Matematikk R1 Eksamen høsten 2009 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 — eksamen høsten 2009

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 – uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon · eksponentialfunksjon

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=5e^{3x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en eksponentialfunksjon med en lineær eksponent. Kjerneregelen må brukes fordi eksponenten er den indre funksjonen \(3x\).

Steg 1 — Identifiser konstantfaktoren

Tallet \(5\) er en konstant og beholdes utenfor derivasjonen.

Steg 2 — Identifiser den indre funksjonen

Sett \(u(x)=3x\). Da er \(f(x)=5e^{u(x)}\).

Steg 3 — Deriver den ytre funksjonen

Den deriverte av \(e^u\) med hensyn på \(u\) er fortsatt \(e^u\).

Steg 4 — Deriver den indre funksjonen

Vi får \(u'(x)=3\).

Steg 5 — Bruk kjerneregelen

Dermed er \[f'(x)=5e^{3x}\cdot 3.\]

Steg 6 — Forenkle konstantene

Multiplikasjon av \(5\) og \(3\) gir \[f'(x)=15e^{3x}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative(5 exp(3x)) \(15e^{3x}\)

Tolkning: CAS bekrefter at eksponenten gir en ekstra faktor 3.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, simplify x = symbols('x', real=True) f = 5*exp(3*x) f_derivert = diff(f, x) forventet = 15*exp(3*x) print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_derivert) print("Forventet svar =", forventet) print("Differanse ved kontroll =", simplify(f_derivert - forventet))

Utskrift fra Python: f(x) = 5*exp(3*x) f'(x) = 15*exp(3*x) Forventet svar = 15*exp(3*x) Differanse ved kontroll = 0

Fasit: \(f'(x)=15e^{3x}\).

Vanlig feil: Å derivere til \(5e^{3x}\) og glemme faktoren 3 fra den indre funksjonen. Sensorpunkt: Sensor ser etter kjerneregelen og den ekstra faktoren 3. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Derivasjon · produktregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=x^3\cdot\ln(2x).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av \(x^3\) og \(\ln(2x)\). Derfor trenger vi både produktregelen og kjerneregelen for logaritmen.

Steg 1 — Kontroller definisjonsområdet

Siden \(\ln(2x)\) krever \(2x>0\), arbeider vi med \(x>0\).

Steg 2 — Del produktet i to faktorer

Sett \(u(x)=x^3\) og \(v(x)=\ln(2x)\).

Steg 3 — Deriver første faktor

Potensregelen gir \(u'(x)=3x^2\).

Steg 4 — Deriver logaritmefaktoren

Kjerneregelen gir \[v'(x)=\frac{1}{2x}\cdot 2=\frac1x.\]

Steg 5 — Bruk produktregelen

Produktregelen sier \[g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).\]

Steg 6 — Sett inn uttrykkene

Vi får \[g'(x)=3x^2\ln(2x)+x^3\cdot\frac1x.\]

Steg 7 — Forenkle

Siden \(x^3/x=x^2\), blir \[g'(x)=3x^2\ln(2x)+x^2=x^2\bigl(3\ln(2x)+1\bigr).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative(x^3 ln(2x)) \(x^2(3\ln(2x)+1)\)

Tolkning: CAS gir samme faktorerte uttrykk og forutsetter x>0.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, log, diff, factor, simplify x = symbols('x', positive=True) g = x**3*log(2*x) g_derivert = diff(g, x) g_faktorisert = factor(g_derivert) forventet = x**2*(3*log(2*x) + 1) print("Definisjonsområde: x > 0") print("g(x) =", g) print("g'(x) =", g_derivert) print("Faktorisert form =", g_faktorisert) print("Differanse ved kontroll =", simplify(g_derivert - forventet))

Utskrift fra Python: Definisjonsområde: x > 0 g(x) = x**3*log(2*x) g'(x) = 3*x**2*log(2*x) + x**2 Faktorisert form = x**2*(3*log(x) + 1 + 3*log(2)) Differanse ved kontroll = 0

Fasit: \(g'(x)=x^2\bigl(3\ln(2x)+1\bigr)\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å skrive den deriverte av \(\ln(2x)\) som \(1/(2x)\). Faktoren 2 fra kjerneregelen må også med. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt produktregel, korrekt logaritmederivasjon og et forenklet sluttresultat. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Polynomlikning · faktorisering

Oppgave 1c

Oppgave: Likningen \[2x^3-10x^2-2x+10=0\] har tre løsninger. Vis at \(x_1=1\) er en løsning, og finn de to andre. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først kontrollere den oppgitte roten ved innsetting. Deretter faktoriserer vi tredjegradspolynomet og bruker nullproduktregelen.

Steg 1 — Sett inn den oppgitte roten

For \(x=1\) blir venstresiden \[2-10-2+10=0.\] Derfor er \(x=1\) en løsning.

Steg 2 — Samle ledd i grupper

Skriv polynomet som \[(2x^3-10x^2)+(-2x+10).\]

Steg 3 — Trekk ut felles faktorer

Fra første gruppe trekkes \(2x^2\) ut, og fra den andre trekkes \(-2\) ut: \[2x^2(x-5)-2(x-5).\]

Steg 4 — Trekk ut den felles parentesen

Begge leddene inneholder \(x-5\): \[(x-5)(2x^2-2).\]

Steg 5 — Faktoriser videre

Vi får \[2(x-5)(x^2-1)=2(x-5)(x-1)(x+1).\]

Steg 6 — Bruk nullproduktregelen

Et produkt er null når minst én faktor er null: \[x-5=0,\quad x-1=0,\quad x+1=0.\]

Steg 7 — Les av løsningene

Dermed er løsningene \[x=5,\quad x=1,\quad x=-1.\] De to andre enn den oppgitte er \(-1\) og \(5\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 p(x):=2x^3-10x^2-2x+10 \(p(1)=0\) 2 Factor(p(x)) \(2(x-5)(x-1)(x+1)\) 3 Solve(p(x)=0) \(x=-1,1,5\)

Tolkning: CAS bekrefter både den oppgitte roten og de to øvrige røttene.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, factor, solve, expand x = symbols('x') p = 2*x**3 - 10*x**2 - 2*x + 10 verdi_i_1 = p.subs(x, 1) faktorisert = factor(p) losninger = solve(p, x) print("p(x) =", p) print("p(1) =", verdi_i_1) print("Faktorisert form =", faktorisert) print("Utvidet kontroll =", expand(faktorisert)) print("Alle løsninger =", losninger)

Utskrift fra Python: p(x) = 2*x**3 - 10*x**2 - 2*x + 10 p(1) = 0 Faktorisert form = 2*(x - 5)*(x - 1)*(x + 1) Utvidet kontroll = 2*x**3 - 10*x**2 - 2*x + 10 Alle løsninger = [-1, 1, 5]

Fasit: \(x=-1,\ 1,\ 5\). De to andre løsningene er \(x=-1\) og \(x=5\).

Vanlig feil: Å bare dele polynomet på \(x-1\) uten å vise at \(p(1)=0\), eller å miste faktoren 2 under faktoriseringen. Sensorpunkt: Sensor ser etter innsettingskontroll, full faktorisering og bruk av nullproduktregelen. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d Logaritmer · regneregler

Oppgave 1d

Oppgave: Skriv så enkelt som mulig \[\lg(a^2b)-\lg\left(\frac1{ab}\right).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke kvotientregelen og potensregelen for logaritmer. Uttrykkene er definert når \(a>0\) og \(b>0\).

Steg 1 — Bruk regelen for differanse av logaritmer

Regelen \(\lg U-\lg V=\lg(U/V)\) gir \[\lg\left(\frac{a^2b}{1/(ab)}\right).\]

Steg 2 — Del på en brøk

Å dele på \(1/(ab)\) er det samme som å multiplisere med \(ab\): \[\frac{a^2b}{1/(ab)}=a^2b\cdot ab.\]

Steg 3 — Samle potenser

Produktet blir \[a^2\cdot a\cdot b\cdot b=a^3b^2.\]

Steg 4 — Skriv som én logaritme

Dermed er uttrykket \[\lg(a^3b^2).\]

Steg 5 — Bruk produktregelen

Vi kan også skrive \[\lg(a^3b^2)=\lg(a^3)+\lg(b^2).\]

Steg 6 — Bruk potensregelen

Siden \(\lg(u^k)=k\lg u\), får vi \[3\lg a+2\lg b.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Simplify(lg(a^2 b)-lg(1/(a b))) \(3\lg a+2\lg b\)

Tolkning: CAS-forenklingen samsvarer når a og b er positive.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, log, expand_log, simplify a, b = symbols('a b', positive=True) expr = log(a**2*b, 10) - log(1/(a*b), 10) expanded = expand_log(expr, force=True) expected = (3*log(a) + 2*log(b))/log(10) print("Forutsetninger: a > 0 og b > 0") print("Opprinnelig uttrykk =", expr) print("Utvidet med logaritmeregler =", expanded) print("Forventet form =", expected) print("Differanse ved kontroll =", simplify(expr - expected))

Utskrift fra Python: Forutsetninger: a > 0 og b > 0 Opprinnelig uttrykk = -log(1/(a*b))/log(10) + log(a**2*b)/log(10) Utvidet med logaritmeregler = -(-log(a) - log(b))/log(10) + (2*log(a) + log(b))/log(10) Forventet form = (3*log(a) + 2*log(b))/log(10) Differanse ved kontroll = 0

Fasit: \(3\lg a+2\lg b\), for \(a>0\) og \(b>0\).

Vanlig feil: Å behandle minus foran den andre logaritmen som om bare telleren skifter fortegn, eller å overse at divisjon med en brøk gir multiplikasjon. Sensorpunkt: Sensor ser etter gyldig bruk av logaritmereglene og korrekte definisjonsforutsetninger. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1e.1 Kontinuitet · graflesing

Oppgave 1e.1

Oppgave: Figuren viser grafen til en funksjon. Bestem x-verdien til eventuelle punkter der funksjonen ikke er kontinuerlig. Begrunn svaret ditt. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne venstre og høyre grenseverdi i punktene der grafens uttrykk skifter. Et sprang oppstår ved \(x=1\).

Steg 1 — Les av skjøtepunktene

Grafen skifter form ved \(x=-2,0,1\) og \(2\). Disse punktene må undersøkes.

Steg 2 — Undersøk x=-2

Den horisontale delen og den stigende linjen møtes i samme punkt \((-2,-2)\). Funksjonen er kontinuerlig der.

Steg 3 — Undersøk x=0

Den stigende linjen og den horisontale delen møtes i \((0,2)\). De ensidige grenseverdiene og funksjonsverdien er 2. …