Matematikk 1P Eksamen våren 2014 (K06) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 1P

Matematikk 1P eksamen vår 2014 – løsningsforslag

Fullstendig løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst med håndregning. Del 2 viser digitale kontroller med GeoGebra, regnearkoppsett og Python der det er hensiktsmessig.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Målestokk

Oppgave 1

Oppgave:

En hustegning har målestokk \(1:50\). På tegningen er en dør plassert \(6\) mm feil.

Hvor stor vil denne feilen bli i virkeligheten når huset bygges?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke målestokken til å gjøre en lengde på tegningen om til virkelig lengde.

Steg 1 — Bruk målestokken

\[ 1\text{ mm på tegningen}=50\text{ mm i virkeligheten} \]

Målestokken \(1:50\) betyr at alle lengder blir 50 ganger større i virkeligheten.

Steg 2 — Gang opp feilen

\[ 6\cdot 50=300 \]

Feilen på tegningen må derfor multipliseres med 50.

Steg 3 — Gjør om enhet

\[ 300\text{ mm}=30\text{ cm} \]

Det er mer praktisk å oppgi byggefeilen i centimeter.

Tolkning

Døren blir plassert 30 cm feil når huset bygges.

Vanlig feil: Å svare \(300\) uten enhet, eller å glemme å gjøre om fra millimeter til centimeter. Fasit: Feilen blir \(30\) cm i virkeligheten. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Overslag

Oppgave 2

Oppgave:

I en tank er det \(617\) L olje. Du skal fylle oljen på kanner. I hver kanne er det plass til \(15{,}3\) L.

Gjør overslag og finn ut omtrent hvor mange kanner du trenger.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre et raskt overslag ved å runde tallene til enklere tall.

Steg 1 — Rund av tallene

\[ 617\approx 600 \quad \text{og}\quad 15{,}3\approx 15 \]

Tallene er valgt slik at \(600:15\) er lett å regne i hodet.

Steg 2 — Del total mengde på innhold per kanne

\[ 600:15=40 \]

Dette gir omtrent hvor mange kanner som trengs.

Steg 3 — Vurder svaret

\[ 617:15{,}3\approx 40{,}3 \]

Nøyaktig regning viser at du må ha litt mer enn 40 kanner dersom all oljen skal få plass.

Tolkning

Overslaget viser størrelsesordenen; siden \(40\) kanner ikke rommer alt, må du runde opp i praksis.

Vanlig feil: Å runde ned til 40 uten å vurdere at den siste oljen også må få plass. Fasit: Du trenger omtrent \(40\) kanner, men i praksis må du ha \(41\) kanner for å få plass til all oljen. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Likning

Oppgave 3a

Oppgave:

Løs likningen

\[ \dfrac{(x+4)\cdot 3}{2}=9 \]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal isolere \(x\) ved å gjøre motsatte regneoperasjoner på begge sider.

Steg 1 — Start med likningen

\[ \dfrac{3(x+4)}{2}=9 \]

Vi skriver uttrykket samlet, slik at det er tydelig hva som skal løses.

Steg 2 — Multipliser med 2

\[ 3(x+4)=18 \]

Da fjerner vi nevneren.

Steg 3 — Del på 3

\[ x+4=6 \]

Da står parentesen alene.

Steg 4 — Trekk fra 4

\[ x=2 \]

Til slutt isolerer vi \(x\).

Tolkning

Når \(x=2\), blir venstresiden \(9\), så løsningen passer.

Vanlig feil: Å dele bare ett ledd i parentesen på 3. Hele parentesen må behandles samlet. Fasit: \(x=2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Areal

Oppgave 3b

Oppgave:

Et trapes har et areal på \(9\) cm\(^2\). Høyden i trapeset er \(3\) cm, og den ene av de parallelle sidene er \(4\) cm. Bestem lengden av den andre av de parallelle sidene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker arealformelen for trapes og løser for den ukjente parallelle siden.

Steg 1 — Skriv trapesformelen

\[ A=\dfrac{(a+b)h}{2} \]

Arealet er gjennomsnittet av de parallelle sidene multiplisert med høyden.

Steg 2 — Sett inn kjente verdier

\[ 9=\dfrac{(4+b)\cdot 3}{2} \]

Vi lar \(b\) være den ukjente parallelle siden.

Steg 3 — Løs likningen

\[ 18=3(4+b)\quad \Rightarrow\quad 6=4+b \]

Vi multipliserer med 2 og deler på 3.

Steg 4 — Finn siden

\[ b=2 \]

Den andre parallelle siden er derfor \(2\) cm.

Tolkning

Med sidene 4 cm og 2 cm og høyde 3 cm blir arealet 9 cm\(^2\).

Vanlig feil: Å bruke formelen for trekant eller rektangel i stedet for trapesformelen. Fasit: Den andre parallelle siden er \(2\) cm. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Prosent

Oppgave 4

Oppgave:

Det bor ca. \(7{,}2\) milliarder mennesker på jorda. \(15\,\%\) har ikke tilgang til rent vann. Omtrent hvor mange mennesker har ikke tilgang til rent vann?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne 15 prosent av 7,2 milliarder.

Steg 1 — Skriv prosent som desimaltall

\[ 15\,\%=0{,}15 \]

Prosent betyr hundredeler.

Steg 2 — Regn ut andelen

\[ 7{,}2\cdot 0{,}15=1{,}08 \]

Tallet er i milliarder fordi utgangspunktet er milliarder mennesker.

Steg 3 — Rund av praktisk

\[ 1{,}08\text{ milliarder}\approx 1{,}1\text{ milliarder} \]

Oppgaven spør omtrent, så avrunding er naturlig.

Tolkning

Dette er en stor andel av verdens befolkning, omtrent én av seks–sju personer.

Vanlig feil: Å regne \(15\) prosent som \(15\) i stedet for \(0{,}15\). Fasit: Omtrent \(1{,}1\) milliarder mennesker har ikke tilgang til rent vann. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5 KPI og reallønn

Oppgave 5

Oppgave:

Et år hadde Marit en nominell lønn på \(600\,000\) kroner. Dette tilsvarte en reallønn på \(500\,000\) kroner.

Bestem konsumprisindeksen dette året.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker sammenhengen mellom nominell lønn, reallønn og konsumprisindeks.

Steg 1 — Skriv sammenhengen

\[ \text{reallønn}=\dfrac{\text{nominell lønn}\cdot 100}{\text{KPI}} \]

Formelen gjør nominell lønn om til verdi målt i basisårskroner.

Steg 2 — Sett inn tall

\[ 500\,000=\dfrac{600\,000\cdot 100}{\text{KPI}} \]

KPI er den ukjente størrelsen.

Steg 3 — Løs for KPI

\[ \text{KPI}=\dfrac{600\,000\cdot 100}{500\,000}=120 \]

Vi flytter KPI opp og deler på reallønnen.

Tolkning

Prisnivået lå 20 prosent over basisåret når reallønnen er lavere enn nominell lønn.

Vanlig feil: Å snu brøken og få en indeks under 100 selv om nominell lønn er større enn reallønn. Fasit: Konsumprisindeksen var \(120\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 6 Forhold

Oppgave 6

Oppgave:

I ferdigblandet «Run Light» er forholdet mellom ren saft og vann \(1:9\).

Hvor mange liter ren saft går med dersom \(500\) personer skal få \(0{,}2\) L ferdigblandet «Run Light» hver?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner først total ferdigblandet drikke og deretter saftdelen av blandingen.

Steg 1 — Finn total mengde ferdig drikke

\[ 500\cdot 0{,}2=100 \]

Alle personene skal få \(0{,}2\) L hver.

Steg 2 — Tolke forholdet

\[ 1:9 \quad \Rightarrow\quad 1+9=10\text{ deler totalt} \]

Ren saft er 1 av 10 deler i ferdig blanding.

Steg 3 — Finn saftmengden

\[ \dfrac{1}{10}\cdot 100=10 \]

Vi tar én tidel av total mengde ferdig blanding.

Tolkning

Resten, \(90\) L, er vann.

Vanlig feil: Å tro at forholdet \(1:9\) betyr at saften er \(1/9\) av blandingen. Fasit: Det går med \(10\) L ren saft. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 7a Geometri

Oppgave 7a

Oppgave:

Et blomsterbed har form som et parallellogram. Se skissen ovenfor.

a) Vis ved regning at høyden \(h\) i parallellogrammet er \(2{,}0\) m.

Skisse brukt i løsningen: høyden finnes med Pytagoras i den lille rettvinklede trekanten. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker den rettvinklede trekanten i skissen. Skråsiden er 2,5 m og den vannrette kateten er 1,5 m.

Steg 1 — Bruk Pytagoras

\[ h^2+1{,}5^2=2{,}5^2 \]

Høyden og den vannrette forskyvningen er kateter i en rettvinklet trekant.

Steg 2 — Sett inn og regn

\[ h^2=2{,}5^2-1{,}5^2=6{,}25-2{,}25=4 \]

Vi isolerer \(h^2\).

Steg 3 — Ta kvadratroten

\[ h=\sqrt{4}=2{,}0 \]

Høyden er en lengde og må være positiv.

Tolkning

Skissen stemmer med at parallellogrammet har en loddrett høyde på 2,0 m.

Vanlig feil: Å bruke skråsiden 2,5 m direkte som høyde. Fasit: Høyden er \(2{,}0\) m. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 7b Volum

Oppgave 7b

Oppgave:

Du skal legge et lag med \(10\) cm jord i hele blomsterbedet. Du kjøper jord i sekker. I hver sekk er det \(35\) L.

b) Hvor mange sekker trenger du?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner først arealet av parallellogrammet, deretter volumet av jordlaget.

Steg 1 — Finn arealet

\[ A=5{,}0\cdot 2{,}0=10{,}0\text{ m}^2 \]

Arealet av et parallellogram er grunnlinje ganger høyde.

Steg 2 — Gjør om jorddybden

\[ 10\text{ cm}=0{,}10\text{ m} \]

Volumregningen må bruke samme lengdeenhet.

Steg 3 — Finn jordvolumet

\[ V=10{,}0\cdot 0{,}10=1{,}0\text{ m}^3=1000\text{ L} \]

Én kubikkmeter er \(1000\) liter.

Steg 4 — Del på liter per sekk

\[ 1000:35\approx 28{,}6 \]

Du kan ikke kjøpe en del av en sekk, så svaret rundes opp.

Tolkning

28 sekker er ikke nok; derfor må du kjøpe 29 sekker. …