Matematikk R1 Våren 2019 (REA3022) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - våren 2019 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon med rotuttrykk

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=x^3+2x^2-\sqrt{x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere hvert ledd. Rotleddet skrives som en potens, og vi må samtidig merke oss at den deriverte bare er definert for \(x>0\).

Steg 1 - Skriv roten som potens

\(\sqrt{x}=x^{1/2}\), så \(f(x)=x^3+2x^2-x^{1/2}\).

Steg 2 - Deriver tredjegradsleddet

Potensregelen gir \(\frac{d}{dx}x^3=3x^2\).

Steg 3 - Deriver andregradsleddet

\(\frac{d}{dx}(2x^2)=4x\).

Steg 4 - Deriver rotleddet

\(\frac{d}{dx}(-x^{1/2})=-\frac12x^{-1/2}\).

Steg 5 - Skriv med rottegn

\(-\frac12x^{-1/2}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\).

Steg 6 - Samle resultatet

\[f^{\prime}(x)=3x^2+4x-\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad x>0.\]

Steg 7 - Vurder endepunktet

Funksjonen er definert ved \(x=0\), men differansekvotienten fra høyre går mot \(-\infty\), så den vanlige deriverte finnes ikke der.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x^3+2x^2-sqrt(x),x] \(3x^2+4x-1/(2\sqrt{x})\)

Tolkning: CAS gir samme uttrykk og viser at rotleddet krever x > 0.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", positive=True) f = x**3 + 2*x**2 - sp.sqrt(x) terms = [x**3, 2*x**2, -sp.sqrt(x)] derivatives = [sp.diff(term, x) for term in terms] f_prime = sp.simplify(sp.diff(f, x)) print("f(x) =", f) print("Term derivatives =", derivatives) print("f'(x) =", f_prime) print("Expected form =", 3*x**2 + 4*x - 1/(2*sp.sqrt(x))) print("Difference check =", sp.simplify(f_prime-(3*x**2+4*x-1/(2*sp.sqrt(x)))))

Utskrift fra Python: f(x) = -sqrt(x) + x**3 + 2*x**2 Term derivatives = [3*x**2, 4*x, -1/(2*sqrt(x))] f'(x) = 3*x**2 + 4*x - 1/(2*sqrt(x)) Expected form = 3*x**2 + 4*x - 1/(2*sqrt(x)) Difference check = 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=3x^2+4x-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) for \(x>0\).

Vanlig feil: Å derivere \(\sqrt{x}\) som \(1/(2x)\), eller å glemme minustegnet foran rotleddet. Sensorpunkt: Potensregelen for \(x^{1/2}\), korrekt fortegn og riktig definisjonsområde for den deriverte skal komme fram. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=x^2\ln(2x-1).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt. Logaritmeleddet krever også kjerneregelen, og definisjonsmengden er \(x>1/2\).

Steg 1 - Velg faktorene

Sett \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=\ln(2x-1)\).

Steg 2 - Deriver u

\(u^{\prime}(x)=2x\).

Steg 3 - Deriver v

Kjerneregelen gir \[v^{\prime}(x)=\frac{2}{2x-1}.\]

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[g^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\]

Steg 5 - Sett inn

\[g^{\prime}(x)=2x\ln(2x-1)+x^2\frac{2}{2x-1}.\]

Steg 6 - Forenkle

\[g^{\prime}(x)=2x\ln(2x-1)+\frac{2x^2}{2x-1}.\]

Steg 7 - Oppgi området

Uttrykket gjelder for \(x>1/2\), som er definisjonsmengden til den opprinnelige funksjonen.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x^2 ln(2x-1),x] \(2x\ln(2x-1)+2x^2/(2x-1)\)

Tolkning: GeoGebra bruker både produktregelen og kjerneregelen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) u = x**2 v = sp.log(2*x - 1) u_prime = sp.diff(u, x) v_prime = sp.diff(v, x) product_rule = sp.simplify(u_prime*v + u*v_prime) direct = sp.simplify(sp.diff(u*v, x)) print("u(x) =", u) print("v(x) =", v) print("u'(x) =", u_prime) print("v'(x) =", v_prime) print("Product-rule result =", product_rule) print("Direct derivative =", direct) print("Difference check =", sp.simplify(product_rule-direct))

Utskrift fra Python: u(x) = x**2 v(x) = log(2*x - 1) u'(x) = 2*x v'(x) = 2/(2*x - 1) Product-rule result = 2*x*(x + (2*x - 1)*log(2*x - 1))/(2*x - 1) Direct derivative = 2*x*(x + (2*x - 1)*log(2*x - 1))/(2*x - 1) Difference check = 0

Fasit: \(g^{\prime}(x)=2x\ln(2x-1)+\dfrac{2x^2}{2x-1}\), \(x>1/2\).

Vanlig feil: Å bruke bare produktregelen og glemme at \(\ln(2x-1)\) må deriveres med kjerneregelen. Sensorpunkt: Begge reglene og faktoren 2 fra den indre funksjonen skal være synlige. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Produktregel med eksponentialfunksjon

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \[h(x)=\frac{4x}{e^{2x}}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skriver brøken som et produkt med negativ eksponent og bruker produktregelen sammen med kjerneregelen.

Steg 1 - Skriv om

\[h(x)=4x e^{-2x}.\]

Steg 2 - Deriver første faktor

\((4x)^{\prime}=4\).

Steg 3 - Deriver eksponentialfaktoren

\((e^{-2x})^{\prime}=-2e^{-2x}\).

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[h^{\prime}(x)=4e^{-2x}+4x(-2e^{-2x}).\]

Steg 5 - Samle leddene

\[h^{\prime}(x)=4e^{-2x}-8xe^{-2x}.\]

Steg 6 - Faktoriser

\[h^{\prime}(x)=4(1-2x)e^{-2x}.\]

Steg 7 - Skriv som brøk

\[h^{\prime}(x)=\frac{4(1-2x)}{e^{2x}}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[4x/exp(2x),x] \(4(1-2x)/e^{2x}\)

Tolkning: CAS forenkler kvotient- eller produktregelen til samme form.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) h = 4*x/sp.exp(2*x) rewritten = 4*x*sp.exp(-2*x) first_factor = sp.diff(4*x, x) second_factor = sp.diff(sp.exp(-2*x), x) product_rule = sp.simplify(first_factor*sp.exp(-2*x) + 4*x*second_factor) derivative = sp.simplify(sp.diff(h, x)) print("h(x) =", h) print("Rewritten h(x) =", rewritten) print("Derivative of 4*x =", first_factor) print("Derivative of exp(-2*x) =", second_factor) print("Product-rule result =", product_rule) print("Direct derivative =", derivative) print("Difference check =", sp.simplify(derivative-product_rule))

Utskrift fra Python: h(x) = 4*x*exp(-2*x) Rewritten h(x) = 4*x*exp(-2*x) Derivative of 4*x = 4 Derivative of exp(-2*x) = -2*exp(-2*x) Product-rule result = 4*(1 - 2*x)*exp(-2*x) Direct derivative = 4*(1 - 2*x)*exp(-2*x) Difference check = 0

Fasit: \(h^{\prime}(x)=4(1-2x)e^{-2x}=\dfrac{4(1-2x)}{e^{2x}}\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(-2\) når \(e^{-2x}\) deriveres. Sensorpunkt: Omskrivingen til et produkt og kjerneregelen skal være korrekt. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Brøkregning og faktorisering

Oppgave 2a

Oppgave: Skriv så enkelt som mulig: \[\frac1{x^2-x}+\frac1{x^2+x}-\frac1{x^2-1}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi faktoriserer alle nevnerne, finner fellesnevner og forkorter. Opprinnelige forbudte verdier må beholdes.

Steg 1 - Faktoriser nevnerne

\[x^2-x=x(x-1),\quad x^2+x=x(x+1),\quad x^2-1=(x-1)(x+1).\]

Steg 2 - Finn fellesnevner

En fellesnevner er \(x(x-1)(x+1)\).

Steg 3 - Utvid første brøk

\[\frac1{x(x-1)}=\frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}.\]

Steg 4 - Utvid andre brøk

\[\frac1{x(x+1)}=\frac{x-1}{x(x-1)(x+1)}.\]

Steg 5 - Utvid tredje brøk

\[-\frac1{(x-1)(x+1)}=-\frac{x}{x(x-1)(x+1)}.\]

Steg 6 - Samle telleren

\[(x+1)+(x-1)-x=x.\]

Steg 7 - Forkort

\[\frac{x}{x(x-1)(x+1)}=\frac1{(x-1)(x+1)}=\frac1{x^2-1}.\]

Steg 8 - Behold restriksjonene

Fra originaluttrykket må \(x\neq -1,0,1\). Selv om x forkortes bort, er \(x=0\) fortsatt ikke tillatt.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Simplify[1/(x^2-x)+1/(x^2+x)-1/(x^2-1)] \(1/(x^2-1)\)

Tolkning: CAS forenkler uttrykket, men de opprinnelige restriksjonene må oppgis manuelt.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x") term1 = 1/(x**2-x) term2 = 1/(x**2+x) term3 = -1/(x**2-1) expression = term1 + term2 + term3 common_numerator = sp.expand((x+1)+(x-1)-x) simplified = sp.cancel(expression) print("Term 1 =", term1) print("Term 2 =", term2) print("Term 3 =", term3) print("Combined numerator =", common_numerator) print("Simplified expression =", simplified) print("Difference from 1/(x^2-1) =", sp.simplify(simplified-1/(x**2-1))) print("Excluded original values =", [-1, 0, 1])

Utskrift fra Python: Term 1 = 1/(x**2 - x) Term 2 = 1/(x**2 + x) Term 3 = -1/(x**2 - 1) Combined numerator = x Simplified expression = 1/(x**2 - 1) Difference from 1/(x^2-1) = 0 Excluded original values = [-1, 0, 1]

Fasit: \(\dfrac1{x^2-1}\), med \(x\neq -1,0,1\).

Vanlig feil: Å glemme at \(x=0\) fremdeles er utelukket etter forkorting. Sensorpunkt: Fellesnevner, tellerregning og opprinnelig definisjonsmengde skal være med. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Logaritme- og eksponentialregler

Oppgave 2b

Oppgave: Skriv så enkelt som mulig: \[\frac{(\ln e^3+1)^2}{(e^{\ln 3}+1)^3}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker at logaritmen og eksponentialfunksjonen er inverse funksjoner.

Steg 1 - Forenkle logaritmen

\[\ln(e^3)=3.\]

Steg 2 - Beregn telleren

\[(3+1)^2=4^2=16.\]

Steg 3 - Forenkle eksponentialuttrykket

\[e^{\ln 3}=3.\]

Steg 4 - Beregn nevneren

\[(3+1)^3=4^3=64.\]

Steg 5 - Sett sammen

\[\frac{16}{64}.\]

Steg 6 - Forkort

\[\frac{16}{64}=\frac14.\] …