Matematikk R1 Våren 2020 (REA3022) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - våren 2020 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon ledd for ledd

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=x^6+3x^5+\ln x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker potensregelen på polynomleddene og standardregelen for den naturlige logaritmen.

Steg 1 - Definisjonsmengde

Fordi \(\ln x\) inngår, må \(x>0\).

Steg 2 - Første ledd

\((x^6)^{\prime}=6x^5\).

Steg 3 - Andre ledd

\((3x^5)^{\prime}=15x^4\).

Steg 4 - Logaritmeleddet

\((\ln x)^{\prime}=1/x\).

Steg 5 - Samle

\[f^{\prime}(x)=6x^5+15x^4+\frac1x.\]

Steg 6 - Kontroller

Alle ledd er derivert én gang, og området \(x>0\) beholdes.

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[x^6+3x^5+ln(x),x] \(6x^5+15x^4+1/x\)

Tolkning: CAS deriverer leddvis og gir samme uttrykk.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", positive=True) f = x**6 + 3*x**5 + sp.log(x) f_prime = sp.diff(f, x) expected = 6*x**5 + 15*x**4 + 1/x print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_prime) print("Expected =", expected) print("Difference =", sp.simplify(f_prime-expected)) print("Domain condition: x > 0")

Utskrift fra Python: f(x) = x**6 + 3*x**5 + log(x) f'(x) = 6*x**5 + 15*x**4 + 1/x Expected = 6*x**5 + 15*x**4 + 1/x Difference = 0 Domain condition: x > 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=6x^5+15x^4+\dfrac1x\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å glemme at den deriverte av \(\ln x\) er \(1/x\), eller å utelate definisjonsmengden. Sensorpunkt: Alle tre derivasjonsreglene og \(x>0\) skal være tydelige. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=2x^2e^{2x-1}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt. Eksponentialfaktoren krever i tillegg kjerneregelen.

Steg 1 - Velg faktorer

Sett \(u=2x^2\) og \(v=e^{2x-1}\).

Steg 2 - Deriver u

\(u^{\prime}=4x\).

Steg 3 - Deriver v

Kjerneregelen gir \(v^{\prime}=2e^{2x-1}\).

Steg 4 - Produktregelen

\[g^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\]

Steg 5 - Sett inn

\[g^{\prime}(x)=4xe^{2x-1}+4x^2e^{2x-1}.\]

Steg 6 - Faktoriser

\[g^{\prime}(x)=4x(x+1)e^{2x-1}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[2x^2 exp(2x-1),x] \(4x(x+1)e^{2x-1}\)

Tolkning: GeoGebra bruker både produktregelen og kjerneregelen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) u = 2*x**2 v = sp.exp(2*x-1) product_rule = sp.diff(u,x)*v + u*sp.diff(v,x) factored = sp.factor(product_rule) print("u'(x) =", sp.diff(u,x)) print("v'(x) =", sp.diff(v,x)) print("Expanded derivative =", sp.expand(product_rule)) print("Factored derivative =", factored) print("Direct-check difference =", sp.simplify(factored-sp.diff(u*v,x)))

Utskrift fra Python: u'(x) = 4*x v'(x) = 2*exp(2*x - 1) Expanded derivative = 4*x**2*exp(-1)*exp(2*x) + 4*x*exp(-1)*exp(2*x) Factored derivative = 4*x*(x + 1)*exp(-1)*exp(2*x) Direct-check difference = 0

Fasit: \(g^{\prime}(x)=4x(x+1)e^{2x-1}\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren 2 fra kjerneregelen eller å derivere bare én faktor. Sensorpunkt: Produktregelen, kjerneregelen og faktoriseringen må være dokumentert. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Kvotientregelen

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \[h(x)=\frac{4x-1}{x+2}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker kvotientregelen og tar hensyn til at nevneren ikke kan være null.

Steg 1 - Definisjonsmengde

\(x\ne-2\).

Steg 2 - Sett teller og nevner

\(u=4x-1\), \(v=x+2\).

Steg 3 - Deriver

\(u^{\prime}=4\), \(v^{\prime}=1\).

Steg 4 - Kvotientregelen

\[h^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}.\]

Steg 5 - Sett inn

\[h^{\prime}(x)=\frac{4(x+2)-(4x-1)}{(x+2)^2}.\]

Steg 6 - Forenkle

\[h^{\prime}(x)=\frac9{(x+2)^2}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[(4x-1)/(x+2),x] \(9/(x+2)^2\)

Tolkning: CAS bekrefter at alle x-leddene i telleren kanselleres.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", real=True) h = (4*x-1)/(x+2) h_prime = sp.factor(sp.diff(h,x)) expected = 9/(x+2)**2 print("h(x) =", h) print("h'(x) =", h_prime) print("Expected =", expected) print("Difference =", sp.simplify(h_prime-expected)) print("Excluded x-value =", -2)

Utskrift fra Python: h(x) = (4*x - 1)/(x + 2) h'(x) = 9/(x + 2)**2 Expected = 9/(x + 2)**2 Difference = 0 Excluded x-value = -2

Fasit: \(h^{\prime}(x)=\dfrac9{(x+2)^2}\), for \(x\ne-2\).

Vanlig feil: Å bytte rekkefølgen i telleren i kvotientregelen. Sensorpunkt: Korrekt fortegn og definisjonsbegrensning skal framgå. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Logaritmelikning

Oppgave 2a

Oppgave: Løs likningen \[\ln(x^2)+\ln x=12.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Fordi \(\ln x\) forekommer, er bare positive x-verdier tillatt. Da kan \(\ln(x^2)\) skrives som \(2\ln x\).

Steg 1 - Domene

Kravet er \(x>0\).

Steg 2 - Bruk potensregelen for logaritmer

For \(x>0\): \(\ln(x^2)=2\ln x\).

Steg 3 - Samle

\[3\ln x=12.\]

Steg 4 - Divider med 3

\[\ln x=4.\]

Steg 5 - Eksponentier

\[x=e^4.\]

Steg 6 - Kontroller

\(\ln(e^8)+\ln(e^4)=8+4=12\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Solve[ln(x^2)+ln(x)=12,x] \(x=e^4\)

Tolkning: Med domene x > 0 finner CAS den eneste tillatte løsningen.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x = sp.symbols("x", positive=True) equation = sp.Eq(sp.log(x**2)+sp.log(x),12) solution = sp.exp(4) left_check = sp.simplify(sp.log(solution**2)+sp.log(solution)) print("Equation =", equation) print("Domain condition: x > 0") print("Solution x =", solution) print("Decimal x =", sp.N(solution,10)) print("Left side at solution =", left_check)

Utskrift fra Python: Equation = Eq(log(x) + log(x**2), 12) Domain condition: x > 0 Solution x = exp(4) Decimal x = 54.59815003 Left side at solution = 12

Fasit: \(x=e^4\approx54.598\).

Vanlig feil: Å tillate en negativ løsning fordi \(x^2\) er positiv; leddet \(\ln x\) krever \(x>0\). Sensorpunkt: Domene, logaritmeregel og kontroll skal være med. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Eksponentiallikning med substitusjon

Oppgave 2b

Oppgave: Løs likningen \[e^{2x}-e^x=6.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi setter \(y=e^x\). Da er \(y>0\), og likningen blir en andregradslikning.

Steg 1 - Substituer

La \(y=e^x\), slik at \(e^{2x}=y^2\).

Steg 2 - Ny likning

\[y^2-y=6.\]

Steg 3 - Flytt alt til venstre

\[y^2-y-6=0.\]

Steg 4 - Faktoriser

\[(y-3)(y+2)=0.\]

Steg 5 - Bruk y > 0

\(y=-2\) forkastes, så \(y=3\).

Steg 6 - Gå tilbake

\[e^x=3\Rightarrow x=\ln3.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Solve[exp(2x)-exp(x)=6,x] \(x=\ln3\)

Tolkning: Den negative roten i den substituerte likningen er ikke mulig for e^x.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - SymPy

import sympy as sp x, y = sp.symbols("x y", real=True) quadratic = y**2-y-6 roots = sp.solve(sp.Eq(quadratic,0),y) valid_y = [r for r in roots if r.is_positive] solution = sp.log(valid_y[0]) print("Quadratic =", quadratic) print("y-roots =", roots) print("Valid positive y =", valid_y) print("x =", solution) print("Original-equation check =", sp.simplify(sp.exp(2*solution)-sp.exp(solution)))

Utskrift fra Python: Quadratic = y**2 - y - 6 y-roots = [-2, 3] Valid positive y = [3] x = log(3) Original-equation check = 6

Fasit: \(x=\ln3\approx1.099\).

Vanlig feil: Å beholde \(e^x=-2\), som er umulig for reell x. Sensorpunkt: Substitusjon, positivitet og tilbakesubstitusjon skal vises. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3a Parallelle vektorer i en basis

Oppgave 3a

Oppgave: Vektorene oppfyller \(\vec u\cdot\vec v=-2\), \(|\vec u|=3\), \(|\vec v|=2\). Videre er \(\vec a=2\vec u+3\vec v\) og \(\vec b=t\vec u+5\vec v\). Bestem t slik at \(\vec a\parallel\vec b\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vektorene u og v er ikke parallelle, siden skalarproduktet ikke er \(\pm|u||v|=\pm6\). De kan derfor brukes som uavhengige retninger.

Steg 1 - Parallellbetingelse

Det finnes et tall \(\lambda\) slik at \(\vec b=\lambda\vec a\).

Steg 2 - Sammenlikn v-koeffisienter

\[5=3\lambda\Rightarrow\lambda=\frac53.\]

Steg 3 - Sammenlikn u-koeffisienter

\[t=2\lambda.\]

Steg 4 - Sett inn lambda

\[t=2\cdot\frac53=\frac{10}{3}.\]

Steg 5 - Kontroller

\(\vec b=(5/3)(2\vec u+3\vec v)\).

Steg 6 - Konkluder

Da har vektorene samme eller motsatt linjeretning; her er faktoren positiv. …