Matematikk R1 Våren 2015 (REA3022) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - våren 2015 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=x^3+2x^2-3x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke potensregelen på hvert ledd og samle de deriverte uttrykkene.

Steg 1 - Skriv potensregelen

For et ledd \(ax^n\) er den deriverte \(anx^{n-1}\).

Steg 2 - Deriver tredjegradsleddet

\[\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2.\]

Steg 3 - Deriver andregradsleddet

\[\frac{d}{dx}(2x^2)=2\cdot2x=4x.\]

Steg 4 - Deriver førstegradsleddet

\[\frac{d}{dx}(-3x)=-3.\]

Steg 5 - Summer leddene

\[f'(x)=3x^2+4x-3.\]

Steg 6 - Kontroller graden

En tredjegradsfunksjon skal normalt få en andregradsfunksjon som derivert, noe svaret gjør.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x^3+2x^2-3x,x] \(3x^2+4x-3\)

Tolkning: CAS bekrefter den leddvise derivasjonen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x") f = x**3 + 2*x**2 - 3*x print("f(x) =", f) print("Deriver hvert ledd:") print("d/dx(x^3) =", sp.diff(x**3, x)) print("d/dx(2*x^2) =", sp.diff(2*x**2, x)) print("d/dx(-3*x) =", sp.diff(-3*x, x)) print("f'(x) =", sp.diff(f, x)) print("Kontroll, utvidet form =", sp.expand(sp.diff(f, x)))

Utskrift fra Python: f(x) = x**3 + 2*x**2 - 3*x Deriver hvert ledd: d/dx(x^3) = 3*x**2 d/dx(2*x^2) = 4*x d/dx(-3*x) = -3 f'(x) = 3*x**2 + 4*x - 3 Kontroll, utvidet form = 3*x**2 + 4*x - 3

Fasit: \(f'(x)=3x^2+4x-3\).

Vanlig feil: Å skrive \(2x\) som derivert av \(2x^2\); koeffisienten 2 må også multipliseres med eksponenten 2. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt potensregel på alle tre ledd. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Logaritme og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=\ln(x-2).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en naturlig logaritme med en lineær indre funksjon.

Steg 1 - Identifiser den indre funksjonen

Sett \(u(x)=x-2\).

Steg 2 - Deriver den indre funksjonen

\[u'(x)=1.\]

Steg 3 - Bruk logaritmeregelen

\[\frac{d}{dx}\ln u(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.\]

Steg 4 - Sett inn u og u-prime

\[g'(x)=\frac{1}{x-2}.\]

Steg 5 - Kontroller domenet

Originalfunksjonen krever \(x-2>0\), altså \(x>2\).

Steg 6 - Skriv sluttresultatet med domene

Den deriverte gjelder for alle \(x>2\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[ln(x-2),x] \(\dfrac{1}{x-2}\) 2 Solve[x-2>0,x] \(x>2\)

Tolkning: CAS bekrefter både derivert og definisjonsmengde.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) g = sp.log(x - 2) print("g(x) = ln(x - 2)") print("Indre funksjon u(x) = x - 2") print("u'(x) =", sp.diff(x - 2, x)) print("Regel: d/dx ln(u) = u'/u") print("g'(x) =", sp.diff(g, x)) print("Definisjonskrav: x - 2 > 0") print("Dermed gjelder x > 2")

Utskrift fra Python: g(x) = ln(x - 2) Indre funksjon u(x) = x - 2 u'(x) = 1 Regel: d/dx ln(u) = u'/u g'(x) = 1/(x - 2) Definisjonskrav: x - 2 > 0 Dermed gjelder x > 2

Fasit: \(g'(x)=\dfrac{1}{x-2}\), for \(x>2\).

Vanlig feil: Å skrive \(1/x-2\). Hele uttrykket \(x-2\) skal stå i nevneren. Sensorpunkt: Sensor ser etter logaritmeregelen og korrekt parentesbruk. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \[h(x)=(2x^2-1)^3.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke kjerneregelen på en tredje potens av et andregradsuttrykk.

Steg 1 - Velg indre funksjon

Sett \(u(x)=2x^2-1\). Da er \(h(x)=u^3\).

Steg 2 - Deriver den ytre funksjonen

Den deriverte av \(u^3\) med hensyn på \(u\) er \(3u^2\).

Steg 3 - Deriver den indre funksjonen

\[u'(x)=4x.\]

Steg 4 - Bruk kjerneregelen

\[h'(x)=3u^2\cdot u'(x).\]

Steg 5 - Sett inn uttrykkene

\[h'(x)=3(2x^2-1)^2\cdot4x.\]

Steg 6 - Forenkle koeffisienten

\[h'(x)=12x(2x^2-1)^2.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[(2x^2-1)^3,x] \(12x(2x^2-1)^2\)

Tolkning: CAS gir samme faktoriserte derivert.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x") u = 2*x**2 - 1 h = u**3 print("h(x) =", h) print("Ytre funksjon: u^3, derivert 3*u^2") print("Indre funksjon u(x) =", u) print("u'(x) =", sp.diff(u, x)) print("Kjerneregelen gir:") print("h'(x) =", sp.factor(sp.diff(h, x))) print("Utvidet kontroll =", sp.expand(sp.diff(h, x)))

Utskrift fra Python: h(x) = (2*x**2 - 1)**3 Ytre funksjon: u^3, derivert 3*u^2 Indre funksjon u(x) = 2*x**2 - 1 u'(x) = 4*x Kjerneregelen gir: h'(x) = 12*x*(2*x**2 - 1)**2 Utvidet kontroll = 48*x**5 - 48*x**3 + 12*x

Fasit: \(h'(x)=12x(2x^2-1)^2\).

Vanlig feil: Å derivere bare den ytre tredje potensen og glemme faktoren \(4x\) fra den indre funksjonen. Sensorpunkt: Sensor ser etter tydelig kjerneregel med både ytre og indre derivert. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Polynom og restsetningen

Oppgave 2a

Oppgave: Polynomfunksjonen \(P\) er gitt ved \[P(x)=x^3+2x^2-5x-6.\] Vis at \((x-2)\) er en faktor i \(P(x)\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke restsetningen og vise at polynomet får verdien 0 når \(x=2\).

Steg 1 - Bruk restsetningen

\(x-2\) er en faktor akkurat når \(P(2)=0\).

Steg 2 - Sett inn x lik 2

\[P(2)=2^3+2\cdot2^2-5\cdot2-6.\]

Steg 3 - Regn ut potensene

\[P(2)=8+2\cdot4-10-6.\]

Steg 4 - Summer leddene

\[P(2)=8+8-10-6=0.\]

Steg 5 - Bruk konklusjonen fra restsetningen

Siden resten er 0, er divisjonen med \(x-2\) eksakt.

Steg 6 - Formuler beviset

Dermed er \((x-2)\) en faktor i \(P(x)\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Substitute[P(x),x,2] \(0\) 2 PolynomialRemainder[P(x),x-2] \(0\)

Tolkning: Resten 0 viser faktorforholdet.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x") P = x**3 + 2*x**2 - 5*x - 6 print("P(x) =", P) print("Restsetningen: x - 2 er faktor hvis P(2) = 0") print("P(2) =", sp.expand(P.subs(x, 2))) print("Divisjonsrest ved divisjon med x - 2 =", sp.rem(P, x - 2, domain=sp.QQ)) print("Faktorisering =", sp.factor(P)) print("Konklusjon: x - 2 er en faktor")

Utskrift fra Python: P(x) = x**3 + 2*x**2 - 5*x - 6 Restsetningen: x - 2 er faktor hvis P(2) = 0 P(2) = 0 Divisjonsrest ved divisjon med x - 2 = 0 Faktorisering = (x - 2)*(x + 1)*(x + 3) Konklusjon: x - 2 er en faktor

Fasit: \(P(2)=0\), derfor er \((x-2)\) en faktor.

Vanlig feil: Å undersøke \(P(-2)\). Faktoren \(x-2\) har nullpunkt \(x=2\). Sensorpunkt: Sensor ser etter eksplisitt innsetting i P og korrekt bruk av restsetningen. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Polynomdivisjon og faktorisering

Oppgave 2b

Oppgave: Bruk blant annet polynomdivisjon til å faktorisere \(P(x)\) med lineære faktorer. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal dividere med den kjente faktoren \(x-2\) og deretter faktorisere andregradskvotienten.

Steg 1 - Sett opp divisjonen

Vi dividerer \(x^3+2x^2-5x-6\) med \(x-2\).

Steg 2 - Første divisjonsledd

\(x^3/x=x^2\). Subtraksjonen etter første steg gir \(4x^2-5x\).

Steg 3 - Andre divisjonsledd

\(4x^2/x=4x\). Subtraksjonen gir \(3x-6\).

Steg 4 - Tredje divisjonsledd

\(3x/x=3\). Resten blir 0.

Steg 5 - Skriv kvotienten

\[P(x)=(x-2)(x^2+4x+3).\]

Steg 6 - Faktoriser andregradsuttrykket

Tallene 1 og 3 har produkt 3 og sum 4: \[x^2+4x+3=(x+1)(x+3).\]

Steg 7 - Skriv full faktorisering

\[P(x)=(x-2)(x+1)(x+3).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Div[x^3+2x^2-5x-6,x-2] \(x^2+4x+3\) 2 Factor[x^2+4x+3] \((x+1)(x+3)\)

Tolkning: CAS bekrefter divisjonen og full faktorisering.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x") P = x**3 + 2*x**2 - 5*x - 6 q, r = sp.div(P, x - 2) print("P(x) =", P) print("Polynomdivisjon P(x) : (x - 2)") print("Kvotient =", q) print("Rest =", r) print("Faktoriser kvotienten:", sp.factor(q)) print("Full faktorisering:", sp.factor(P)) print("Kontroll ved utvidelse:", sp.expand((x-2)*(x+1)*(x+3)))

Utskrift fra Python: P(x) = x**3 + 2*x**2 - 5*x - 6 Polynomdivisjon P(x) : (x - 2) Kvotient = x**2 + 4*x + 3 Rest = 0 Faktoriser kvotienten: (x + 1)*(x + 3) Full faktorisering: (x - 2)*(x + 1)*(x + 3) Kontroll ved utvidelse: x**3 + 2*x**2 - 5*x - 6

Fasit: \(P(x)=(x-2)(x+1)(x+3)\).

Vanlig feil: Å stoppe etter polynomdivisjonen uten å faktorisere andregradskvotienten videre. Sensorpunkt: Sensor ser etter kvotient, null rest og tre lineære faktorer. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2c Grenseverdi

Oppgave 2c

Oppgave: Bestem \[\lim_{x\to2}\frac{x^3+2x^2-5x-6}{x-2}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal fjerne den ubestemte formen 0/0 ved å faktorisere og forkorte. …