Matematikk 1P Eksamen høsten 2025 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 1P

Matematikk 1P eksamen Høst 2025 – løsningsforslag

Fullstendig, trinnvis løsning på hele eksamenssettet. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser hensiktsmessig bruk av GeoGebra, regnearkoppsett og Python-kontroll der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

I Del 1 brukes håndregning, overslag, grafavlesing og praktisk resonnering.

Del 1 · Oppgave 1 Måling og fart

Oppgave 1

Oppgave:

Sofie tok buss fra Mandal til Oslo. Bussen holdt en gjennomsnittsfart på \(80\) km/h og brukte \(4\) timer og \(30\) minutter på strekningen. Hvor lang er denne strekningen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne strekningen når vi kjenner fart og tid.

Steg 1 — Gjør tiden om til timer

\[4\text{ timer }30\text{ minutter}=4{,}5\text{ timer}\]

Farten er gitt i kilometer per time, derfor må tiden være i timer.

Steg 2 — Bruk vei-formelen

\[\text{strekning}=\text{fart}\cdot \text{tid}\]

Gjennomsnittsfart forteller hvor mange kilometer bussen kjører per time.

Steg 3 — Regn ut

\[80\cdot4{,}5=360\]

Dette gir antall kilometer.

Tolkning

Bussreisen var omtrent \(360\) km lang.

Vanlig feil: Å bruke \(4{,}30\) timer i stedet for \(4{,}5\) timer. Fasit: \(360\) km. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Prosent og merverdiavgift

Oppgave 2

Oppgave:

Lukas har kjøpt et deksel til mobilen. Dekselet kostet \(200\) kroner inkludert merverdiavgift. Merverdiavgiften er \(25\ \%\). Hvor mye betalte Lukas i merverdiavgift?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor stor del av totalprisen som er merverdiavgift.

Steg 1 — Totalprisen er 125 % av prisen uten avgift

\[100\ \%+25\ \%=125\ \%\]

Prisen med merverdiavgift er altså \(1{,}25\) ganger prisen uten avgift.

Steg 2 — Finn prisen uten merverdiavgift

\[\dfrac{200}{1{,}25}=160\]

Vi deler på vekstfaktoren for å gå tilbake til prisen før avgift.

Steg 3 — Finn merverdiavgiften

\[200-160=40\]

Forskjellen mellom totalpris og pris uten avgift er merverdiavgiften.

Tolkning

Av de \(200\) kronene betalte Lukas \(40\) kroner i merverdiavgift.

Vanlig feil: Å ta \(25\ \%\) av \(200\). Da finner man ikke avgiften når \(200\) allerede inkluderer avgift. Fasit: \(40\) kroner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Standardform

Oppgave 3

Oppgave:

En støvpartikkel veier omtrent \(0{,}000\ 000\ 005\) gram. Hvor mange støvpartikler er det i \(20\) gram støv?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal dele total masse på massen til én støvpartikkel.

Steg 1 — Skriv massen på standardform

\[0{,}000\ 000\ 005=5\cdot10^{-9}\]

Standardform gjør divisjonen mer oversiktlig.

Steg 2 — Sett opp divisjonen

\[\dfrac{20}{5\cdot10^{-9}}\]

Antall partikler er total masse delt på masse per partikkel.

Steg 3 — Regn ut

\[\dfrac{20}{5\cdot10^{-9}}=4\cdot10^9\]

Det betyr fire milliarder partikler.

Tolkning

Det er omtrent \(4\) milliarder støvpartikler i \(20\) gram støv.

Vanlig feil: Å miste antall nuller når tallet skrives om. Fasit: \(4\cdot10^9\) støvpartikler, altså omtrent \(4\) milliarder. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a Geometri og volum

Oppgave 4a

Oppgave:

Volumet \(V\) av en pyramide er gitt ved \[V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h\] der \(G\) er arealet av grunnflaten, og \(h\) er høyden. Ole arbeider med pyramider der grunnflaten er et kvadrat, og høyden er lik sidekantene i kvadratet. En av pyramidene har et volum på \(9\) dm\(^3\). Hvor høy er denne pyramiden?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne høyden når volumet er kjent.

Steg 1 — Bruk at grunnflaten er et kvadrat

\[G=h^2\]

Sidekanten i kvadratet er lik høyden, derfor blir grunnflaten \(h\cdot h\).

Steg 2 — Sett dette inn i volumformelen

\[V=\dfrac{1}{3}\cdot h^2\cdot h=\dfrac{h^3}{3}\]

Volumet kan nå skrives bare med \(h\).

Steg 3 — Løs likningen

\[9=\dfrac{h^3}{3}\]

Vi multipliserer med \(3\):

\[h^3=27\]

Da er \(h=3\).

Tolkning

Pyramiden er \(3\) dm høy.

Vanlig feil: Å bruke \(G=h\) i stedet for \(G=h^2\). Fasit: \(h=3\) dm. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4b Proporsjonalitet

Oppgave 4b

Oppgave:

Ole påstår at høyde og volum er proporsjonale størrelser for pyramidene han arbeider med. Avgjør om påstanden er riktig. Husk å begrunne svaret ditt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre om volumet øker med en fast faktor når høyden øker med samme faktor.

Steg 1 — Skriv sammenhengen fra oppgave a

\[V=\dfrac{h^3}{3}\]

Volumet avhenger av tredje potens av høyden.

Steg 2 — Test dobling av høyden

\[V(2h)=\dfrac{(2h)^3}{3}=\dfrac{8h^3}{3}\]

Når høyden dobles, blir volumet åtte ganger så stort.

Steg 3 — Sammenlikn med proporsjonalitet

Hvis størrelsene var proporsjonale, skulle dobling av høyden gi dobling av volumet.

Her får vi åttedobling, ikke dobling.

Tolkning

Ole har ikke rett. Volumet øker mye raskere enn høyden.

Vanlig feil: Å tenke at alle formler med \(h\) automatisk gir proporsjonalitet. Fasit: Påstanden er ikke riktig. Sammenhengen er \(V=\dfrac{h^3}{3}\), ikke \(V=k\cdot h\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5a Lineære funksjoner

Oppgave 5a

Oppgave:

Den grønne grafen i koordinatsystemet viser sammenhengen mellom antall timer Nora arbeider, og lønnen hun får. Den blå grafen viser sammenhengen mellom antall timer Nils arbeider, og lønnen han får. Bestem timelønnen til Nora og timelønnen til Nils.

Skisse av grafen: Nora har brattere graf enn Nils.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Timelønn er stigningstallet til grafen.

Steg 1 — Les av Nora sin graf

Den grønne grafen går for eksempel gjennom omtrent \((10,2000)\).

Da er timelønnen

\[\dfrac{2000}{10}=200\]

Steg 2 — Les av Nils sin graf

Den blå grafen går for eksempel gjennom omtrent \((10,1800)\).

Da er timelønnen

\[\dfrac{1800}{10}=180\]

Steg 3 — Sammenlikn grafene

Den grønne grafen er brattere, derfor har Nora høyere timelønn.

Tolkning

Nora tjener \(200\) kroner per time, og Nils tjener \(180\) kroner per time. …