Matematikk 1P Eksamen høsten 2022 (LK20) – løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen Høst 2022 – løsningsforslag

Fullstendig, trinnvis løsning på hele eksamenssettet. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser digitale kontroller med GeoGebra CAS, regnearkoppsett og Python der det passer.

Alle oppgaver er skrevet på bokmål og matematikken er formatert med MathJax.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Prosent og promille

Oppgave 1a

Oppgave:

I 2022 må innbyggerne i Lindesnes kommune betale 3,0 ‰ i eiendomsskatt. Eiendomsskatten beregnes ut fra en eiendoms likningsverdi.

Familien Hansen har en bolig med likningsverdi 2 500 000 kroner.

a) Hvor mye betaler familien Hansen i eiendomsskatt i 2022?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne 3,0 promille av likningsverdien.

Steg 1 — Skriv promille som brøk

\[3{,}0\,\text{‰}=\dfrac{3}{1000}\]

Promille betyr tusendeler.

Steg 2 — Finn skatten

\[2\,500\,000\cdot \dfrac{3}{1000}=7500\]

Vi tar samme andel av likningsverdien.

Steg 3 — Kontroll

\[7500\cdot 1000=7\,500\,000=3\cdot 2\,500\,000\]

Dette bekrefter at 7500 er 3 promille av verdien.

Tolkning

Familien betaler 7500 kroner i eiendomsskatt i 2022.

Vanlig feil: Å tolke 3,0 ‰ som 3 %, som gir ti ganger for høyt svar. Fasit: \(7500\) kroner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Prosentpoeng

Oppgave 1b

Oppgave:

I 2023 vil satsen øke fra 3,0 ‰ til 3,5 ‰.

b) Hvor mange prosentpoeng er endringen på?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne endringen i satsen uttrykt i prosentpoeng.

Steg 1 — Gjør promille om til prosent

\[3{,}0\,\text{‰}=0{,}30\,\%,\qquad 3{,}5\,\text{‰}=0{,}35\,\%\]

Promille deles på 10 for å få prosent.

Steg 2 — Finn differansen i prosentpoeng

\[0{,}35\,\%-0{,}30\,\%=0{,}05\,\text{prosentpoeng}\]

Prosentpoeng er forskjellen mellom to prosentsatser.

Steg 3 — Kontroll

\[3{,}5\,\text{‰}-3{,}0\,\text{‰}=0{,}5\,\text{‰}=0{,}05\,\%\]

Samme endring fås direkte fra promillesatsene.

Tolkning

Satsen øker med 0,05 prosentpoeng.

Vanlig feil: Å svare med relativ prosentøkning. Her spør oppgaven om prosentpoeng. Fasit: \(0{,}05\) prosentpoeng. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Areal og prosent

Oppgave 2

Oppgave:

David eier en tomt. Arealet av tomten er 600 m2. Reguleringsplanen for tomten har et krav som sier at han ikke kan bygge på mer enn 30 % av tomtens areal.

På tomten ønsker David å bygge

• en bolig som har en grunnflate med areal 140 m2
• en garasje med bredde 6 m og lengde 8 m

Gjør beregninger, og avgjør om det vil være mulig for David å bygge både huset og garasjen på tomten dersom han skal holde seg innenfor kravet i reguleringsplanen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne samlet grunnflate med 30 % av tomtearealet.

Steg 1 — Finn største tillatte bebygde areal

\[600\cdot 0{,}30=180\]

Han kan bygge på maksimalt 180 \(\text{m}^2\).

Steg 2 — Finn arealet av garasjen

\[6\cdot 8=48\]

Garasjen er et rektangel.

Steg 3 — Finn samlet bebygd areal

\[140+48=188\]

Bolig og garasje må legges sammen.

Steg 4 — Sammenlikn med kravet

\[188>180\]

Samlet areal er 8 \(\text{m}^2\) for mye.

Tolkning

David kan ikke bygge både huset og garasjen slik han ønsker, hvis han må holde seg innenfor reguleringsplanen.

Vanlig feil: Å glemme garasjearealet eller å regne 30 % av bare boligarealet. Fasit: Nei. Samlet grunnflate er \(188\,\text{m}^2\), men maks tillatt er \(180\,\text{m}^2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Funksjoner

Oppgave 3a

Oppgave:

Ovenfor ser du grafen til en funksjon \(f\).

a) Sett opp et mulig uttrykk for \(f(x)\). Husk å forklare hvordan du tenker.

Skisse av punktene og formen i oppgaven. Kurven passer med en kvadratrotfunksjon. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et uttrykk som passer punktene på grafen.

Steg 1 — Les av punkter

\[(4,2),\ (25,5),\ (49,7),\ (81,9),\ (100,10)\]

Alle y-verdiene er kvadratroten av x-verdiene.

Steg 2 — Se mønsteret

\[\sqrt{4}=2,\quad \sqrt{25}=5,\quad \sqrt{49}=7\]

Dette peker mot en kvadratrotfunksjon.

Steg 3 — Skriv et mulig uttrykk

\[f(x)=\sqrt{x}\]

Uttrykket passer både formen og punktene i grafen.

Tolkning

Grafen kan representere en funksjon der y-verdien er kvadratroten av x-verdien.

Vanlig feil: Å lage en lineær modell. Punktene ligger ikke på en rett linje. Fasit: Et mulig uttrykk er \(f(x)=\sqrt{x}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Funksjonsverdier

Oppgave 3b

Oppgave:

b) Bestem, hvis det er mulig, \(f(16)\), \(f(400)\), \(f\left(\dfrac{9}{4}\right)\) og \(f(-25)\).

Om du mener det ikke er mulig å bestemme én eller flere av verdiene, må du huske å argumentere for dette.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker uttrykket \(f(x)=\sqrt{x}\), og vurderer hvilke x-verdier som er lovlige.

Steg 1 — Finn \(f(16)\)

\[f(16)=\sqrt{16}=4\]

16 er et positivt kvadrattall.

Steg 2 — Finn \(f(400)\)

\[f(400)=\sqrt{400}=20\]

400 er også et positivt kvadrattall.

Steg 3 — Finn \(f\left(\dfrac{9}{4}\right)\)

\[f\left(\dfrac{9}{4}\right)=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}\]

Vi tar kvadratroten av teller og nevner.

Steg 4 — Vurder \(f(-25)\)

\[\sqrt{-25}\]

I 1P arbeider vi med reelle tall. Kvadratroten av et negativt tall er derfor ikke definert her.

Tolkning

Funksjonen kan bare brukes for \(x\ge 0\) i denne sammenhengen.

Vanlig feil: Å skrive \(f(-25)=-5\). Det ville krevd at \((-5)^2=-25\), men \((-5)^2=25\). Fasit: \(f(16)=4\), \(f(400)=20\), \(f\left(\dfrac{9}{4}\right)=\dfrac{3}{2}\), og \(f(-25)\) er ikke mulig å bestemme som reell verdi. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a Lineær modell

Oppgave 4a

Oppgave:

I USA brukes gallon (US gallon) som måleenhet for volumer av flytende varer. Den grafiske framstillingen nedenfor viser sammenhengen mellom gallon og liter.

a) Bestem stigningstallet til den rette linjen. Gi en praktisk tolkning av dette tallet.

Den rette linjen brukes til å finne liter per US gallon. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor mange liter én US gallon tilsvarer.

Steg 1 — Bruk to punkter fra grafen

\[(42,159)\quad \text{og}\quad (142,538)\]

Stigningstallet finner vi fra endring i y delt på endring i x.

Steg 2 — Regn stigningstallet

\[a=\dfrac{538-159}{142-42}=\dfrac{379}{100}=3{,}79\] …