Matematikk R1 Våren 2016 (REA3022) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - våren 2016 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=-3x^2+6x-4.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere hvert ledd ved hjelp av potensregelen.

Steg 1 - Identifiser leddene

Funksjonen består av et andregradsledd, et førstegradsledd og en konstant.

Steg 2 - Bruk potensregelen

For \(ax^n\) er den deriverte \(anx^{n-1}\).

Steg 3 - Deriver andregradsleddet

\(\frac{d}{dx}(-3x^2)=-6x\).

Steg 4 - Deriver førstegradsleddet

\(\frac{d}{dx}(6x)=6\).

Steg 5 - Deriver konstanten

\(\frac{d}{dx}(-4)=0\).

Steg 6 - Samle resultatet

Dermed er \[f'(x)=-6x+6.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[-3x^2+6x-4,x] \(-6x+6\)

Tolkning: CAS bekrefter leddvis derivasjon.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x") f = -3*x**2 + 6*x - 4 print("f(x) =", f) print("d/dx(-3*x^2) =", sp.diff(-3*x**2, x)) print("d/dx(6*x) =", sp.diff(6*x, x)) print("d/dx(-4) =", sp.diff(-4, x)) print("f'(x) =", sp.diff(f, x)) print("Kontroll, forenklet =", sp.simplify(sp.diff(f, x)))

Utskrift fra Python: f(x) = -3*x**2 + 6*x - 4 d/dx(-3*x^2) = -6*x d/dx(6*x) = 6 d/dx(-4) = 0 f'(x) = 6 - 6*x Kontroll, forenklet = 6 - 6*x

Fasit: \(f'(x)=-6x+6\).

Vanlig feil: Å glemme at den deriverte av konstanten er 0. Sensorpunkt: Korrekt potensregel og samlet lineært uttrykk. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Logaritme og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=5\ln(x^3-x).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke regelen for den naturlige logaritmen sammen med kjerneregelen.

Steg 1 - Velg indre funksjon

Sett \(u(x)=x^3-x\).

Steg 2 - Deriver kjernen

\(u'(x)=3x^2-1\).

Steg 3 - Bruk logaritmeregelen

\(\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}u\).

Steg 4 - Ta med konstantfaktoren

Faktoren 5 beholdes utenfor derivasjonen.

Steg 5 - Sett inn

\[g'(x)=5\frac{3x^2-1}{x^3-x}.\]

Steg 6 - Kontroller definisjonskravet

Originalfunksjonen er definert når \(x^3-x>0\), men det endrer ikke selve derivasjonsformelen.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[5 ln(x^3-x),x] \(\dfrac{5(3x^2-1)}{x^3-x}\)

Tolkning: CAS bruker kjerneregelen automatisk.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) u = x**3 - x g = 5*sp.log(u) print("u(x) =", u) print("u'(x) =", sp.diff(u, x)) print("g(x) = 5*ln(u(x))") print("g'(x) =", sp.diff(g, x)) print("Faktorisert teller =", sp.factor(sp.together(sp.diff(g, x))).as_numer_denom()[0]) print("Nevner =", sp.factor(sp.together(sp.diff(g, x))).as_numer_denom()[1])

Utskrift fra Python: u(x) = x**3 - x u'(x) = 3*x**2 - 1 g(x) = 5*ln(u(x)) g'(x) = 5*(3*x**2 - 1)/(x**3 - x) Faktorisert teller = 15*x**2 - 5 Nevner = x*(x - 1)*(x + 1)

Fasit: \(g'(x)=\dfrac{5(3x^2-1)}{x^3-x}\).

Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte \(3x^2-1\). Sensorpunkt: Logaritmeregel, kjerneregel og riktig konstantfaktor. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Kvotientregel

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \[h(x)=\frac{x-1}{x+1}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke kvotientregelen og forenkle telleren.

Steg 1 - Definer teller og nevner

La \(u=x-1\) og \(v=x+1\).

Steg 2 - Deriver begge

\(u'=1\) og \(v'=1\).

Steg 3 - Bruk kvotientregelen

\(h'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\).

Steg 4 - Sett inn

\[h'(x)=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2}.\]

Steg 5 - Forenkle telleren

\((x+1)-(x-1)=2\).

Steg 6 - Skriv sluttresultatet

\[h'(x)=\frac{2}{(x+1)^2},\qquad x\ne -1.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[(x-1)/(x+1),x] \(\dfrac{2}{(x+1)^2}\)

Tolkning: CAS bekrefter kvotientregelen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x") u = x - 1 v = x + 1 h = u/v numerator = sp.expand(sp.diff(u, x)*v - u*sp.diff(v, x)) print("u(x) =", u, "og v(x) =", v) print("u'(x) =", sp.diff(u, x), "og v'(x) =", sp.diff(v, x)) print("Teller i kvotientregelen =", numerator) print("h'(x) =", sp.factor(sp.diff(h, x))) print("Definisjonskrav: x != -1")

Utskrift fra Python: u(x) = x - 1 og v(x) = x + 1 u'(x) = 1 og v'(x) = 1 Teller i kvotientregelen = 2 h'(x) = 2/(x + 1)**2 Definisjonskrav: x != -1

Fasit: \(h'(x)=\dfrac{2}{(x+1)^2}\), \(x\ne-1\).

Vanlig feil: Fortegnsfeil når parentesen \(-(x-1)\) fjernes. Sensorpunkt: Riktig kvotientregel og forenklet teller. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Polynom og faktorsetningen

Oppgave 2a

Oppgave: Polynomet er \[P(x)=x^3-7x^2+14x+k.\] Vis at \(P\) er delelig med \((x-2)\) hvis og bare hvis \(k=-8\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke faktorsetningen: \((x-a)\) er faktor nøyaktig når \(P(a)=0\).

Steg 1 - Bruk faktorsetningen

For faktoren \((x-2)\) må \(P(2)=0\).

Steg 2 - Sett inn x=2

\[P(2)=2^3-7\cdot2^2+14\cdot2+k.\]

Steg 3 - Regn ut tallene

\(8-28+28+k=8+k\).

Steg 4 - Sett lik null

\(8+k=0\).

Steg 5 - Løs for k

\(k=-8\).

Steg 6 - Vis begge retninger

Hvis \(P\) er delelig, må \(P(2)=0\) og dermed \(k=-8\). Omvendt gir \(k=-8\) at \(P(2)=0\), så faktorsetningen gir delelighet.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Substitute[x^3-7x^2+14x+k,x,2] \(8+k\) 2 Solve[8+k=0,k] \(k=-8\)

Tolkning: De to CAS-linjene viser både rest og nødvendig parameterverdi.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x, k = sp.symbols("x k") P = x**3 - 7*x**2 + 14*x + k remainder = sp.expand(P.subs(x, 2)) solution = sp.solve(sp.Eq(remainder, 0), k) print("P(x) =", P) print("P(2) =", remainder) print("Krav for faktor (x - 2): P(2) = 0") print("Løsning for k =", solution) print("Kontroll P(2) når k = -8:", P.subs({x:2, k:-8}))

Utskrift fra Python: P(x) = k + x**3 - 7*x**2 + 14*x P(2) = k + 8 Krav for faktor (x - 2): P(2) = 0 Løsning for k = [-8] Kontroll P(2) når k = -8: 0

Fasit: \(P\) er delelig med \((x-2)\) hvis og bare hvis \(k=-8\).

Vanlig feil: Å bare vise én retning i «hvis og bare hvis». Sensorpunkt: Faktorsetningen, korrekt innsetting og begge implikasjoner. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Faktorisering

Oppgave 2b

Oppgave: Sett \(k=-8\) og faktoriser \(P\) ved hjelp av lineære faktorer. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke den kjente faktoren og finne de øvrige nullpunktene.

Steg 1 - Sett inn parameteren

\[P(x)=x^3-7x^2+14x-8.\]

Steg 2 - Bruk kjent faktor

Fra a) vet vi at \((x-2)\) er faktor.

Steg 3 - Utfør polynomdivisjon

Divisjon med \((x-2)\) gir \(x^2-5x+4\).

Steg 4 - Faktoriser andregradsuttrykket

\(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\).

Steg 5 - Samle faktorene

\[P(x)=(x-2)(x-1)(x-4).\]

Steg 6 - Kontroller ved utvidelse

Produktet utvides til \(x^3-7x^2+14x-8\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Factor[x^3-7x^2+14x-8] \((x-1)(x-2)(x-4)\)

Tolkning: CAS finner de tre lineære faktorene.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x") P = x**3 - 7*x**2 + 14*x - 8 quotient, remainder = sp.div(P, x - 2) factors = sp.factor(P) print("P(x) =", P) print("Polynomdivisjon med x - 2:") print("Kvotient =", quotient) print("Rest =", remainder) print("Faktorisert P(x) =", factors) print("Utvidet kontroll =", sp.expand(factors))

Utskrift fra Python: P(x) = x**3 - 7*x**2 + 14*x - 8 Polynomdivisjon med x - 2: Kvotient = x**2 - 5*x + 4 Rest = 0 Faktorisert P(x) = (x - 4)*(x - 2)*(x - 1) Utvidet kontroll = x**3 - 7*x**2 + 14*x - 8

Fasit: \(P(x)=(x-1)(x-2)(x-4)\).

Vanlig feil: Å stoppe etter bare én faktor. Sensorpunkt: Full faktorisering i tre lineære faktorer og kontroll ved utvidelse. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2c Polynomulikhet

Oppgave 2c

Oppgave: Løs ulikheten \[P(x)\le 0,\] der \(P(x)=(x-1)(x-2)(x-4)\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage fortegnslinje ut fra nullpunktene 1, 2 og 4.

Steg 1 - Finn kritiske punkter

Faktorene skifter fortegn ved \(x=1,2,4\).

Steg 2 - Del tallinjen

Intervallene er \(( -\infty,1)\), \((1,2)\), \((2,4)\) og \((4,\infty)\).

Steg 3 - Bestem fortegn lengst til høyre

For \(x>4\) er alle faktorer positive, så produktet er positivt.

Steg 4 - Følg fortegnsskiftene

Hver enkel rot skifter fortegn: negativt på \((2,4)\), positivt på \((1,2)\), negativt på \(( -\infty,1)\).

Steg 5 - Ta med nullpunktene

Siden ulikheten er \(\le0\), skal røttene inkluderes.

Steg 6 - Skriv løsningsmengden

\[x\in(-\infty,1]\cup[2,4].\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Solve[(x-1)(x-2)(x-4)<=0,x] \(x\le1\;\lor\;2\le x\le4\)

Tolkning: CAS bekrefter fortegnslinjen. …