Matematikk R1 Eksamen høsten 2010 (REA3022) – løsningsforslag

Matematikk R1 — eksamen høsten 2010 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 – uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a1 Derivasjon · produktregel

Oppgave 1a1

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=2x\cdot e^x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av funksjonene 2x og e^x. Derfor bruker vi produktregelen og viser begge leddene.

Steg 1 — Del funksjonen i to faktorer

Sett \(u(x)=2x\) og \(v(x)=e^x\). Da er \(f(x)=u(x)v(x)\).

Steg 2 — Deriver hver faktor

Vi får \(u'(x)=2\) og \(v'(x)=e^x\). Eksponentialfunksjonen med grunntall e er sin egen deriverte.

Steg 3 — Bruk produktregelen

Produktregelen er \((uv)'=u'v+uv'\).

Steg 4 — Sett inn faktorene

\[f'(x)=2\cdot e^x+2x\cdot e^x.\]

Steg 5 — Faktoriser felles faktor

Begge leddene inneholder \(2e^x\), så \[f'(x)=2e^x(1+x).\]

Steg 6 — Skriv svaret ryddig

Rekkefølgen i parentesen kan snus: \(1+x=x+1\). Dermed er \[f'(x)=2e^x(x+1).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative(2*x*exp(x),x) \(2e^x(x+1)\) 2 Factor(2*exp(x)+2*x*exp(x)) \(2e^x(x+1)\)

Tolkning: CAS bekrefter både den utvidede og faktoriserte formen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , exp , diff , factor , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = 2 * x * exp ( x ) f_derivert = diff ( f , x ) f_faktorisert = factor ( f_derivert ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , f_derivert ) print ( "Faktorisert form =" , f_faktorisert ) print ( "Kontroll av forskjellen =" , simplify ( f_derivert - 2 * exp ( x ) * ( x + 1 ))) 

Utskrift fra Python: f(x) = 2*x*exp(x) f'(x) = 2*x*exp(x) + 2*exp(x) Faktorisert form = 2*(x + 1)*exp(x) Kontroll av forskjellen = 0

Fasit: \(f'(x)=2e^x(x+1)\).

Vanlig feil: Å derivere produktet som produktet av de deriverte. Produktregelen gir en sum av to ledd. Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt produktregel, riktige delderiverte og korrekt faktorisering. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a2 Derivasjon · kjerneregel

Oppgave 1a2

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=3\sqrt{x^2-1}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt rotfunksjon. Vi omskriver roten til en potens og bruker kjerneregelen.

Steg 1 — Omskriv kvadratroten

\[g(x)=3(x^2-1)^{1/2}.\]

Steg 2 — Identifiser kjernen

Den ytre funksjonen er \(3u^{1/2}\), mens kjernen er \(u(x)=x^2-1\).

Steg 3 — Deriver den ytre funksjonen

\[\frac{d}{du}\left(3u^{1/2}\right)=\frac{3}{2}u^{-1/2}.\]

Steg 4 — Deriver kjernen

\[u'(x)=2x.\]

Steg 5 — Bruk kjerneregelen

\[g'(x)=\frac{3}{2}(x^2-1)^{-1/2}\cdot2x.\]

Steg 6 — Forkort konstantene

Faktorene 2 og \(\frac12\) forkortes, slik at \[g'(x)=3x(x^2-1)^{-1/2}.\]

Steg 7 — Skriv som brøk og oppgi gyldighet

\[g'(x)=\frac{3x}{\sqrt{x^2-1}}.\] Den deriverte er definert for \(x<-1\) eller \(x>1\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative(3*sqrt(x^2-1),x) \(\frac{3x}{\sqrt{x^2-1}}\) 2 Domain(3*x/sqrt(x^2-1)) \(x<-1\) eller \(x>1\)

Tolkning: CAS gir samme derivert og viser at nevneren ikke kan være null.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , sqrt , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) g = 3 * sqrt ( x ** 2 - 1 ) g_derivert = diff ( g , x ) maalform = 3 * x / sqrt ( x ** 2 - 1 ) print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) =" , g_derivert ) print ( "Forenklet form =" , simplify ( g_derivert )) print ( "Forskjell fra målformen =" , simplify ( g_derivert - maalform )) print ( "Derivert definert for x < -1 eller x > 1" ) 

Utskrift fra Python: g(x) = 3*sqrt(x**2 - 1) g'(x) = 3*x/sqrt(x**2 - 1) Forenklet form = 3*x/sqrt(x**2 - 1) Forskjell fra målformen = 0 Derivert definert for x < -1 eller x > 1

Fasit: \(g'(x)=\dfrac{3x}{\sqrt{x^2-1}}\), for \(|x|>1\).

Vanlig feil: Å glemme å multiplisere med den deriverte av kjernen, som er 2x. Sensorpunkt: Sensor ser etter potensomskriving, kjerneregel og korrekt definisjonsområde for den deriverte. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Polynomer · polynomdivisjon

Oppgave 1b

Oppgave: Vis at \(x=1\) er en løsning av likningen \[2x^3-6x^2-2x+6=0.\] Bruk polynomdivisjon til å finne de andre løsningene. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først kontrollere roten x=1. Deretter deler vi polynomet på x-1 og løser andregradslikningen som står igjen.

Steg 1 — Definer polynomet

La \(p(x)=2x^3-6x^2-2x+6\).

Steg 2 — Kontroller x=1

\[p(1)=2-6-2+6=0.\] Dermed er \(x=1\) en løsning, og \(x-1\) er en faktor.

Steg 3 — Start polynomdivisjonen

Vi deler \(2x^3-6x^2-2x+6\) på \(x-1\). Første ledd blir \(2x^2\), fordi \(2x^3/x=2x^2\).

Steg 4 — Trekk fra første produkt

\[(2x^3-6x^2)-(2x^3-2x^2)=-4x^2.\] Vi tar med neste ledd og får \(-4x^2-2x\).

Steg 5 — Finn neste ledd

\(-4x^2/x=-4x\). Produktet er \(-4x^2+4x\), og subtraksjon gir \(-6x\). Vi tar med \(+6\).

Steg 6 — Avslutt divisjonen

\(-6x/x=-6\). Produktet er \(-6x+6\), så resten blir 0. Kvotienten er \[2x^2-4x-6.\]

Steg 7 — Løs andregradslikningen

\[2x^2-4x-6=2(x^2-2x-3)=2(x-3)(x+1).\] Dermed er de andre røttene \(x=3\) og \(x=-1\).

Steg 8 — Samle alle løsningene

\[2x^3-6x^2-2x+6=2(x-1)(x-3)(x+1),\] så løsningsmengden er \(\{-1,1,3\}\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Substitute(2x^3-6x^2-2x+6,x,1) 0 2 Division(2x^3-6x^2-2x+6,x-1) kvotient \(2x^2-4x-6\), rest 0 3 Solve(2x^3-6x^2-2x+6=0) \(x=-1,1,3\)

Tolkning: CAS bekrefter at x-1 er en faktor og finner alle tre røttene.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

 from sympy import symbols , factor , div , solve , expand x = symbols ( 'x' ) p = 2 * x ** 3 - 6 * x ** 2 - 2 * x + 6 verdi_i_1 = p . subs ( x , 1 ) kvotient , rest = div ( p , x - 1 ) print ( "p(1) =" , verdi_i_1 ) print ( "Kvotient ved divisjon på x - 1 =" , kvotient ) print ( "Rest =" , rest ) print ( "Full faktorisering =" , factor ( p )) print ( "Løsninger =" , solve ( p , x )) print ( "Utvidet kontroll =" , expand ( 2 * ( x - 1 ) * ( x + 1 ) * ( x - 3 ))) 

Utskrift fra Python: p(1) = 0 Kvotient ved divisjon på x - 1 = 2*x**2 - 4*x - 6 Rest = 0 Full faktorisering = 2*(x - 3)*(x - 1)*(x + 1) Løsninger = [-1, 1, 3] Utvidet kontroll = 2*x**3 - 6*x**2 - 2*x + 6

Fasit: \(x=-1\), \(x=1\) eller \(x=3\).

Vanlig feil: Å stoppe etter at x=1 er kontrollert, eller å få feil fortegn i kvotienten. Sensorpunkt: Sensor ser etter p(1)=0, synlig polynomdivisjon med rest 0 og korrekt løsning av kvotienten. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c1 Vektorfunksjoner · banekurve

Oppgave 1c1

Oppgave: Vi har gitt vektorfunksjonen \[\vec r(t)=[6t,-5t^2+45].\] Tegn grafen til vektorfunksjonen når \(t\in[0,3]\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne banen til punktet med koordinater x(t) og y(t). Vi finner endepunkter og eliminerer parameteren for å kjenne kurveformen.

Steg 1 — Les av koordinatfunksjonene

\[x(t)=6t,\qquad y(t)=-5t^2+45.\]

Steg 2 — Finn startpunktet

Når \(t=0\), får vi \[\vec r(0)=(0,45).\]

Steg 3 — Finn sluttpunktet

Når \(t=3\), får vi \[\vec r(3)=(18,0).\]

Steg 4 — Eliminer parameteren

Fra \(x=6t\) får vi \(t=x/6\). Setter vi dette inn i y-uttrykket, får vi \[y=-5\left(\frac{x}{6}\right)^2+45=45-\frac{5}{36}x^2.\]

Steg 5 — Bestem riktig kurvestykke

Siden \(0\le t\le3\), gjelder \(0\le x\le18\). Vi tegner derfor bare første kvadrant av den nedovervendte parabelen.

Steg 6 — Marker bevegelsesretningen

Når t øker, øker x fra 0 til 18, mens y avtar fra 45 til 0. Bevegelsen går fra \((0,45)\) mot \((18,0)\).

Banekurven er tegnet med farts- og akselerasjonsvektor ved t=1.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Curve(6t,-5t^2+45,t,0,3) parabelbue fra \((0,45)\) til \((18,0)\) 2 Eliminate({x=6t,y=-5t^2+45},t) \(y=45-\frac{5}{36}x^2\)

Tolkning: Grafen skal bare vise kurvestykket som svarer til t-intervallet.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

 import numpy as np verdier_t = np . linspace ( 0 , 3 , 7 ) verdier_x = 6 * verdier_t verdier_y = - 5 * verdier_t ** 2 + 45 print ( " t x(t) y(t)" ) for t , x , y in zip ( verdier_t , verdier_x , verdier_y ): print ( f " { t : 4.1f } { x : 7.2f } { y : 7.2f } " ) print ( " \n Eliminert parameter: y = 45 - (5/36)*x**2" ) print ( "Gyldig kurvestykke: 0 <= x <= 18" ) 

Utskrift fra Python: t x(t) y(t) 0.0 0.00 45.00 0.5 3.00 43.75 1.0 6.00 40.00 1.5 9.00 33.75 2.0 12.00 25.00 2.5 15.00 13.75 3.0 18.00 0.00 Eliminert parameter: y = 45 - (5/36)*x**2 Gyldig kurvestykke: 0 <= x <= 18

Fasit: Kurven er parabelstykket \(y=45-\frac{5}{36}x^2\) for \(0\le x\le18\), fra \((0,45)\) til \((18,0)\). …