger 6 fotballer i kassen. Hvor mange baller ligger det til sammen i kassen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke forholdet \(2:5\) til å finne antall basketballer og totalen.

Steg 1 — Finn skaleringsfaktoren

\[ 2\text{ deler}=6\text{ fotballer} \]

Da er én del lik 3 baller.

Steg 2 — Finn basketballene

\[ 5\cdot 3=15 \]

Basketballene utgjør 5 deler.

Steg 3 — Finn totalen

\[ 6+15=21 \]

Vi legger sammen fotballer og basketballer.

Tolkning

Det ligger 21 baller i kassen til sammen.

Vanlig feil: Å tro at forholdet \(2:5\) betyr 2 fotballer og 5 basketballer direkte. Fasit: \(21\) baller. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a Prosent

Oppgave 4a

Oppgave:

Skriv som prosent: 1) \(\dfrac{1}{5}\) 2) \(\dfrac{135}{250}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre brøker om til prosent ved å gange med 100.

Steg 1 — Første brøk

\[ \dfrac{1}{5}=0{,}20=20\% \]

En femdel er 20 hundredeler.

Steg 2 — Andre brøk

\[ \dfrac{135}{250}=0{,}54=54\% \]

Vi kan enten dele eller utvide til hundredeler.

Steg 3 — Kontroller

\[ 54\% = \dfrac{54}{100}=\dfrac{135}{250} \]

Brøken stemmer etter forkorting/utviding.

Tolkning

Svarene er prosentandeler av en helhet.

Vanlig feil: Å flytte komma feil når desimaltall gjøres om til prosent. Fasit: 1) \(20\%\), 2) \(54\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4b Prosent av prosent

Oppgave 4b

Oppgave:

I en klasse er \(\dfrac{3}{4}\) av elevene jenter. 20 % av jentene spiller håndball. Ingen av guttene spiller håndball. Hvor mange prosent av elevene i klassen spiller håndball?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne 20 % av den delen av klassen som er jenter.

Steg 1 — Skriv 20 % som brøk

\[ 20\%=\dfrac{1}{5} \]

Det gjør multiplikasjonen enkel.

Steg 2 — Finn andelen av hele klassen

\[ \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{20} \]

Bare jentene kan bidra til håndballandelen.

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[ \dfrac{3}{20}=0{,}15=15\% \]

Andelen av hele klassen er 15 %.

Tolkning

15 % av alle elevene i klassen spiller håndball.

Vanlig feil: Å svare 20 %. Det er bare 20 % av jentene, ikke av hele klassen. Fasit: \(15\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5a Indeks og kroneverdi

Oppgave 5a

Oppgave:

Forklar at kroneverdi og konsumprisindeks er omvendt proporsjonale størrelser.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare sammenhengen mellom prisnivå og hvor mye én krone er verdt.

Steg 1 — Bruk definisjonen

\[ \text{kroneverdi}\sim\dfrac{1}{\text{konsumprisindeks}} \]

Når prisnivået øker, får vi mindre for én krone.

Steg 2 — Se på produktet

\[ \text{kroneverdi}\cdot\text{konsumprisindeks}=\text{konstant} \]

Produktet holder seg fast når størrelsene er omvendt proporsjonale.

Steg 3 — Forklar med ord

Dobles konsumprisindeksen, halveres kroneverdien.

Tolkning

Høyere konsumprisindeks betyr lavere kroneverdi.

Vanlig feil: Å si at størrelsene er proporsjonale. De går i motsatt retning. Fasit: Kroneverdi og konsumprisindeks er omvendt proporsjonale. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5b Indeks og prosent

Oppgave 5b

Oppgave:

Avgjør om påstanden nedenfor er riktig: «Dersom konsumprisindeksen i løpet av en periode øker med 20 %, vil kroneverdien minke med 20 % i den samme perioden.»

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal teste påstanden med vekstfaktor.

Steg 1 — KPI øker med 20 %

\[ 1{,}20 \]

Konsumprisindeksen blir 1,20 ganger så stor.

Steg 2 — Kroneverdien får omvendt faktor

\[ \dfrac{1}{1{,}20}=0{,}8333\ldots \]

Kroneverdi og KPI er omvendt proporsjonale.

Steg 3 — Finn nedgangen

\[ 1-0{,}8333\ldots=0{,}1667\ldots\approx 16{,}7\% \]

Kroneverdien minker ikke med 20 %.

Tolkning

Påstanden er feil. Kroneverdien minker med omtrent 16,7 %.

Vanlig feil: Å trekke 20 % direkte fra kroneverdien uten å bruke omvendt vekstfaktor. Fasit: Påstanden er ikke riktig. Kroneverdien minker med omtrent \(16{,}7\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 6 Pytagoras

Oppgave 6

Oppgave:

Et område har form som vist på figuren ovenfor. Avstanden langs de to rettvinklede sidene er 7,0 m og 6,0 m. Avgjør ved regning om avstanden fra A til B er lengre enn 9,0 m.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Figuren danner en rettvinklet trekant. Vi skal finne den rette avstanden fra A til B.

Steg 1 — Bruk Pytagoras

\[ AB^2=7{,}0^2+6{,}0^2 \]

AB er hypotenusen.

Steg 2 — Regn ut kvadratet

\[ AB^2=49+36=85 \]

Vi legger sammen kvadratene av katetene.

Steg 3 — Finn lengden

\[ AB=\sqrt{85}\approx 9{,}22 \]

Dette er større enn 9,0.

Tolkning

Avstanden fra A til B er lengre enn 9,0 m.

Vanlig feil: Å legge sammen sidelengdene og svare 13 m. Det er veien rundt, ikke den rette avstanden. Fasit: Ja, \(AB\approx 9{,}22\text{ m}\), altså lengre enn \(9{,}0\text{ m}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 7a Proporsjonalitet

Oppgave 7a

Oppgave:

Et firma som selger settepoteter, har lagt ut prislisten nedenfor. Mengde og pris: 50 kg koster 350 kroner, 100 kg koster 700 kroner, 250 kg koster 1 750 kroner, 400 kg koster 2 800 kroner. Vis at mengde og pris er proporsjonale størrelser.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at prisen per kilogram er den samme i alle radene.

Steg 1 — Regn pris per kg

\[ \dfrac{350}{50}=7 \]

Første rad gir 7 kroner per kg.

Steg 2 — Kontroller flere rader

\[ \dfrac{700}{100}=7,\quad \dfrac{1750}{250}=7,\quad \dfrac{2800}{400}=7 \]

Alle radene har samme forhold mellom pris og mengde.

Steg 3 — Konkluder

Når forholdet \(\dfrac{\text{pris}}{\text{mengde}}\) er konstant, er størrelsene proporsjonale.

Tolkning

Prisen er 7 kroner per kg uansett mengde.

Vanlig feil: Å se bare på differansene i pris. Proporsjonalitet handler om forhold, ikke differanse. Fasit: Mengde og pris er proporsjonale. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 7b Formel

Oppgave 7b

Oppgave:

Sett opp en formel som viser sammenhengen mellom mengde og pris.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive prisen som en funksjon av mengden poteter.

Steg 1 — Bruk kiloprisen

\[ 7\text{ kr per kg} \]

Fra oppgave 7a fant vi prisen per kg.

Steg 2 — La \(x\) være mengde i kg

\[ P=7x \]

Prisen er kilopris ganger antall kg.

Steg 3 — Test formelen

\[ P(100)=7\cdot 100=700 \]

Dette stemmer med prislisten.

Tolkning

Formelen gir prisen i kroner når mengden er \(x\) kg. …