Matematikk 1P Eksamen våren 2022 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 1P · LK20

Matematikk 1P eksamen vår 2022 – løsningsforslag

Fullstendig, trinnvis løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser praktisk matematikk med funksjoner, regneark-/graf-tenkning, GeoGebra CAS og Python-kontroll der det er nyttig.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Prosentpoeng

Oppgave 1a

Oppgave:

Renten på et lån steg fra \(2{,}0\,\%\) til \(2{,}2\,\%\).

a) Hvor mange prosentpoeng steg renten med?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne endringen i prosentpoeng. Da trekker vi den gamle prosentsatsen fra den nye.

Steg 1 — Finn ny og gammel rente

Den gamle renten er \(2{,}0\,\%\), og den nye renten er \(2{,}2\,\%\).

Steg 2 — Regn differansen

\[2{,}2-2{,}0=0{,}2\]

Prosentpoeng handler om direkte differanse mellom to prosentsatser.

Steg 3 — Skriv med riktig enhet

Endringen er \(0{,}2\) prosentpoeng.

Tolkning

Renten har økt med \(0{,}2\) prosentpoeng, ikke \(0{,}2\,\%\) av lånet.

Vanlig feil: Å blande prosentpoeng og prosentvis økning. Fasit: \(0{,}2\) prosentpoeng. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Prosent

Oppgave 1b

Oppgave:

Renten på et lån steg fra \(2{,}0\,\%\) til \(2{,}2\,\%\).

b) Hvor mange prosent steg renten med?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nå skal vi finne hvor stor økningen er i prosent av den gamle renten.

Steg 1 — Finn økningen

\[2{,}2-2{,}0=0{,}2\]

Renten økte med \(0{,}2\) prosentpoeng.

Steg 2 — Sammenlikn med gammel rente

\[\dfrac{0{,}2}{2{,}0}=0{,}10\]

Vi deler på startverdien fordi prosentvis økning alltid måles fra utgangspunktet.

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[0{,}10\cdot100\,\%=10\,\%\]

Tolkning

Selv om renten bare steg \(0{,}2\) prosentpoeng, er dette en økning på \(10\,\%\) av den gamle renten.

Vanlig feil: Å svare \(0{,}2\,\%\). Det er prosentpoeng, ikke prosentvis økning. Fasit: Renten steg med \(10\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Diagram og prosent

Oppgave 2

Oppgave:

Diagrammet viser antall elever ved en videregående skole de fire siste årene.

Når var det størst prosentvis økning i antall elever fra et år til det neste?

Stolpene viser omtrent 700, 800, 900 og 1000 elever. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må sammenlikne prosentvis økning fra år til år, ikke bare økning i antall elever.

Steg 1 — Les av omtrentlige verdier

Fra diagrammet leser vi omtrent \(700\), \(800\), \(900\) og \(1000\) elever.

Steg 2 — Regn prosentvis økning

\[\dfrac{800-700}{700}\cdot100\,\%\approx14{,}3\,\%\]

Dette er økningen fra 2018 til 2019.

Steg 3 — Sammenlikn de neste årene

\[\dfrac{900-800}{800}\cdot100\,\%=12{,}5\,\%\]

\[\dfrac{1000-900}{900}\cdot100\,\%\approx11{,}1\,\%\]

Steg 4 — Velg størst prosent

Den største prosentvise økningen er fra 2018 til 2019.

Tolkning

Alle økningene er omtrent 100 elever, men den første økningen er størst i prosent fordi utgangspunktet er lavest.

Vanlig feil: Å bare se på antall elever og ikke regne prosent. Fasit: Det var størst prosentvis økning fra 2018 til 2019. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Proporsjonalitet

Oppgave 3a

Oppgave:

a) Gi et eksempel på to størrelser som er proporsjonale.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gi et eksempel der den ene størrelsen alltid er et fast tall ganger den andre.

Steg 1 — Velg en praktisk situasjon

Anta at epler koster 20 kroner per kilogram.

Steg 2 — Skriv sammenhengen

\[P=20x\]

Her er \(x\) antall kilogram, og \(P\) er prisen i kroner.

Steg 3 — Forklar hvorfor det er proporsjonalt

Hvis mengden dobles, dobles prisen. Forholdet \(\dfrac{P}{x}=20\) er konstant.

Tolkning

Pris og mengde er proporsjonale når kiloprisen er fast.

Vanlig feil: Å velge en situasjon med fast startpris. Da er sammenhengen vanligvis ikke proporsjonal. Fasit: Ett mulig eksempel er pris og antall kilogram når kiloprisen er fast, for eksempel \(P=20x\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Grafisk framstilling

Oppgave 3b

Oppgave:

b) Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom de to størrelsene.

En proporsjonal sammenheng tegnes som en rett linje gjennom origo. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise den proporsjonale sammenhengen fra del a grafisk.

Steg 1 — Bruk modellen

\[P=20x\]

Grafen viser pris \(P\) som funksjon av antall kilogram \(x\).

Steg 2 — Finn noen punkter

\[x=0 \Rightarrow P=0\]

\[x=1 \Rightarrow P=20\]

\[x=2 \Rightarrow P=40\]

Steg 3 — Tegn linjen

Punktene ligger på en rett linje gjennom origo. Det er kjennetegnet på en proporsjonal sammenheng.

Tolkning

Hver ekstra kilogram øker prisen med 20 kroner.

Vanlig feil: En proporsjonal graf må gå gjennom origo. Fasit: Grafen er en rett linje gjennom origo, for eksempel grafen til \(P=20x\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a Funksjoner

Oppgave 4a

Oppgave:

Siri har et stykke papp og vil lage en eske. Hun har satt opp en modell som viser volumet \(V(x)\,\text{cm}^3\) av esken dersom hun lager den \(x\) cm høy
\[V(x)=4x^3-100x^2+600x,\quad 0<x<10\]
a) Hvor stort volum får esken dersom Siri lager den 5 cm høy?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne volumet når høyden er \(5\) cm. Det betyr at vi setter \(x=5\) inn i modellen.

Steg 1 — Sett inn \(x=5\)

\[V(5)=4\cdot5^3-100\cdot5^2+600\cdot5\]

Vi bruker modellen direkte fordi \(x\) er høyden.

Steg 2 — Regn potensene

\[V(5)=4\cdot125-100\cdot25+3000\]

Steg 3 — Regn ferdig

\[V(5)=500-2500+3000=1000\]

Tolkning

Hvis Siri lager esken 5 cm høy, blir volumet \(1000\,\text{cm}^3\).

Vanlig feil: Å glemme at \(5^3=125\), ikke 15. Fasit: Volumet blir \(1000\,\text{cm}^3\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4b Likning og modell

Oppgave 4b

Oppgave:

Siri har et stykke papp og vil lage en eske. Hun har satt opp modellen
\[V(x)=4x^3-100x^2+600x,\quad 0<x<10\]
b) Hva finner Siri ut dersom hun løser likningen \(V(x)=500\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Likningen \(V(x)=500\) betyr at Siri undersøker hvilke høyder som gir volum \(500\,\text{cm}^3\).

Steg 1 — Skriv likningen

\[4x^3-100x^2+600x=500\]

Steg 2 — Løs innenfor modellens område

Ved grafisk eller numerisk løsning får vi omtrent

\[x\approx0{,}99 \quad \text{eller} \quad x\approx7{,}77\]

Begge ligger i gyldighetsområdet \(0<x<10\).

Steg 3 — Forkast løsning utenfor området

Likningen har også en løsning rundt \(16{,}23\), men den er ikke aktuell fordi modellen bare gjelder for \(0<x<10\).

Tolkning

Siri finner to mulige høyder som gir volum \(500\,\text{cm}^3\). …