Matematikk R1 Eksamen våren 2009 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 — eksamen våren 2009

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 – uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a.1 Derivasjon · kjerneregel

Oppgave 1a.1

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=(x^2+1)^4.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt funksjon. Ytre funksjon er fjerde potens, mens den indre funksjonen er \(x^2+1\), så kjerneregelen er nødvendig.

Steg 1 — Identifiser ytre og indre funksjon

Skriv \(f(x)=u(x)^4\), der \(u(x)=x^2+1\). Dette gjør kjernestrukturen tydelig.

Steg 2 — Deriver den ytre funksjonen

Når \(u\) behandles som én størrelse, er \(\frac{d}{du}(u^4)=4u^3\).

Steg 3 — Deriver den indre funksjonen

Potensregelen gir \(u^{\prime}(x)=2x\).

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

Kjerneregelen sier \[f^{\prime}(x)=4u(x)^3\cdot u^{\prime}(x).\]

Steg 5 — Sett inn uttrykkene

Dermed får vi \[f^{\prime}(x)=4(x^2+1)^3\cdot 2x.\]

Steg 6 — Forenkle

Multipliser konstantene: \[f^{\prime}(x)=8x(x^2+1)^3.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative((x^2 + 1)^4) \(8x(x^2+1)^3\) 2 Factor(Derivative((x^2 + 1)^4)) \(8x(x^2+1)^3\)

Tolkning: Begge CAS-kommandoene gir samme faktoriserte derivert.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, diff, factor, simplify x = symbols('x', real=True) f = (x**2 + 1)**4 f_derivert = diff(f, x) f_faktorisert = factor(f_derivert) forventet = 8*x*(x**2 + 1)**3 print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_derivert) print("Faktorisert form =", f_faktorisert) print("Kontroll mot 8*x*(x**2 + 1)**3 =", simplify(f_derivert - forventet))

Utskrift fra Python: f(x) = (x**2 + 1)**4 f'(x) = 8*x*(x**2 + 1)**3 Faktorisert form = 8*x*(x**2 + 1)**3 Kontroll mot 8*x*(x**2 + 1)**3 = 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=8x(x^2+1)^3\).

Vanlig feil: Å derivere bare den ytre potensen og glemme faktoren \(2x\) fra den indre funksjonen. Sensorpunkt: Sensor ser etter tydelig kjerneregel, korrekt indre derivert og fullstendig forenkling. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a.2 Derivasjon · produkt og kjerne

Oppgave 1a.2

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=x\cdot e^{2x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt. I tillegg må eksponentialfunksjonen \(e^{2x}\) deriveres med kjerneregelen.

Steg 1 — Del produktet i to faktorer

Sett \(u(x)=x\) og \(v(x)=e^{2x}\). Da er \(g(x)=u(x)v(x)\).

Steg 2 — Skriv produktregelen

Produktregelen er \[(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\]

Steg 3 — Deriver første faktor

Vi har \(u^{\prime}(x)=1\).

Steg 4 — Deriver eksponentialfaktoren

Kjerneregelen gir \[v^{\prime}(x)=2e^{2x},\] fordi den indre funksjonen \(2x\) har derivert \(2\).

Steg 5 — Sett inn i produktregelen

Da blir \[g^{\prime}(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot 2e^{2x}.\]

Steg 6 — Faktoriser

Trekk ut felles faktor \(e^{2x}\): \[g^{\prime}(x)=e^{2x}(1+2x).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative(x exp(2x)) \((2x+1)e^{2x}\) 2 Factor(Derivative(x exp(2x))) \((2x+1)e^{2x}\)

Tolkning: CAS bekrefter at den faktoriserte formen er korrekt.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify x = symbols('x', real=True) g = x*exp(2*x) g_derivert = diff(g, x) g_faktorisert = factor(g_derivert) forventet = exp(2*x)*(1 + 2*x) print("g(x) =", g) print("g'(x) =", g_derivert) print("Faktorisert form =", g_faktorisert) print("Kontroll mot exp(2*x)*(1 + 2*x) =", simplify(g_derivert - forventet))

Utskrift fra Python: g(x) = x*exp(2*x) g'(x) = 2*x*exp(2*x) + exp(2*x) Faktorisert form = (2*x + 1)*exp(2*x) Kontroll mot exp(2*x)*(1 + 2*x) = 0

Fasit: \(g^{\prime}(x)=e^{2x}(1+2x)\).

Vanlig feil: Å bruke bare produktregelen eller bare kjerneregelen. Her trengs begge. Sensorpunkt: Sensor ser etter to ledd fra produktregelen og faktoren \(2\) ved derivasjon av \(e^{2x}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Grenseverdi · faktorisering

Oppgave 1b

Oppgave: Regn ut grenseverdien hvis den eksisterer \[\lim_{x\to 2}\frac{x^2-2x}{x-2}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Direkte innsetting gir \(0/0\), som er en ubestemt form. Vi må faktorisere og forkorte før grenseverdien beregnes.

Steg 1 — Prøv direkte innsetting

For \(x=2\) blir både teller og nevner lik null. Uttrykket er derfor ikke definert i selve punktet.

Steg 2 — Faktoriser telleren

Trekk ut \(x\): \[x^2-2x=x(x-2).\]

Steg 3 — Skriv om brøken

For \(x\neq 2\) har vi \[\frac{x(x-2)}{x-2}.\]

Steg 4 — Forkort felles faktor

Faktoren \(x-2\) kan forkortes når \(x\neq 2\), og uttrykket blir \(x\).

Steg 5 — Beregn grenseverdien

Når \(x\) nærmer seg \(2\), nærmer det forkortede uttrykket \(x\) seg \(2\).

Steg 6 — Skille funksjonsverdi og grenseverdi

Den opprinnelige brøken har et hull ved \(x=2\), men grenseverdien eksisterer fordi verdiene rundt hullet nærmer seg samme tall.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Limit((x^2 - 2x)/(x - 2), x, 2) \(2\) 2 Simplify((x^2 - 2x)/(x - 2)) \(x\), for \(x\neq2\)

Tolkning: CAS skiller mellom det forkortede uttrykket og hullet i den opprinnelige funksjonen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, limit, factor, simplify x = symbols('x', real=True) teller = x**2 - 2*x nevner = x - 2 forkortet = factor(teller) / nevner verdi = limit(teller/nevner, x, 2) print("Faktorisert teller =", factor(teller)) print("Uttrykket for x != 2 =", simplify(forkortet)) print("Grenseverdien når x går mot 2 =", verdi) print("Kontroll: verdi minus 2 =", simplify(verdi - 2))

Utskrift fra Python: Faktorisert teller = x*(x - 2) Uttrykket for x != 2 = x Grenseverdien når x går mot 2 = 2 Kontroll: verdi minus 2 = 0

Fasit: Grenseverdien er \(2\).

Vanlig feil: Å stoppe ved \(0/0\) og konkludere med at grenseverdien ikke finnes. Sensorpunkt: Sensor ser etter faktorisering, begrunnelsen \(x eq2\) ved forkorting og korrekt grenseverdi. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Algebra · rasjonale uttrykk

Oppgave 1c

Oppgave: Trekk sammen \[\frac{x-2}{x^2+2x}-\frac{x+2}{x^2-2x}-\frac{4x}{x^2-4}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne fellesnevner, samle tellerne og forkorte. Først må alle nevnerne faktoriseres og de utelukkede x-verdiene registreres.

Steg 1 — Faktoriser nevnerne

Vi har \(x^2+2x=x(x+2)\), \(x^2-2x=x(x-2)\) og \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).

Steg 2 — Finn definisjonsbegrensningene

Nevnerne kan ikke være null, så \(x\neq -2,0,2\). Disse begrensningene gjelder også etter eventuell forkorting.

Steg 3 — Velg fellesnevner

En minste fellesnevner er \[x(x-2)(x+2).\]

Steg 4 — Utvid hver brøk

Tellerne blir henholdsvis \((x-2)^2\), \(-(x+2)^2\) og \(-4x^2\).

Steg 5 — Samle og utvikle telleren

Vi får \[(x-2)^2-(x+2)^2-4x^2=-4x(x+2).\]

Steg 6 — Forkort felles faktorer

Dermed er brøken \[\frac{-4x(x+2)}{x(x-2)(x+2)}=-\frac4{x-2}.\]

Steg 7 — Behold de opprinnelige restriksjonene

Selv om \(x\) og \(x+2\) er forkortet bort, er \(x=0\) og \(x=-2\) fortsatt ikke tillatt i det opprinnelige uttrykket.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Simplify((x-2)/(x^2+2x) - (x+2)/(x^2-2x) - 4x/(x^2-4)) \(-4/(x-2)\) 2 Factor(x^2+2x) \(x(x+2)\) 3 Factor(x^2-2x) \(x(x-2)\)

Tolkning: CAS gir samme forenkling, men definisjonsbegrensningene må vi selv ta med.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, factor, together, simplify x = symbols('x', real=True) uttrykk = (x - 2)/(x**2 + 2*x) - (x + 2)/(x**2 - 2*x) - 4*x/(x**2 - 4) samlet = together(uttrykk) forenklet = factor(simplify(uttrykk)) print("Felles brøk =", samlet) print("Faktorisert og forenklet =", forenklet) print("Opprinnelige restriksjoner: x != -2, 0, 2") print("Kontroll mot -4/(x - 2) =", simplify(uttrykk + 4/(x - 2)))

Utskrift fra Python: Felles brøk = (-4*x**2*(x - 2)*(x + 2) + (x - 2)**2*(x**2 - 4) - (x + 2)**2*(x**2 - 4))/(x*(x - 2)*(x + 2)*(x**2 - 4)) Faktorisert og forenklet = -4/(x - 2) Opprinnelige restriksjoner: x != -2, 0, 2 Kontroll mot -4/(x - 2) = 0

Fasit: \(-\dfrac4{x-2}\), med \(x\neq -2,0,2\).

Vanlig feil: Å glemme minustegnet foran den andre brøken eller å miste de opprinnelige definisjonsbegrensningene. Sensorpunkt: Sensor ser etter faktorisering av alle nevnere, korrekt fellesnevner, tydelig tellerregning og restriksjoner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d.1 Vektorer · koordinater

Oppgave 1d.1

Oppgave: Gitt punktene \(A(-2,-1)\), \(B(5,4)\) og \(C(4,7)\). Bestem \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) og \(\overrightarrow{BC}\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne vektorene ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til endepunktet.

Steg 1 — Bruk vektorregelen

For punkter \(P(x_1,y_1)\) og \(Q(x_2,y_2)\) er \(\overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,y_2-y_1)\).

Steg 2 — Beregn AB

\[\overrightarrow{AB}=(5-(-2),4-(-1))=(7,5).\]

Steg 3 — Beregn AC

\[\overrightarrow{AC}=(4-(-2),7-(-1))=(6,8).\]

Steg 4 — Beregn BC

\[\overrightarrow{BC}=(4-5,7-4)=(-1,3).\] …