Fullstendig løsningsforslag til Matematikk R1 Eksamen våren 2026 (LK20). Steg-for-steg med «Vis løsning» og ifingo-læreren.
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-10-13
ifingo · Matematikk R1
Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.
Hva spør oppgaven om? Vi deriverer hvert ledd og skriver brøkleddet som en negativ potens.
\(\frac{3}{x-2}=3(x-2)^{-1}\).
\(\frac{d}{dx}(3x^2)=6x\), mens konstanten \(-5\) har derivert lik 0.
\[\frac{d}{dx}\left(3(x-2)^{-1}\right)=3\cdot(-1)(x-2)^{-2}\cdot1=-\frac{3}{(x-2)^2}.\]
\[h\prime(x)=6x-\frac{3}{(x-2)^2},\qquad x\ne2.\]
Den deriverte er bare definert der den opprinnelige funksjonen er definert, altså for \(x\ne2\).
Tolkning: CAS bekrefter potens- og kjerneregelen.
import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" ) h = 3 * x ** 2 - 5 + 3 / ( x - 2 ) h_prime = sp . simplify ( sp . diff ( h , x )) print ( "h(x) =" , h ) print ( "Derivative of 3*x**2 =" , sp . diff ( 3 * x ** 2 , x )) print ( "Derivative of -5 =" , sp . diff ( - 5 , x )) print ( "Derivative of 3/(x-2) =" , sp . diff ( 3 / ( x - 2 ), x )) print ( "h'(x) =" , h_prime ) print ( "Domain restriction: x != 2" ) Utskrift fra Python: h(x) = 3*x**2 - 5 + 3/(x - 2) Derivative of 3*x**2 = 6*x Derivative of -5 = 0 Derivative of 3/(x-2) = -3/(x - 2)**2 h'(x) = 6*x - 3/(x - 2)**2 Domain restriction: x != 2
Fasit: \(h\prime(x)=6x-\frac{3}{(x-2)^2}\), for \(x\ne2\).
Vanlig feil: Å glemme minusfortegnet når \((x-2)^{-1}\) deriveres. Sensorpunkt: Sensor forventer synlig potensregel, kjerneregel og korrekt definisjonsbegrensning. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Nullpunkt i eksponentialfunksjonHva spør oppgaven om? Vi bruker nullproduktregelen og at \(e^x\) alltid er positiv.
Et produkt er null dersom minst en faktor er null.
\(e^x>0\) for alle reelle \(x\). Faktoren kan derfor aldri bli null.
\[6-e^x=0\Rightarrow e^x=6\Rightarrow x=\ln6.\]
Funksjonsverdien er 0, så nullpunktet er \((\ln6,0)\).
\(\ln6\approx1,792\), og da er \(e^x\approx6\).
Tolkning: Eksponentialfaktoren er positiv og den andre faktoren gir eneste løsning.
import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) f = sp . exp ( x ) * ( 6 - sp . exp ( x )) solutions = sp . solve ( sp . Eq ( f , 0 ), x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "e**x is positive for every real x" ) print ( "Solutions =" , solutions ) for value in solutions : print ( "x =" , value , "f(x) =" , sp . simplify ( f . subs ( x , value ))) print ( "Decimal x =" , sp . N ( solutions [ 0 ], 12 )) Utskrift fra Python: f(x) = (6 - exp(x))*exp(x) e**x is positive for every real x Solutions = [log(6)] x = log(6) f(x) = 0 Decimal x = 1.79175946923
Fasit: Nullpunktet er \((\ln6,0)\).
Vanlig feil: Å sette \(e^x=0\). Det finnes ingen reell løsning av den likningen. Sensorpunkt: Begrunnelsen om at \(e^x>0\) og det eksakte koordinatet skal være med. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Produktregel og faktoriseringHva spør oppgaven om? Vi deriverer produktet og faktoriserer resultatet.
La \(u=e^x\) og \(v=6-e^x\). Da er \(u\prime=e^x\) og \(v\prime=-e^x\).
\[f\prime=u\prime v+uv\prime=e^x(6-e^x)-e^{2x}.\]
\[f\prime(x)=6e^x-2e^{2x}.\]
Trekk ut \(2e^x\): \[6e^x-2e^{2x}=2e^x(3-e^x).\]
Dermed er uttrykket i oppgaven vist.
Tolkning: CAS deriverer og trekker ut felles faktor.
import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) f = sp . exp ( x ) * ( 6 - sp . exp ( x )) raw = sp . diff ( f , x ) factored = sp . factor ( raw ) target = 2 * sp . exp ( x ) * ( 3 - sp . exp ( x )) print ( "f(x) =" , f ) print ( "Product-rule derivative =" , raw ) print ( "Expanded derivative =" , sp . expand ( raw )) print ( "Factored derivative =" , factored ) print ( "Target =" , target ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( raw - target )) Utskrift fra Python: f(x) = (6 - exp(x))*exp(x) Product-rule derivative = (6 - exp(x))*exp(x) - exp(2*x) Expanded derivative = -2*exp(2*x) + 6*exp(x) Factored derivative = -2*(exp(x) - 3)*exp(x) Target = 2*(3 - exp(x))*exp(x) Difference = 0
Fasit: \(f\prime(x)=2e^x(3-e^x)\).
Vanlig feil: Å derivere produktet som produktet av de deriverte. Sensorpunkt: Produktregelen og faktoriseringen må være synlige. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2c Toppunkt ved fortegnsanalyseHva spør oppgaven om? Vi løser \(f\prime(x)=0\) og undersøker fortegnet til den deriverte.
\[2e^x(3-e^x)=0.\] Siden \(2e^x>0\), må \(3-e^x=0\).
\[e^x=3\Rightarrow x=\ln3.\]
\[f(\ln3)=3(6-3)=9.\]
For \(x<\ln3\) er \(e^x<3\), så \(f\prime>0\). For \(x>\ln3\) er \(f\prime<0\).
Grafen går fra voksende til avtakende, så \((\ln3,9)\) er et toppunkt. Det finnes ikke noe bunnpunkt.
Grafen vokser fram til (ln 3, 9) og avtar deretter.Tolkning: Fortegnsskiftet er fra pluss til minus.
import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) f = sp . exp ( x ) * ( 6 - sp . exp ( x )) f_prime = sp . factor ( sp . diff ( f , x )) critical = sp . solve ( sp . Eq ( f_prime , 0 ), x ) print ( "f'(x) =" , f_prime ) print ( "Critical x-values =" , critical ) for value in critical : print ( "Point =" , ( value , sp . simplify ( f . subs ( x , value )))) print ( "f'(ln(3)-1) =" , sp . N ( f_prime . subs ( x , sp . log ( 3 ) - 1 ), 10 )) print ( "f'(ln(3)+1) =" , sp . N ( f_prime . subs ( x , sp . log ( 3 ) + 1 ), 10 )) print ( "Classification: maximum" ) Utskrift fra Python: f'(x) = -2*(exp(x) - 3)*exp(x) Critical x-values = [log(3)] Point = (log(3), 9) f'(ln(3)-1) = 4.185794843 f'(ln(3)+1) = -84.07393687 Classification: maximum
Fasit: Toppunktet er \((\ln3,9)\). Det finnes ikke noe bunnpunkt.
Vanlig feil: Å bare løse \(f\prime=0\) uten å klassifisere punktet. Sensorpunkt: Sensor ser etter kritisk verdi, funksjonsverdi og et tydelig fortegnsskifte. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a Sammenlikning av logaritmer og potenserHva spør oppgaven om? Vi regner ut eller vurderer hvert uttrykk.
\(\lg7\approx0,8451\).
\(\ln1=0\), så \(e^{3\ln1}=e^0=1\).
\[\sqrt[4]{3^3}=3^{3/4}\approx2,2795.\]
\(\log_2 8=3\), fordi \(2^3=8\).
\[\lg7<e^{3\ln1}<\sqrt[4]{3^3}<\log_2 8.\]
Tolkning: Tallverdiene gir rekkefolgen direkte. …