Matematikk 1P Eksamen høsten 2015 (K06) – løsningsforslag

Matematikk 1P eksamen høst 2015 – løsningsforslag

Fullstendig, trinnvis løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser regneark, GeoGebra og Python der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Prosent og forhold

Oppgave 1a

Oppgave:

1,0 g salt inneholder 0,4 g natrium. Helsemyndighetene anbefaler et inntak av natrium på maksimalt 2,4 g per dag. Hvor mange gram salt kan du maksimalt innta i løpet av en dag dersom du skal følge anbefalingen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne om fra natrium til salt når forholdet mellom dem er kjent.

Steg 1 — Skriv forholdet

\[1{,}0\text{ g salt} \rightarrow 0{,}4\text{ g natrium}\]

Dette betyr at natrium utgjør \(0{,}4\) g for hvert gram salt.

Steg 2 — Del anbefalt natrium på natrium per gram salt

\[\dfrac{2{,}4}{0{,}4}=6\]

Vi finner hvor mange gram salt som gir \(2{,}4\) g natrium.

Tolkning

Du kan maksimalt spise 6 g salt hvis du skal holde deg til anbefalingen.

Vanlig feil: Å multiplisere i stedet for å dividere med \(0{,}4\). Fasit: \(6\) g salt. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Prosent og forhold

Oppgave 1b

Oppgave:

100 g pizza inneholder 0,8 g salt. En porsjon pizza er beregnet til 300 g. Hvor mange gram salt inneholder en porsjon pizza?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skalere saltmengden fra 100 g pizza til 300 g pizza.

Steg 1 — Finn skaleringsfaktoren

\[\dfrac{300}{100}=3\]

En porsjon er tre ganger så stor som 100 g.

Steg 2 — Multipliser saltmengden

\[0{,}8\cdot 3=2{,}4\]

Saltmengden blir også tre ganger så stor.

Tolkning

En porsjon pizza inneholder 2,4 g salt.

Fasit: \(2{,}4\) g salt. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Prosent

Oppgave 1c

Oppgave:

Hvor mange prosent av anbefalt daglig inntak av natrium svarer dette til?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Saltmengden fra pizzaen må først gjøres om til natrium, og deretter sammenliknes med anbefalingen.

Steg 1 — Finn natrium i \(2{,}4\) g salt

\[2{,}4\cdot 0{,}4=0{,}96\]

Hvert gram salt inneholder \(0{,}4\) g natrium.

Steg 2 — Finn prosent av anbefalt mengde

\[\dfrac{0{,}96}{2{,}4}\cdot 100\,\%=40\,\%\]

Vi deler faktisk natriummengde på anbefalt maksimal mengde.

Tolkning

Én porsjon pizza gir 40 % av anbefalt daglig maksimum for natrium.

Vanlig feil: Å sammenlikne saltmengden direkte med natriumanbefalingen uten å regne salt om til natrium. Fasit: \(40\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Funksjoner

Oppgave 2a

Oppgave:

Funksjonene \(f\) og \(g\) er gitt ved \[f(x)=\dfrac{1}{2}x\] \[g(x)=-x+3\] Tegn grafene til \(f\) og \(g\) i samme koordinatsystem, og bestem skjæringspunktet grafisk.

Vis løsning Skissen viser at linjene møtes i punktet \( (2,1) \).

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne to rette linjer og lese av punktet der linjene krysser hverandre.

Steg 1 — Bruk to punkter på hver linje

\[f(0)=0,\quad f(2)=1\]

Dette gir punktene \((0,0)\) og \((2,1)\) for \(f\).

Steg 2 — Bruk to punkter på \(g\)

\[g(0)=3,\quad g(3)=0\]

Dette gir punktene \((0,3)\) og \((3,0)\) for \(g\).

Steg 3 — Les av skjæringspunktet

Fra grafen ser vi at linjene møtes omtrent i \((2,1)\).

Tolkning

Ved \(x=2\) har funksjonene samme verdi, nemlig \(y=1\).

Fasit: Skjæringspunktet er \((2,1)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Likninger

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem skjæringspunktet ved regning.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? I skjæringspunktet er funksjonsverdiene like. Derfor setter vi \(f(x)=g(x)\).

Steg 1 — Sett funksjonene lik hverandre

\[\dfrac{1}{2}x=-x+3\]

Dette er likningen som gjelder i skjæringspunktet.

Steg 2 — Samle x-leddene

\[\dfrac{1}{2}x+x=3\]

Vi flytter \(-x\) over på venstre side.

Steg 3 — Løs likningen

\[\dfrac{3}{2}x=3\quad\Rightarrow\quad x=2\]

Da har vi funnet x-koordinaten.

Steg 4 — Finn y-koordinaten

\[f(2)=\dfrac{1}{2}\cdot 2=1\]

Vi setter \(x=2\) inn i en av funksjonene.

Kontroll

\[g(2)=-2+3=1\]

Begge funksjonene gir samme y-verdi.

Fasit: Skjæringspunktet er \((2,1)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Økonomi og indeks

Oppgave 3

Oppgave:

Et år hadde Siri en reallønn på 360 000 kroner. Den nominelle lønnen til Siri dette året var 450 000 kroner. Bestem konsumprisindeksen dette året.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne konsumprisindeksen når nominell lønn og reallønn er kjent.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

\[\text{Reallønn}=\dfrac{\text{nominell lønn}}{\text{KPI}}\cdot 100\]

Konsumprisindeksen justerer nominell lønn til reallønn.

Steg 2 — Løs for KPI

\[\text{KPI}=\dfrac{450000}{360000}\cdot 100\]

Vi snur formelen slik at indeksen blir ukjent størrelse.

Steg 3 — Regn ut

\[\text{KPI}=125\]

Indeksen er større enn 100 fordi nominell lønn er større enn reallønn.

Tolkning

KPI på 125 betyr at prisnivået er 25 % høyere enn i basisåret.

Fasit: Konsumprisindeksen er \(125\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Omvendt proporsjonalitet

Oppgave 4

Oppgave:

Tabellen viser pris per softis og antall solgte softis i tre ulike kiosker en dag. Pris per softis: 20, 25 og 40 kroner. Antall solgte softis: 200, 160 og 100. Gjør beregninger og avgjør om pris per softis og antall solgte softis er omvendt proporsjonale størrelser.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal teste om produktet av pris og antall er konstant.

Pris	Antall	Produkt
20	200	4000
25	160	4000
40	100	4000

Steg 1 — Regn produktet for hver kiosk

\[20\cdot 200=4000\]

Produktet er samlet inntekt for kiosken.

Steg 2 — Sjekk de andre produktene

\[25\cdot 160=4000,\quad 40\cdot 100=4000\]

Alle produktene er like.

Tolkning

Når prisen øker, går antallet ned slik at produktet er konstant.

Vanlig feil: Å sjekke differanser i stedet for produkter. Fasit: Pris og antall solgte softis er omvendt proporsjonale. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5a Formler

Oppgave 5a

Oppgave:

Formlene kan brukes for å anslå hvor høyt et barn vil bli i voksen alder. Gutt: \((\text{fars høyde}+\text{mors høyde})\cdot 0{,}5+7\) cm. Jente: \((\text{fars høyde}+\text{mors høyde})\cdot 0{,}5-7\) cm. Mor er 160 cm høy, og far er 180 cm høy. Hvor høye vil Ola og Kari bli i voksen alder ifølge formlene?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette foreldrenes høyder inn i de to formlene.

Steg 1 — Finn gjennomsnittet av foreldrenes høyder

\[(180+160)\cdot 0{,}5=170\]

Begge formlene starter med gjennomsnittlig foreldrehøyde.

Steg 2 — Bruk gutteformelen

\[170+7=177\]

For gutt legger vi til 7 cm.

Steg 3 — Bruk jenteformelen

\[170-7=163\]

For jente trekker vi fra 7 cm.

Tolkning

Formlene gir et anslag, ikke en sikker fasit for barnas høyde.

Fasit: Ola blir anslått til \(177\) cm, og Kari blir anslått til \(163\) cm. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5b Formler

Oppgave 5b

Oppgave:

En annen familie består av mor, far og sønnen Per, som nå er voksen. Far er 186 cm høy. Per er 189 cm høy. Hvor høy er mor i denne familien ifølge den første formelen ovenfor?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nå kjenner vi sønnens høyde og farens høyde, og skal finne mors høyde.

Steg 1 — Sett opp likningen

\[(186+m)\cdot 0{,}5+7=189\]

Vi bruker gutteformelen fordi Per er sønn.

Steg 2 — Trekk fra 7

\[(186+m)\cdot 0{,}5=182\]

Vi isolerer gjennomsnittsleddet.

Steg 3 — Multipliser med 2

\[186+m=364\] …