Matematikk 1P Eksamen våren 2010 (K06) – løsningsforslag

ifingo · komplett løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen Vår 2010 – løsningsforslag

Fullstendig, originalt og trinnvis løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser digitale kontroller med GeoGebra CAS og Python der det er nyttig.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Overslag og enhetspris

Oppgave 1a

Oppgave:

Liv fyller 41,5 liter drivstoff på bilen sin. Hun betaler 509,62 kroner.

Bruk informasjonen på bildet. Gjør overslag og finn ut om Liv har en bil som bruker bensin (95) eller diesel (D).

På bildet står prisen omtrent som: bensin 95: 12,28 kroner per liter og diesel D: 10,91 kroner per liter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne omtrent hvilken literpris Liv har betalt, og sammenlikne med prisene på bildet.

Steg 1 — Finn pris per liter

\[\dfrac{509{,}62}{41{,}5}\approx12{,}28\]

Vi deler total pris på antall liter.

Steg 2 — Sammenlikn med prisene på bildet

\[12{,}28\text{ kr/L}\approx\text{prisen for bensin 95}\]

Dieselprisen er lavere, omtrent 10,91 kr/L.

Steg 3 — Kontroll med overslag

\[41{,}5\cdot12\approx498\]

Dette ligger nær 509,62, mens diesel ville gitt klart lavere totalpris.

Tolkning

Liv har betalt omtrent bensinprisen per liter.

Vanlig feil: Å sammenlikne 509,62 direkte med literprisene uten å dele på liter. Fasit: Liv bruker bensin 95. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Lik betaling

Oppgave 1b

Oppgave:

Sondre kjøper epler til 5 kroner per stk. Rasmus kjøper bananer til 6 kroner per stk. De betaler like mye.

Hvor mange epler kan Sondre ha kjøpt, og hvor mange bananer kan Rasmus ha kjøpt? Finn to ulike løsninger.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne antall epler og bananer slik at totalprisen blir lik.

Steg 1 — Finn et felles beløp

\[5\cdot6=30\]

30 kroner kan deles både på 5 og 6.

Steg 2 — Første løsning

\[30:5=6,\qquad 30:6=5\]

Sondre kan kjøpe 6 epler og Rasmus 5 bananer.

Steg 3 — Andre løsning

\[60:5=12,\qquad 60:6=10\]

Vi kan bruke et større felles beløp, for eksempel 60 kroner.

Tolkning

Begge løsningene gir samme totalpris for Sondre og Rasmus.

Vanlig feil: Å gi bare én løsning selv om oppgaven ber om to. Fasit: To mulige løsninger er 6 epler og 5 bananer, eller 12 epler og 10 bananer. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c1 Sannsynlighet

Oppgave 1c, del 1

Oppgave:

Figuren til høyre viser et lykkehjul.

Lise snurrer hjulet én gang. Hva er sannsynligheten for at pilen peker på enten blått eller grønt felt når hjulet stopper?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne samlet sannsynlighet for blått eller grønt felt.

Steg 1 — Les av feltene

Blått felt utgjør omtrent \(\dfrac{1}{4}\) av hjulet, og grønt felt utgjør omtrent \(\dfrac{1}{4}\).

Vi antar at alle områder er like sannsynlige etter areal.

Steg 2 — Legg sammen

\[\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\]

Blått og grønt overlapper ikke.

Steg 3 — Skriv som prosent

\[\dfrac{1}{2}=50\%\]

Halvparten av hjulet er blått eller grønt.

Tolkning

Lise har 50 % sjanse for å få blått eller grønt.

Vanlig feil: Å telle farger uten å se på størrelsen på feltene. Fasit: \(\dfrac{1}{2}=50\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c2 Sannsynlighet

Oppgave 1c, del 2

Oppgave:

Lotte snurrer hjulet to ganger. Hva er sannsynligheten for at pilen peker én gang på gult felt og én gang på grønt felt?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynlighet for gult og grønt i løpet av to snurr, i valgfri rekkefølge.

Steg 1 — Les av sannsynlighetene

\[P(\text{gul})=\dfrac{1}{8},\qquad P(\text{grønn})=\dfrac{1}{4}\]

Gult felt er mindre enn grønt felt.

Steg 2 — Finn én rekkefølge

\[P(\text{gul så grønn})=\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{32}\]

Vi multipliserer fordi det er to uavhengige snurr.

Steg 3 — Ta med begge rekkefølger

\[2\cdot\dfrac{1}{32}=\dfrac{1}{16}\]

Det kan bli gul-grønn eller grønn-gul.

Tolkning

Sannsynligheten er liten fordi gult felt er lite og begge fargene må komme.

Vanlig feil: Å glemme den andre rekkefølgen. Fasit: \(\dfrac{1}{16}=6{,}25\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d1 Geometri

Oppgave 1d, del 1

Oppgave:

Figuren viser to trekanter og en rett linje som går gjennom punktene A, B og C. Bruk målene som er gitt på figuren, og regn ut avstanden fra A til B.

På figuren er \(AD=6{,}0\text{ m}\) og \(DB=8{,}0\text{ m}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hypotenusen i en rettvinklet trekant.

Steg 1 — Bruk Pytagoras

\[AB^2=AD^2+DB^2\]

Trekanten er rettvinklet.

Steg 2 — Sett inn tall

\[AB^2=6^2+8^2=36+64=100\]

Vi bruker de to katetene.

Steg 3 — Ta kvadratroten

\[AB=\sqrt{100}=10\]

Avstanden må være positiv.

Tolkning

Avstanden fra A til B er 10 meter.

Vanlig feil: Å legge sammen 6 og 8 direkte. Fasit: \(AB=10{,}0\text{ m}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d2 Formlike trekanter

Oppgave 1d, del 2

Oppgave:

Bruk målene som er gitt på figuren, og regn ut avstanden fra B til E. På figuren er \(EC=2{,}0\text{ m}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at de to rettvinklede trekantene er formlike.

Steg 1 — Sammenlikn forholdet i den store trekanten

\[\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\]

Dette er forholdet mellom høyde og grunnlinje.

Steg 2 — Bruk samme forhold i den lille trekanten

\[\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{3}{4}\]

Trekantene har samme vinkler.

Steg 3 — Sett inn \(EC=2\)

\[BE=2\cdot\dfrac{3}{4}=1{,}5\]

Høyden i den lille trekanten blir 1,5 meter.

Tolkning

Avstanden fra B til E er kortere enn EC, slik figuren viser.

Vanlig feil: Å snu forholdet og få \(2{,}67\) meter. Fasit: \(BE=1{,}5\text{ m}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1e1 Lån

Oppgave 1e, del 1

Oppgave:

Tor har tatt opp et lån i banken. Diagrammet nedenfor viser hvor mye han skal betale i renter og avdrag de 10 første årene.

Forklar hvordan du ut fra diagrammet kan se om Tor har tatt opp et annuitetslån eller et serielån.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke hvordan renter, avdrag og total betaling utvikler seg.

Steg 1 — Se på totalhøyden

Søylene har omtrent samme totalhøyde hvert år.

Det betyr at samlet betaling er omtrent fast.

Steg 2 — Se på sammensetningen

Rentene blir mindre, mens avdraget blir større.

Dette er typisk for annuitetslån.

Steg 3 — Konklusjon

Et serielån ville hatt like store avdrag og synkende totalbetaling.

Diagrammet viser derfor et annuitetslån.

Tolkning

Tor betaler omtrent samme beløp hvert år, men mer av beløpet går til avdrag etter hvert.

Vanlig feil: Å se bare på rentene og ikke på totalsøylen. Fasit: Tor har tatt opp et annuitetslån. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1e2 Prosent

Oppgave 1e, del 2

Oppgave:

Omtrent hvor stor del av det Tor skal betale på lånet det første året, er renter?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av omtrent renteandel i første søyle.

Steg 1 — Les av første år

Total betaling er omtrent \(15\,000\) kroner.

Rentedelen er omtrent \(8\,500\) kroner.

Steg 2 — Finn andelen

\[\dfrac{8500}{15000}\approx0{,}57\]

Vi deler rentedelen på totalbeløpet. …