Matematikk 1P Eksamen våren 2011 (K06) – løsningsforslag

ifingo · løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen Vår 2011 – løsningsforslag

Fullstendig, trinnvis løsning på hele settet. Del 1 er løst med håndregning. Del 2 viser digitale kontroller med GeoGebra og Python der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Valuta og proporsjonalitet

Oppgave 1a

Oppgave:

Markus har vært på Island. I banken betalte han 5,25 norske kroner for 100 islandske kroner (ISK).

Markus besøkte Hallgrimskirka i Reykjavik. Det kostet 500 ISK å komme opp i kirketårnet.

Hvor mye tilsvarte dette i norske kroner?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre om fra islandske kroner til norske kroner ved å bruke kursen i teksten.

Steg 1 — Finn verdien av 1 ISK

\[1\text{ ISK}=\dfrac{5{,}25}{100}\text{ NOK}=0{,}0525\text{ NOK}\]

Vi deler på 100 fordi kursen gjelder for 100 ISK.

Steg 2 — Gang med 500 ISK

\[500\cdot 0{,}0525=26{,}25\]

Da får vi prisen i norske kroner.

Steg 3 — Skriv med riktig enhet

\[500\text{ ISK}=26{,}25\text{ NOK}\]

Valuta må alltid stå tydelig i svaret.

Tolkning

Billetten opp i kirketårnet kostet 26,25 kroner.

Vanlig feil: Å glemme at kursen gjelder for 100 ISK, ikke for 1 ISK. Fasit: \(26{,}25\) kroner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Overslag

Oppgave 1b

Oppgave:

Markus fant etter hvert en enkel metode for å gjøre overslagsregning fra islandske kroner til norske kroner:

«Jeg stryker først en null på slutten av det islandske beløpet. Så deler jeg det som står igjen, på to. Da finner jeg ut omtrent hvor mange norske kroner det islandske beløpet tilsvarer.»

Forklar hvorfor denne metoden gir et godt overslag.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hvorfor hoderegningsmetoden gir omtrent riktig norsk beløp.

Steg 1 — Skriv kursen som pris per ISK

\[100\text{ ISK}=5{,}25\text{ NOK}\]

Dette betyr at beløpet i ISK omtrent skal ganges med \(0{,}0525\).

Steg 2 — Tolk metoden til Markus

\[\text{stryke én null og dele på }2 = \dfrac{x}{10}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{x}{20}\]

Metoden tilsvarer å gange det islandske beløpet med \(0{,}05\).

Steg 3 — Sammenlign med riktig kurs

\[0{,}0525\approx 0{,}05\]

Forskjellen er liten, derfor blir overslaget ganske godt.

Tolkning

Markus bruker en enkel avrunding av kursen. Derfor får han et raskt og rimelig overslag.

Vanlig feil: Å tro at metoden gir nøyaktig svar. Den gir bare et overslag. Fasit: Metoden er god fordi \(5{,}25\) kroner per \(100\) ISK ligger nær \(5\) kroner per \(100\) ISK. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Prosent

Oppgave 1c

Oppgave:

Markus tok buss fra flyplassen i Keflavik til busstasjonen i Reykjavik. Da han skulle kjøpe billett, fikk han tilbud om å kjøpe en enveisbillett for 1950 ISK eller en tur-retur-billett for 3500 ISK.

Markus valgte å kjøpe en tur-retur-billett.

Gjør overslag og finn ut omtrent hvor mange prosent han sparte på det.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenligne prisen for to enveisbilletter med en tur-retur-billett.

Steg 1 — Finn prisen for to enveisbilletter

\[2\cdot 1950=3900\text{ ISK}\]

Tur-retur med enveisbilletter ville kostet 3900 ISK.

Steg 2 — Finn hvor mye han sparte

\[3900-3500=400\text{ ISK}\]

Dette er forskjellen mellom alternativene.

Steg 3 — Regn prosent av opprinnelig pris

\[\dfrac{400}{3900}\approx 0{,}10=10\%\]

Vi sammenligner med prisen han måtte betalt uten tur-retur-billetten.

Tolkning

Tur-retur-billetten gjorde reisen omtrent 10 prosent billigere.

Vanlig feil: Å dele på 3500 i stedet for 3900. Spart prosent bør måles mot prisen uten rabatt. Fasit: Omtrent \(10\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Proporsjonalitet

Oppgave 2a

Oppgave:

Hårsprayen «Hard Head» selges i tre ulike størrelser. Biggie inneholder 600 mL, Normal inneholder 400 mL og Mini inneholder 100 mL.

En sprayboks med 400 mL hårspray koster 140 kroner.

Hva skulle «Biggie» og «Mini» kostet dersom pris og milliliter hadde vært proporsjonale størrelser?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke samme pris per milliliter for alle størrelsene.

Steg 1 — Finn pris per mL

\[\dfrac{140}{400}=0{,}35\]

Normalboksen koster 0,35 kroner per mL.

Steg 2 — Regn pris for Biggie

\[600\cdot 0{,}35=210\]

Vi ganger volumet med pris per mL.

Steg 3 — Regn pris for Mini

\[100\cdot 0{,}35=35\]

Samme forholdstall brukes for Mini.

Tolkning

Dersom pris og innhold er proporsjonale, skal dobbelt så mye innhold koste dobbelt så mye.

Vanlig feil: Å sammenligne med 140 kroner uten først å finne pris per mL. Fasit: Biggie skulle kostet \(210\) kroner, og Mini skulle kostet \(35\) kroner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Indeks

Oppgave 2b

Oppgave:

I 2008 kostet en vare 550 kroner. Indeksen for denne varen var da 110.

I 2010 kostet varen 600 kroner.

Hva var indeksen for varen i 2010?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne indeksen i 2010 når vi kjenner en pris og en indeks fra 2008.

Steg 1 — Finn basisprisen

\[\dfrac{550}{110}\cdot 100=500\]

Indeks 100 tilsvarer en pris på 500 kroner.

Steg 2 — Finn indeksen i 2010

\[\dfrac{600}{500}\cdot 100=120\]

Vi sammenligner prisen i 2010 med basisprisen.

Tolkning

Indeks 120 betyr at prisen er 20 prosent høyere enn basisprisen.

Vanlig feil: Å sammenligne 600 direkte med 550 og kalle det indeksen. Fasit: Indeksen i 2010 var \(120\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2c Målestokk

Oppgave 2c

Oppgave:

4 cm på et kart tilsvarer 60 km i virkeligheten.

Hvilken målestokk har kartet?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive forholdet mellom kartlengde og virkelig lengde i samme enhet.

Steg 1 — Gjør kilometer om til centimeter

\[60\text{ km}=6\,000\,000\text{ cm}\]

Målestokk må ha samme enhet på begge sider.

Steg 2 — Skriv forholdet

\[4:6\,000\,000\]

Dette betyr 4 cm på kartet mot 6 000 000 cm i virkeligheten.

Steg 3 — Forkort forholdet

\[4:6\,000\,000=1:1\,500\,000\]

Vi deler begge tall på 4.

Tolkning

1 cm på kartet svarer til 1 500 000 cm i virkeligheten, altså 15 km.

Vanlig feil: Å glemme å gjøre kilometer om til centimeter. Fasit: Målestokken er \(1:1\,500\,000\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2d Areal av sirkel

Oppgave 2d

Oppgave:

Maria har tegnet en sirkel med radius 2 cm.

Tommy vil tegne en sirkel som har fire ganger så stort areal som sirkelen til Maria.

Hvor stor må radius i denne sirkelen være?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne radiusen når arealet skal bli fire ganger så stort.

Steg 1 — Skriv arealformelen

\[A=\pi r^2\]

Arealet avhenger av radius opphøyd i andre.

Steg 2 — Se hva firedobling betyr

\[(2r)^2=4r^2\]

Hvis radius dobles, blir arealet fire ganger så stort.

Steg 3 — Dobbel radiusen

\[2\cdot 2\text{ cm}=4\text{ cm}\]

Tommy må derfor bruke radius 4 cm.

Tolkning

For å få fire ganger så stort sirkelareal må radiusen dobles.

Vanlig feil: Å gange radius med 4. Det ville gitt 16 ganger så stort areal. Fasit: Radius må være \(4\) cm. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2e Prosentvis vekst

Oppgave 2e

Oppgave:

En vare selges i to forskjellige butikker. Prisen er den samme i begge butikkene. I butikk A settes prisen opp med 20 %. I butikk B settes prisen først opp med 10 % og så etter noen dager med 10 % til.

Marit påstår at prisen da fremdeles er den samme i begge butikkene.

Forklar Marit hvorfor dette ikke er riktig. Bruk gjerne et eksempel når du forklarer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hvorfor to økninger på 10 prosent ikke er det samme som én økning på 20 prosent.

Steg 1 — Velg en enkel startpris

\[100\text{ kroner}\]

En startpris på 100 kroner gjør prosentene lette å se.

Steg 2 — Butikk A

\[100\cdot 1{,}20=120\]

20 prosent økning gir 120 kroner.

Steg 3 — Butikk B

\[100\cdot 1{,}10\cdot 1{,}10=121\]

Den andre 10-prosentøkningen tas av 110 kroner, ikke av 100 kroner.

Tolkning

Butikk B får høyest pris. To prosentøkninger etter hverandre virker på en ny og større pris.

Vanlig feil: Å legge sammen prosentene uten å ta hensyn til vekstfaktorer. Fasit: Marit tar feil. To økninger på \(10\%\) gir vekstfaktor \(1{,}10\cdot1{,}10=1{,}21\), altså \(21\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2f Geometri

Oppgave 2f

Oppgave:

En kloss har form som et rett trekantet prisme. \(\angle A=90^\circ\), \(AB=3{,}0\) cm, \(AC=4{,}0\) cm og høyden er \(3{,}5\) cm.

1) Regn ut volumet av klossen.

2) Regn ut overflaten av klossen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først finne volumet og deretter alle flatene i prismet.

Steg 1 — Finn arealet av trekantgrunnflaten

\[G=\dfrac{3{,}0\cdot 4{,}0}{2}=6{,}0\text{ cm}^2\]

Trekanten er rettvinklet, så katetene kan brukes direkte. …