Matematikk R1 Eksamen våren 2010 (REA3022) – løsningsforslag

Matematikk R1 — eksamen våren 2010 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 – uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a.1 Derivasjon · produktregel

Oppgave 1a.1

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=x^3\cdot \ln x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av to funksjoner. Produktregelen brukes, og vi må samtidig huske at \(\ln x\) bare er definert for \(x>0\).

Steg 1 — Navngi faktorene

Sett \(u(x)=x^3\) og \(v(x)=\ln x\). Da er \(f(x)=u(x)v(x)\).

Steg 2 — Skriv produktregelen

Produktregelen er \[(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\]

Steg 3 — Deriver første faktor

Potensregelen gir \(u^{\prime}(x)=3x^2\).

Steg 4 — Deriver andre faktor

Logaritmeregelen gir \(v^{\prime}(x)=1/x\), siden \(x>0\).

Steg 5 — Sett inn i produktregelen

Vi får \[f^{\prime}(x)=3x^2\ln x+x^3\cdot\frac1x.\]

Steg 6 — Forenkle

Siden \(x^3/x=x^2\), blir \[f^{\prime}(x)=3x^2\ln x+x^2=x^2(3\ln x+1).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative(x^3 ln(x)) \(x^2(3\ln x+1)\) 2 Factor(Derivative(x^3 ln(x))) \(x^2(3\ln x+1)\)

Tolkning: CAS bekrefter både den utvidede og faktoriserte formen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, log, diff, factor, simplify x = symbols('x', positive=True) f = x**3 * log(x) f_derivert = diff(f, x) f_faktorisert = factor(f_derivert) forventet = x**2 * (3*log(x) + 1) print("Definisjonsområde: x > 0") print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_derivert) print("Faktorisert form =", f_faktorisert) print("Kontroll mot x**2*(3*log(x)+1) =", simplify(f_derivert - forventet))

Utskrift fra Python: Definisjonsområde: x > 0 f(x) = x**3*log(x) f'(x) = 3*x**2*log(x) + x**2 Faktorisert form = x**2*(3*log(x) + 1) Kontroll mot x**2*(3*log(x)+1) = 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=x^2(3\ln x+1)\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å derivere hver faktor og multiplisere de deriverte. Produktregelen er en sum, ikke et produkt. Sensorpunkt: Full uttelling krever korrekt produktregel, riktig derivert av \(\ln x\), og en ryddig forenkling. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a.2 Derivasjon · kjerneregel

Oppgave 1a.2

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=4e^{x^2-3x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en eksponentialfunksjon med et sammensatt eksponentuttrykk. Derfor bruker vi kjerneregelen.

Steg 1 — Skill mellom ytre og indre funksjon

Den ytre funksjonen er \(4e^u\), og den indre funksjonen er \(u(x)=x^2-3x\).

Steg 2 — Deriver den ytre funksjonen

Med hensyn på \(u\) er den deriverte av \(4e^u\) lik \(4e^u\).

Steg 3 — Deriver den indre funksjonen

Potensregelen gir \(u^{\prime}(x)=2x-3\).

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

Kjerneregelen gir \[g^{\prime}(x)=4e^{u(x)}\cdot u^{\prime}(x).\]

Steg 5 — Sett inn uttrykkene

Dermed får vi \[g^{\prime}(x)=4e^{x^2-3x}(2x-3).\]

Steg 6 — Skriv svaret ryddig

Vi kan skrive faktorene i motsatt rekkefølge: \[g^{\prime}(x)=4(2x-3)e^{x^2-3x}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative(4 exp(x^2 - 3x)) \(4(2x-3)e^{x^2-3x}\) 2 Simplify(%) \(4(2x-3)e^{x^2-3x}\)

Tolkning: GeoGebra beholder eksponentialfaktoren og ganger med den indre deriverte.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify x = symbols('x', real=True) g = 4*exp(x**2 - 3*x) g_derivert = diff(g, x) g_faktorisert = factor(g_derivert) forventet = 4*(2*x - 3)*exp(x**2 - 3*x) print("g(x) =", g) print("g'(x) =", g_derivert) print("Faktorisert form =", g_faktorisert) print("Kontroll mot forventet uttrykk =", simplify(g_derivert - forventet))

Utskrift fra Python: g(x) = 4*exp(x**2 - 3*x) g'(x) = 4*(2*x - 3)*exp(x**2 - 3*x) Faktorisert form = 4*(2*x - 3)*exp(-3*x)*exp(x**2) Kontroll mot forventet uttrykk = 0

Fasit: \(g^{\prime}(x)=4(2x-3)e^{x^2-3x}\).

Vanlig feil: Å beholde eksponentialfunksjonen, men glemme å multiplisere med den deriverte \(2x-3\). Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt kjerneregel og korrekt derivert av eksponenten. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b.1 Polynomdivisjon og faktorisering

Oppgave 1b.1

Oppgave: Vi har polynomfunksjonen \[P(x)=x^3-4x^2-4x+16.\] Regn ut \(P(2)\). Bruk polynomdivisjon til å faktorisere uttrykket \(P(x)\) i førstegradsfaktorer. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først kontrollere at \(x=2\) er et nullpunkt. Deretter deler vi polynomet på \(x-2\) og faktoriserer andregradsfaktoren.

Steg 1 — Sett inn x=2

\[P(2)=2^3-4\cdot2^2-4\cdot2+16.\]

Steg 2 — Regn ut verdien

\[P(2)=8-16-8+16=0.\] Dermed er \(x=2\) et nullpunkt.

Steg 3 — Bruk faktorteoremet

Når \(P(2)=0\), er \(x-2\) en faktor i \(P(x)\).

Steg 4 — Utfør polynomdivisjonen

Divisjonen \((x^3-4x^2-4x+16):(x-2)\) gir kvotienten \(x^2-2x-8\) og rest \(0\).

Steg 5 — Faktoriser andregradsuttrykket

Vi søker to tall med produkt \(-8\) og sum \(-2\): \(-4\) og \(2\). Derfor \[x^2-2x-8=(x-4)(x+2).\]

Steg 6 — Skriv full faktorisering

Dermed er \[P(x)=(x-2)(x-4)(x+2).\]

Steg 7 — Kontroller ved utvidelse

Utvider vi faktorene, får vi tilbake \(x^3-4x^2-4x+16\), så faktoriseringen er korrekt.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 P(x):=x^3-4x^2-4x+16 \(x^3-4x^2-4x+16\) 2 P(2) \(0\) 3 Div(P(x),x-2) \(x^2-2x-8\) 4 Factor(P(x)) \((x+2)(x-2)(x-4)\)

Tolkning: CAS bekrefter nullpunktet, kvotienten og den fullstendige faktoriseringen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, factor, div, expand x = symbols('x') P = x**3 - 4*x**2 - 4*x + 16 verdi = P.subs(x, 2) kvotient, rest = div(P, x - 2) faktorisert = factor(P) print("P(x) =", P) print("P(2) =", verdi) print("Kvotient ved divisjon med x - 2 =", kvotient) print("Rest =", rest) print("Full faktorisering =", faktorisert) print("Kontroll ved utvidelse =", expand(faktorisert))

Utskrift fra Python: P(x) = x**3 - 4*x**2 - 4*x + 16 P(2) = 0 Kvotient ved divisjon med x - 2 = x**2 - 2*x - 8 Rest = 0 Full faktorisering = (x - 4)*(x - 2)*(x + 2) Kontroll ved utvidelse = x**3 - 4*x**2 - 4*x + 16

Fasit: \(P(2)=0\) og \(P(x)=(x+2)(x-2)(x-4)\).

Vanlig feil: Å stoppe etter \(P(x)=(x-2)(x^2-2x-8)\). Oppgaven ber om førstegradsfaktorer. Sensorpunkt: Sensor ser etter at faktorteoremet kobles til \(P(2)=0\), og at polynomdivisjonen vises eller forklares. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b.2 Ulikheter · fortegnsskjema

Oppgave 1b.2

Oppgave: Løs ulikheten \[P(x)\le 0,\] der \(P(x)=x^3-4x^2-4x+16\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke nullpunktene fra faktoriseringen og bestemme fortegnet til produktet på intervallene mellom nullpunktene.

Steg 1 — Bruk faktoriseringen

Fra forrige del har vi \[P(x)=(x+2)(x-2)(x-4).\]

Steg 2 — Finn kritiske punkter

Produktet er null ved \(x=-2\), \(x=2\) og \(x=4\). Disse deler tallinjen i fire intervaller.

Steg 3 — Undersøk intervallet x<-2

Velg for eksempel \(x=-3\). Faktorfortegnene er \((-)(-)(-)\), så produktet er negativt.

Steg 4 — Undersøk -2<x<2

Velg \(x=0\). Faktorfortegnene er \((+)(-)(-)\), så produktet er positivt.

Steg 5 — Undersøk 2<x<4

Velg \(x=3\). Faktorfortegnene er \((+)(+)(-)\), så produktet er negativt.

Steg 6 — Undersøk x>4

Velg \(x=5\). Alle tre faktorer er positive, så produktet er positivt.

Steg 7 — Ta med nullpunktene

Ulikheten er \(P(x)\le0\). Derfor skal også punktene der \(P(x)=0\) være med.

Steg 8 — Skriv løsningsmengden

De negative intervallene og nullpunktene gir \[x\in(-\infty,-2]\cup[2,4].\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Solve((x+2)(x-2)(x-4) <= 0) \(x\le-2\) eller \(2\le x\le4\) 2 Root((x+2)(x-2)(x-4)) \(-2,2,4\)

Tolkning: CAS-resultatet samsvarer med fortegnsskjemaet.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, factor, solve_univariate_inequality, Interval, Union x = symbols('x', real=True) P = x**3 - 4*x**2 - 4*x + 16 losning = solve_univariate_inequality(P <= 0, x, relational=False) prover = [-3, 0, 3, 5] print("Faktorisert P(x) =", factor(P)) for verdi in prover: print(f"P({verdi}) =", P.subs(x, verdi)) print("Løsningsmengde for P(x) <= 0 =", losning) print("Forventet mengde =", Union(Interval(-float('inf'), -2), Interval(2, 4)))

Utskrift fra Python: Faktorisert P(x) = (x - 4)*(x - 2)*(x + 2) P(-3) = -35 P(0) = 16 P(3) = -5 P(5) = 21 Løsningsmengde for P(x) <= 0 = Union(Interval(-oo, -2), Interval(2, 4)) Forventet mengde = Union(Interval(-oo, -2), Interval(2, 4))

Fasit: \(x\in(-\infty,-2]\cup[2,4]\). …