Matematikk 1P Eksamen våren 2015 (K06) – løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen vår 2015 – løsningsforslag

Fullstendig løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser regneark, graftegner, GeoGebra/Python-kontroll der det er hensiktsmessig.

Merk: I zip-filen ligger også 1P_V17_LK06.pdf, men innholdet er identisk med høst 2016-settet som allerede er levert. Derfor er neste unike eksamenssett her vår 2015.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Prosent

Oppgave 1a

Oppgave:

Skriv som prosent

a) \(0{,}451\)

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre et desimaltall om til prosent.

Steg 1 — Multipliser med 100

\[0{,}451\cdot 100=45{,}1\]

Prosent betyr hundredeler.

Steg 2 — Sett på prosenttegn

\[0{,}451=45{,}1\,\%\]

Dette er samme verdi skrevet i prosentform.

Tolkning

Tallet tilsvarer litt under halvparten.

Vanlig feil: Å flytte kommaet feil vei. Fasit: \(45{,}1\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Prosent

Oppgave 1b

Oppgave:

Skriv som prosent

b) \(\dfrac{5}{25}\)

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive brøken som prosent.

Steg 1 — Forkort brøken

\[\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}\]

Vi deler teller og nevner på 5.

Steg 2 — Gjør om til prosent

\[\dfrac{1}{5}=0{,}20=20\,\%\]

Vi ganger desimaltallet med 100.

Tolkning

Fem av tjuefem er en femdel.

Vanlig feil: Å skrive 5 prosent fordi telleren er 5. Fasit: \(20\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Geometri

Oppgave 2a

Oppgave:

a) Forklar at de to trekantene ovenfor er formlike.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal begrunne formlikhet ved hjelp av vinkler.

Steg 1 — Sammenlikn oppgitte vinkler

Begge trekantene har en vinkel på \(92{,}9^\circ\).

Da har de allerede én lik vinkel.

Steg 2 — Finn den tredje vinkelen i den lille trekanten

\[180^\circ-92{,}9^\circ-48{,}5^\circ=38{,}6^\circ\]

Vinkelsummen i en trekant er \(180^\circ\).

Steg 3 — Sammenlikn med den store trekanten

Den store trekanten har også vinkelen \(38{,}6^\circ\).

To og dermed tre vinkler er like.

Tolkning

Trekantene har samme form, men ulik størrelse.

Vanlig feil: Å tro at trekantene må være like store for å være formlike. Fasit: Trekantene er formlike fordi de har samme vinkler. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Formlikhet

Oppgave 2b

Oppgave:

b) Bestem lengden av siden \(BC\) ved regning.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker forholdet mellom tilsvarende sider i formlike trekanter.

Steg 1 — Finn målestokken fra stor til liten trekant

\[\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}\]

Sidene \(AB\) og \(DE\) ligger mot den samme vinkelen.

Steg 2 — Finn tilsvarende side til \(BC\)

\(BC\) tilsvarer \(FE=9\).

Derfor bruker vi samme forhold.

Steg 3 — Regn ut \(BC\)

\[BC=9\cdot \dfrac{2}{3}=6\]

Den lille trekanten er \(\dfrac{2}{3}\) av den store.

Tolkning

Siden \(BC\) er kortere enn den tilsvarende siden \(FE\), slik figuren viser.

Vanlig feil: Å sette opp forholdet motsatt vei. Fasit: \(BC=6\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Måling

Oppgave 3

Oppgave:

Et vindu har form som et rektangel. Vinduet er 6 dm bredt og 7 dm høyt.

Gjør beregninger og avgjør om det er mulig å få en kvadratisk plate med sider 9 dm inn gjennom vinduet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Den største rette åpningen i vinduet er diagonalen.

Steg 1 — Bruk Pytagoras på vinduet

\[d^2=6^2+7^2\]

Diagonal, bredde og høyde danner en rettvinklet trekant.

Steg 2 — Regn ut diagonalen

\[d=\sqrt{36+49}=\sqrt{85}\approx 9{,}22\]

Dette er mer enn \(9\) dm.

Steg 3 — Sammenlikn med platen

\[9{,}22>9\]

Platen kan føres inn diagonalt gjennom vinduet.

Tolkning

Det er mulig, men bare hvis platen vinkles.

Vanlig feil: Å bare sammenlikne med bredden eller høyden. Fasit: Ja, platen kan komme gjennom vinduet fordi diagonalen er omtrent \(9{,}22\) dm. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Areal

Oppgave 4

Oppgave:

Figuren ovenfor viser et rektangel \(PQRS\). \(PQ=12\) cm, \(QR=3\) cm og \(AB=CD=EF=2\) cm

Bestem arealet av det blå området.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner rektangelarealet og trekker fra de hvite trekantene.

Steg 1 — Finn arealet av rektangelet

\[A_{rektangel}=12\cdot 3=36\]

Hele figuren er et rektangel.

Steg 2 — Finn samlet areal av hvite trekanter

Hver hvit trekant har grunnlinje \(2\) cm og høyde \(3\) cm.

\[A_{trekant}=\dfrac{2\cdot 3}{2}=3\]

Det er tre slike hvite trekanter.

Steg 3 — Trekk fra

\[A_{blå}=36-3\cdot 3=27\]

Blått areal er totalareal minus hvitt areal.

Tolkning

Det blå området dekker tre firedeler av rektangelet.

Vanlig feil: Å glemme at det er tre hvite trekanter. Fasit: Det blå arealet er \(27\,\text{cm}^2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5a Funksjoner

Oppgave 5a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[f(x)=x^2+2x-3\]

a) Skriv av verditabellen nedenfor i besvarelsen din, og fyll inn tallene som mangler.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette inn hver \(x\)-verdi i funksjonen.

Steg 1 — Regn ut noen verdier

\[f(-4)=(-4)^2+2\cdot(-4)-3=5\]

Samme metode brukes for alle verdiene.

Steg 2 — Fyll tabellen

\(x\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(f(x)\)	\(5\)	\(0\)	\(-3\)	\(-4\)	\(-3\)	\(0\)	\(5\)

Tabellen viser punktene som skal tegnes.

Tolkning

Funksjonen har laveste verdi rundt \(x=-1\).

Vanlig feil: Fortegnsfeil når negative tall opphøyes i andre.

Python

from sympy import symbols x = symbols('x') f = x**2 + 2*x - 3 verdier = [-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2] for verdi in verdier: print(f'f({verdi}) = {f.subs(x, verdi)}')

Kjøring gir: f(-4) = 5 f(-3) = 0 f(-2) = -3 f(-1) = -4 f(0) = -3 f(1) = 0 f(2) = 5 Fasit: Tabellen er \(5,0,-3,-4,-3,0,5\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5b Graf

Oppgave 5b

Oppgave:

b) Tegn grafen til \(f\) for \(-4\le x\le 2\).

Skisse av grafen til \(f(x)=x^2+2x-3\) for \(-4\le x\le 2\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne punktene fra tabellen og lage en jevn parabel.

Steg 1 — Bruk tabellpunktene

Punktene er \((-4,5)\), \((-3,0)\), \((-2,-3)\), \((-1,-4)\), \((0,-3)\), \((1,0)\) og \((2,5)\).

Disse gir formen på grafen.

Steg 2 — Tegn grafen

Grafen er en parabel som vender oppover.

Toppunktet ligger ikke på toppen, men bunnpunktet er \((-1,-4)\).

Tolkning

Grafen viser hvordan funksjonsverdien først minker og deretter øker. …