Matematikk R1 Eksempelsett april 2007 (REA3022) – løsningsforslag

Matematikk R1 — eksempelsett april 2007 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Om oppgave 4: På eksamen skulle kandidaten velge alternativ I eller alternativ II. Her er begge løst for at løsningsforslaget skal dekke hele settet.

Del 1 – uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon · produkt- og kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=x^2\cdot e^{2x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt der den ene faktoren også krever kjerneregelen. Vi bruker produktregelen på hele uttrykket og kjerneregelen på \(e^{2x}\).

Steg 1 — Del funksjonen i to faktorer

Sett \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=e^{2x}\). Da er \(f(x)=u(x)v(x)\).

Steg 2 — Skriv produktregelen

Produktregelen er \[(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\] Begge leddene må tas med.

Steg 3 — Deriver den første faktoren

Potensregelen gir \[u^{\prime}(x)=2x.\]

Steg 4 — Deriver eksponentialfaktoren

Kjernen er \(2x\), med derivert \(2\). Derfor får vi \[v^{\prime}(x)=2e^{2x}.\]

Steg 5 — Sett inn i produktregelen

\[f^{\prime}(x)=2x\,e^{2x}+x^2\cdot2e^{2x}.\]

Steg 6 — Trekk ut felles faktor

Begge leddene inneholder \(2xe^{2x}\): \[f^{\prime}(x)=2xe^{2x}(1+x)=2x(x+1)e^{2x}.\]

Steg 7 — Kontroller strukturen

Svaret inneholder både leddet fra den deriverte av \(x^2\) og leddet fra den deriverte av \(e^{2x}\), slik produktregelen krever.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivative(x^2 * exp(2x)) \(2x(x+1)e^{2x}\)

CAS-resultatet er identisk med det manuelt faktoriserte uttrykket.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify x = symbols('x', real=True) f = x**2 * exp(2*x) f_derivert = factor(diff(f, x)) print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_derivert) print("Utvidet kontroll =", simplify(diff(f, x) - 2*x*(x + 1)*exp(2*x)))

Utskrift fra Python: f(x) = x**2*exp(2*x) f'(x) = 2*x*(x + 1)*exp(2*x) Utvidet kontroll = 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=2x(x+1)e^{2x}\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(2\) fra kjerneregelen eller å derivere produktet som produktet av de deriverte. Sensorpunkt: Sensor ser etter tydelig bruk av både produktregelen og kjerneregelen, med korrekt faktorisering til slutt. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b-1 Funksjonsdrøfting · ekstremal- og terrassepunkt

Oppgave 1b-1

Oppgave: Gitt funksjonen \(g(x)=x^4-4x^3\). Finn eventuelle topp-, bunn- og terrassepunkter på grafen til \(g\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne stasjonære punkter ved å løse \(g^{\prime}(x)=0\), og deretter bruke fortegnsskifte og andrederivert til å klassifisere punktene.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[g^{\prime}(x)=4x^3-12x^2.\]

Steg 2 — Faktoriser den deriverte

\[g^{\prime}(x)=4x^2(x-3).\] Faktorformen viser nullpunktene og gjør fortegnsanalysen enklere.

Steg 3 — Finn de stasjonære x-verdiene

\[4x^2(x-3)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{eller}\ x=3.\] Nullpunktet \(x=0\) har multiplisitet 2.

Steg 4 — Analyser fortegnet til \(g^{\prime}\)

Faktoren \(4x^2\) er ikke-negativ. Derfor bestemmes fortegnet, bortsett fra i \(x=0\), av \(x-3\). Den deriverte er negativ på begge sider av \(x=0\), negativ for \(0<x<3\), og positiv for \(x>3\).

Steg 5 — Klassifiser punktet ved x lik 3

Fortegnet går fra minus til pluss ved \(x=3\). Grafen går derfor fra å avta til å vokse, så punktet er et bunnpunkt. \[g(3)=3^4-4\cdot3^3=81-108=-27.\]

Steg 6 — Undersøk punktet ved x lik 0

Det er ikke fortegnsskifte i \(g^{\prime}\) ved \(x=0\), så punktet er verken topp eller bunn. Andrederiverten er \[g^{\prime\prime}(x)=12x(x-2),\] som skifter fortegn ved \(x=0\). Punktet er derfor et terrassepunkt.

Steg 7 — Finn koordinaten til terrassepunktet

\[g(0)=0.\] Terrassepunktet er dermed \((0,0)\). Det finnes ikke noe toppunkt.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Factor(Derivative(x^4 - 4x^3)) \(4x^2(x-3)\) 2 Solve(Derivative(x^4 - 4x^3) = 0) \(x=0,\ x=3\)

CAS finner de samme stasjonære x-verdiene. Klassifikasjonen krever fortsatt fortegnsanalyse.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, diff, factor, solve x = symbols('x', real=True) g = x**4 - 4*x**3 g1 = factor(diff(g, x)) g2 = factor(diff(g, x, 2)) kritiske = solve(g1, x) print("g(x) =", g) print("g'(x) =", g1) print("g''(x) =", g2) print("Kritiske x-verdier:", kritiske) for verdi in kritiske: print("x =", verdi, ", g(x) =", g.subs(x, verdi), ", g''(x) =", g2.subs(x, verdi)) print("Fortegn g' ved x=-1, 1 og 4:", [g1.subs(x, t) for t in (-1, 1, 4)])

Utskrift fra Python: g(x) = x**4 - 4*x**3 g'(x) = 4*x**2*(x - 3) g''(x) = 12*x*(x - 2) Kritiske x-verdier: [0, 3] x = 0 , g(x) = 0 , g''(x) = 0 x = 3 , g(x) = -27 , g''(x) = 36 Fortegn g' ved x=-1, 1 og 4: [-16, -8, 64]

Fasit: Terrassepunkt \((0,0)\), bunnpunkt \((3,-27)\), og ingen toppunkt.

Vanlig feil: Å kalle \((0,0)\) et ekstremalpunkt bare fordi \(g^{\prime}(0)=0\). En null derivert er ikke nok; fortegnsskiftet må undersøkes. Sensorpunkt: Sensor ser etter faktorisert derivert, fortegn på intervallene og en eksplisitt begrunnelse for at \((0,0)\) er et terrassepunkt. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b-2 Funksjonsdrøfting · vendepunkter og graf

Oppgave 1b-2

Oppgave: Gitt funksjonen \(g(x)=x^4-4x^3\). Finn eventuelle vendepunkter på grafen til \(g\). Tegn grafen. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor krumningen skifter ved hjelp av andrederiverten. Deretter kombinerer vi dette med resultatene fra forrige del for å tegne en presis skisse.

Steg 1 — Finn andrederiverten

Fra \(g^{\prime}(x)=4x^3-12x^2\) får vi \[g^{\prime\prime}(x)=12x^2-24x.\]

Steg 2 — Faktoriser

\[g^{\prime\prime}(x)=12x(x-2).\]

Steg 3 — Finn kandidatene

\[12x(x-2)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{eller}\ x=2.\]

Steg 4 — Undersøk fortegnsskifte

For \(x<0\) er begge faktorene negative, så \(g^{\prime\prime}>0\). For \(0<x<2\) er produktet negativt. For \(x>2\) er produktet positivt. Krumningen skifter derfor ved begge kandidatene.

Steg 5 — Finn koordinatene

\[g(0)=0,\qquad g(2)=2^4-4\cdot2^3=16-32=-16.\]

Steg 6 — Samle nøkkelinformasjonen

Grafen har vendepunktene \((0,0)\) og \((2,-16)\), terrassepunkt i \((0,0)\), og bunnpunkt i \((3,-27)\). Den avtar fram til \(x=3\) og vokser deretter.

Steg 7 — Kontroller endeadferden

Fordi leddet \(x^4\) dominerer for store \(|x|\), går \(g(x)\) mot \(+\infty\) både mot venstre og mot høyre. Dette bestemmer grafens ytterender.

Grafen er tegnet fra den fullstendige funksjonsdrøftingen.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 InflectionPoint(x^4 - 4x^3) \((0,0),\ (2,-16)\) 2 Extremum(x^4 - 4x^3) \((3,-27)\)

GeoGebra bekrefter punktene og grafens form.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 · SymPy

from sympy import symbols, diff, factor, solve x = symbols('x', real=True) g = x**4 - 4*x**3 g2 = factor(diff(g, x, 2)) vendekandidater = solve(g2, x) print("g''(x) =", g2) print("Kandidater fra g''(x)=0:", vendekandidater) for verdi in vendekandidater: print("x =", verdi, ", g(x) =", g.subs(x, verdi)) print("Fortegn g'' ved x=-1, 1 og 3:", [g2.subs(x, t) for t in (-1, 1, 3)])

Utskrift fra Python: g''(x) = 12*x*(x - 2) Kandidater fra g''(x)=0: [0, 2] x = 0 , g(x) = 0 x = 2 , g(x) = -16 Fortegn g'' ved x=-1, 1 og 3: [36, -12, 36]

Fasit: Vendepunktene er \((0,0)\) og \((2,-16)\). Grafen er vist i figuren.

Vanlig feil: Å oppgi alle løsninger av \(g^{\prime\prime}(x)=0\) som vendepunkter uten å kontrollere at andrederiverten skifter fortegn. Sensorpunkt: Sensor ser etter andrederivert, fortegnsskifte, korrekte koordinater og en graf som samsvarer med ekstremal- og vendepunktene. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Algebra · rasjonale uttrykk

Oppgave 1c

Oppgave: Skriv så enkelt som mulig \[\frac{x^2+x}{x^2-4}-\frac{2}{4-2x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal faktorisere nevnerne, håndtere fortegnet i \(4-2x\), finne fellesnevner og samle uttrykket uten å miste definisjonskravene.

Steg 1 — Faktoriser første nevner

\[x^2-4=(x-2)(x+2).\]

Steg 2 — Skriv om den andre nevneren

\[4-2x=2(2-x)=-2(x-2).\] Dermed er \[\frac{2}{4-2x}=-\frac{1}{x-2}.\]

Steg 3 — Sett dette inn i hele uttrykket

Fordi det står minus foran den andre brøken, får vi \[\frac{x(x+1)}{(x-2)(x+2)}-\left(-\frac{1}{x-2}\right).\]

Steg 4 — Finn fellesnevner

Utvid \(1/(x-2)\) med \(x+2\): \[\frac{x(x+1)}{(x-2)(x+2)}+\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}.\]

Steg 5 — Samle tellerne

\[x(x+1)+(x+2)=x^2+x+x+2=x^2+2x+2.\]

Steg 6 — Skriv sluttsvaret

\[\frac{x^2+2x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x^2+2x+2}{x^2-4}.\] Telleren kan ikke faktoriseres over de reelle tallene fordi diskriminanten er \(4-8=-4\).

Steg 7 — Behold definisjonskravene

Det opprinnelige uttrykket er ikke definert for \(x=2\) eller \(x=-2\). Disse verdiene må fortsatt utelukkes.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra · CAS 1 Simplify((x^2+x)/(x^2-4)-2/(4-2x)) \(\frac{x^2+2x+2}{x^2-4}\)

CAS gir samme uttrykk, men definisjonskravene må hentes fra originaluttrykket. …