Matematikk R1 Våren 2021 (REA3022) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R1

Matematikk R1 - våren 2021 (REA3022)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Derivasjon av potens og brøk

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \[f(x)=3x^3-4x+\frac{1}{x}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere hvert ledd og samtidig ta vare på at originalfunksjonen ikke er definert for \(x=0\).

Steg 1 - Skriv brøken som potens

\(1/x=x^{-1}\).

Steg 2 - Deriver første ledd

\((3x^3)^\prime=9x^2\).

Steg 3 - Deriver det lineære leddet

\((-4x)^\prime=-4\).

Steg 4 - Deriver brøkleddet

\((x^{-1})^\prime=-x^{-2}=-1/x^2\).

Steg 5 - Samle leddene

\[f^\prime(x)=9x^2-4-\frac{1}{x^2}.\]

Steg 6 - Oppgi definisjonsbegrensningen

Derivasjonsformelen gjelder for \(x\neq0\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[3x^3-4x+1/x] \(9x^2-4-1/x^2\)

Tolkning: CAS deriverer alle tre ledd og beholder nevneren x^2.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True , nonzero = True ) f = 3 * x ** 3 - 4 * x + 1 / x f_prime = sp . diff ( f , x ) expected = 9 * x ** 2 - 4 - 1 / x ** 2 print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , f_prime ) print ( "Expected =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( f_prime - expected )) print ( "Excluded x-value = 0" ) 

Utskrift fra Python: f(x) = 3*x**3 - 4*x + 1/x f'(x) = 9*x**2 - 4 - 1/x**2 Expected = 9*x**2 - 4 - 1/x**2 Difference = 0 Excluded x-value = 0

Fasit: \(f^\prime(x)=9x^2-4-\dfrac{1}{x^2}\), \(x\neq0\).

Vanlig feil: Å derivere \(1/x\) som \(1\) eller som \(+1/x^2\). Sensorpunkt: Potensregelen må brukes med eksponenten \(-1\), og domenet skal nevnes. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Produktregelen

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \[g(x)=3x^2\ln x.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt av \(3x^2\) og \(\ln x\), så vi bruker produktregelen.

Steg 1 - Domene

Logaritmen krever \(x>0\).

Steg 2 - Velg faktorer

Sett \(u=3x^2\) og \(v=\ln x\).

Steg 3 - Deriver faktorene

\(u^\prime=6x\) og \(v^\prime=1/x\).

Steg 4 - Produktregelen

\[g^\prime=u^\prime v+uv^\prime=6x\ln x+3x^2\frac1x.\]

Steg 5 - Forenkle

\[g^\prime(x)=6x\ln x+3x.\]

Steg 6 - Faktoriser om ønskelig

\[g^\prime(x)=3x(2\ln x+1).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[3x^2 ln(x)] \(6x\ln(x)+3x\)

Tolkning: GeoGebra bruker produktregelen og den deriverte av ln(x).

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , positive = True ) g = 3 * x ** 2 * sp . log ( x ) g_prime = sp . diff ( g , x ) factored = sp . factor ( g_prime ) expected = 6 * x * sp . log ( x ) + 3 * x print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) =" , g_prime ) print ( "Factored form =" , factored ) print ( "Expected =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( g_prime - expected )) print ( "Domain: x > 0" ) 

Utskrift fra Python: g(x) = 3*x**2*log(x) g'(x) = 6*x*log(x) + 3*x Factored form = 3*x*(2*log(x) + 1) Expected = 6*x*log(x) + 3*x Difference = 0 Domain: x > 0

Fasit: \(g^\prime(x)=6x\ln x+3x=3x(2\ln x+1)\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å derivere bare én av faktorene. Sensorpunkt: Produktregelen og logaritmens domene må komme tydelig fram. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1c Kjerneregelen for kvadratrot

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver funksjonen \[h(x)=\sqrt{4x^2-5}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skriver kvadratroten som en halv potens og bruker kjerneregelen.

Steg 1 - Skriv som potens

\(h(x)=(4x^2-5)^{1/2}\).

Steg 2 - Ytre funksjon

Den deriverte av \(u^{1/2}\) er \(\frac12u^{-1/2}\).

Steg 3 - Indre funksjon

For \(u=4x^2-5\) er \(u^\prime=8x\).

Steg 4 - Kjerneregelen

\[h^\prime(x)=\frac12(4x^2-5)^{-1/2}\cdot8x.\]

Steg 5 - Forenkle

\[h^\prime(x)=\frac{4x}{\sqrt{4x^2-5}}.\]

Steg 6 - Domene for den deriverte

Den deriverte er definert når \(4x^2-5>0\), altså \(|x|>\sqrt5/2\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Derivative[sqrt(4x^2-5)] \(4x/\sqrt{4x^2-5}\)

Tolkning: CAS viser både kjerneregel-faktoren 8x og rotnevneren.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" , real = True ) h = sp . sqrt ( 4 * x ** 2 - 5 ) h_prime = sp . diff ( h , x ) expected = 4 * x / sp . sqrt ( 4 * x ** 2 - 5 ) critical = sp . sqrt ( 5 ) / 2 print ( "h(x) =" , h ) print ( "h'(x) =" , h_prime ) print ( "Expected =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( h_prime - expected )) print ( "Boundary value sqrt(5)/2 =" , sp . N ( critical , 10 )) print ( "Derivative domain: x < -sqrt(5)/2 or x > sqrt(5)/2" ) 

Utskrift fra Python: h(x) = sqrt(4*x**2 - 5) h'(x) = 4*x/sqrt(4*x**2 - 5) Expected = 4*x/sqrt(4*x**2 - 5) Difference = 0 Boundary value sqrt(5)/2 = 1.118033989 Derivative domain: x < -sqrt(5)/2 or x > sqrt(5)/2

Fasit: \(h^\prime(x)=\dfrac{4x}{\sqrt{4x^2-5}}\), der \(|x|>\sqrt5/2\).

Vanlig feil: Å glemme å derivere uttrykket \(4x^2-5\) inne i roten. Sensorpunkt: Kjerneregelen og skillet mellom funksjonens og den derivertes domene bør vises. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2a Forenkling av rasjonalt uttrykk

Oppgave 2a

Oppgave: Skriv så enkelt som mulig: \[\frac{3x}{x^2-x-2}-\frac{2x}{x+1}-\frac{2}{x-2}.\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi faktoriserer den første nevneren, finner felles nevner og forkorter til slutt.

Steg 1 - Faktoriser

\[x^2-x-2=(x-2)(x+1).\]

Steg 2 - Felles nevner

Alle ledd skrives over \((x-2)(x+1)\).

Steg 3 - Samle telleren

\[3x-2x(x-2)-2(x+1).\]

Steg 4 - Regn ut

\[3x-2x^2+4x-2x-2=-2x^2+5x-2.\]

Steg 5 - Faktoriser telleren

\[-2x^2+5x-2=-(2x-1)(x-2).\]

Steg 6 - Forkort

\[\frac{-(2x-1)(x-2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{1-2x}{x+1}.\]

Steg 7 - Behold opprinnelig domene

Vi må fortsatt ha \(x\neq2\) og \(x\neq-1\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Factor[3x/(x^2-x-2)-2x/(x+1)-2/(x-2)] \(-(2x-1)/(x+1)\)

Tolkning: CAS forkorter faktoren x-2, men den opprinnelige begrensningen x≠2 må beholdes.

Python-kontroll med SymPy

Python 3 - faktisk kjøring

 import sympy as sp x = sp . symbols ( "x" ) expr = 3 * x / ( x ** 2 - x - 2 ) - 2 * x / ( x + 1 ) - 2 / ( x - 2 ) together = sp . together ( expr ) factored = sp . factor ( together ) expected = ( 1 - 2 * x ) / ( x + 1 ) print ( "Original expression =" , expr ) print ( "Common denominator form =" , together ) print ( "Factored form =" , factored ) print ( "Expected simplified form =" , expected ) print ( "Difference =" , sp . simplify ( expr - expected )) print ( "Original exclusions: x != -1 and x != 2" ) 

Utskrift fra Python: Original expression = 3*x/(x**2 - x - 2) - 2*x/(x + 1) - 2/(x - 2) Common denominator form = (3*x*(x - 2)*(x + 1) - 2*x*(x - 2)*(x**2 - x - 2) - 2*(x + 1)*(x**2 - x - 2))/((x - 2)*(x + 1)*(x**2 - x - 2)) Factored form = -(2*x - 1)/(x + 1) Expected simplified form = (1 - 2*x)/(x + 1) Difference = 0 Original exclusions: x != -1 and x != 2

Fasit: \(\dfrac{1-2x}{x+1}\), med \(x\neq-1,2\).

Vanlig feil: Å glemme at \(x=2\) fortsatt er ulovlig etter forkorting. Sensorpunkt: Felles nevner, faktorisering og opprinnelig definisjonsmengde må være korrekte. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2b Logaritmeregler

Oppgave 2b

Oppgave: Skriv så enkelt som mulig: \[\ln(ab^2)-8\ln b+2\ln a^3-3\ln\!\left(\frac{a^2}{b^2}\right).\] Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker produkt-, kvotient- og potensreglene for logaritmer. Vi forutsetter \(a>0\) og \(b>0\).

Steg 1 - Utvid første ledd

\(\ln(ab^2)=\ln a+2\ln b\).

Steg 2 - Potensregelen

\(2\ln a^3=2\cdot3\ln a=6\ln a\).

Steg 3 - Kvotientregelen

\[\ln(a^2/b^2)=2\ln a-2\ln b.\]

Steg 4 - Multipliser siste parentes

\[-3(2\ln a-2\ln b)=-6\ln a+6\ln b.\]

Steg 5 - Samle a-ledd

\(\ln a+6\ln a-6\ln a=\ln a\).

Steg 6 - Samle b-ledd

\(2\ln b-8\ln b+6\ln b=0\).

Steg 7 - Konklusjon

Hele uttrykket blir \(\ln a\).

GeoGebra/CAS-kontroll

GeoGebra - CAS 1 Expand[ln(a b^2)-8ln(b)+2ln(a^3)-3ln(a^2/b^2)] \(\ln(a)\)

Tolkning: Med a>0 og b>0 kanselleres alle b-leddene. …